Kauliukų generatorius – kauliukai internetu. Ar erdvė atsitiktinė? Patogus kubo generatorius

Kokie yra trys atsitiktinumo dėsniai ir kodėl nenuspėjamumas suteikia mums galimybę daryti patikimiausias prognozes.

Mūsų protas visomis išgalėmis priešinasi atsitiktinumo idėjai. Vykstant mūsų, kaip biologinės rūšies, evoliucijai, išsiugdėme gebėjimą visame kame ieškoti priežasties ir pasekmės ryšių. Dar gerokai prieš mokslo atsiradimą jau žinojome, kad tamsiai raudonas saulėlydis pranašauja pavojingą audrą, o karščiuojantis raudonis kūdikio veide reiškia, kad jo mamai bus sunki naktis. Mūsų protas automatiškai bando struktūrizuoti gaunamus duomenis taip, kad padėtų mums daryti išvadas iš mūsų stebėjimų ir panaudoti šias išvadas įvykiams suprasti ir numatyti.

Atsitiktiškumo idėją taip sunku priimti, nes ji prieštarauja pagrindiniam instinktui, verčiančiam mus ieškoti racionalių modelių aplinkiniame pasaulyje. O nelaimingi atsitikimai mums tik parodo, kad tokių modelių nėra. Tai reiškia, kad atsitiktinumas iš esmės riboja mūsų intuiciją, nes įrodo, kad yra procesų, kurių eigos negalime iki galo numatyti. Šią koncepciją nėra lengva priimti, nors ji yra esminė visatos mechanizmo dalis. Nesuprasdami, kas yra atsitiktinumas, atsiduriame aklavietėje puikiai nuspėjamame pasaulyje, kuris tiesiog neegzistuoja už mūsų vaizduotės ribų.

Sakyčiau, kad tik išmokę tris aforizmus – tris atsitiktinumo dėsnius – galime išsivaduoti iš primityvaus nuspėjamumo troškimo ir priimti visatą tokią, kokia ji yra, o ne tokią, kokios norėtume.

Atsitiktinumas egzistuoja

Mes naudojame bet kokius psichinius mechanizmus, kad išvengtume atsitiktinumo. Mes kalbame apie karmą, apie šį kosminį ekvalaizerį, kuris jungia, matyt, nesusijusius dalykus. Tikime gerais ir blogais ženklais, kad „Dievas myli trejybę“, teigiame, kad mus veikia žvaigždžių padėtis, mėnulio fazės ir planetų judėjimas. Jei mums diagnozuojamas vėžys, mes automatiškai bandome kažką (ar ką nors) dėl to apkaltinti.

Tačiau daugelio įvykių neįmanoma iki galo numatyti ar paaiškinti. Katastrofos nutinka nenuspėjamai, kenčia ir geri, ir blogi žmonės, įskaitant tuos, kurie gimė „po laiminga žvaigžde“ arba „po palankiu ženklu“. Kartais pavyksta ką nors nuspėti, tačiau atsitiktinumas gali lengvai paneigti net pačias patikimiausias prognozes. Nenustebkite, jei jūsų kaimynas, nutukęs, grandinėmis rūkantis, neapgalvotas baikeris, gyvens ilgiau už jus.

Be to, atsitiktiniai įvykiai gali apsimesti neatsitiktiniais. Net įžvalgiausiam mokslininkui gali būti sunku atskirti tikrąjį poveikį nuo atsitiktinio svyravimų. Atsitiktinumas gali paversti placebą stebuklingu vaistu, o nekenksmingą junginį – mirtinu nuodu; ir netgi gali iš nieko sukurti subatomines daleles.

Kai kurie įvykiai yra nenuspėjami

Jei nueisite į kazino Las Vegase ir stebėsite žaidėjų minią prie žaidimų stalų, tikriausiai pamatysite ką nors, kas manys, kad jam šiandien pasisekė. Jis laimėjo keletą kartų iš eilės, o jo smegenys tikina, kad jis laimės ir toliau, todėl žaidėjas ir toliau stato. Taip pat pamatysite ką tik pralaimėjusį žmogų. Pralaimėtojo smegenys, kaip ir laimėtojo, taip pat pataria tęsti žaidimą: kadangi jūs tiek kartų pralaimėjote iš eilės, vadinasi, dabar jums greičiausiai pradės sektis. Kvaila išeiti dabar ir praleisti šią galimybę.

Bet kad ir ką mums sakytų mūsų smegenys, nėra jokios paslaptingos jėgos, galinčios suteikti mums „sėkmės ruožą“, nei visuotinio teisingumo, kuris užtikrintų, kad pralaimėtojas pagaliau pradėtų laimėti. Visatai nerūpi, ar tu laimėsi, ar pralaimi; jai visi kauliukai yra vienodi.

Nesvarbu, kiek pastangų įdėsite, kad vėl stebėtumėte kauliukų metimą ir kad ir kaip atidžiai žiūrėtumėte į žaidėjus, kurie mano, kad jiems pasisekė, apie kitą metimą negausite jokios informacijos. Kiekvieno ritinio rezultatas visiškai nepriklauso nuo ankstesnių ritinimų istorijos. Todėl bet koks skaičiavimas, kad žiūrint žaidimą galima įgyti pranašumą, yra pasmerktas žlugti. Tokie įvykiai – nuo ​​nieko nepriklausomi ir visiškai atsitiktiniai – prieštarauja bet kokiems bandymams rasti šablonus, nes šių modelių tiesiog nėra.

Atsitiktinumas užkerta kelią žmogaus išradingumui, nes parodo, kad visa mūsų logika, visas mūsų mokslas ir mąstymo gebėjimai negali iki galo numatyti visatos elgesio. Kad ir kokius metodus naudotumėte, kokią teoriją sukurtumėte, kad ir kokią logiką taikytumėte nuspėdami kauliuko metimo rezultatą, penkis iš šešių kartų pralaimėsite. Yra visada.

Atsitiktinių įvykių rinkinys yra nuspėjamas, net jei atskiri įvykiai nenuspėjami.

Atsitiktinumas gąsdina, jis apriboja net pačių įmantriausių teorijų patikimumą ir slepia nuo mūsų tam tikrus gamtos elementus, kad ir kaip atkakliai besistengtume įsiskverbti į jų esmę. Nepaisant to, negalima teigti, kad atsitiktinumas yra nežinomo sinonimas. Tai visai netiesa.

Atsitiktinumas paklūsta savo taisyklėms, o šios taisyklės daro atsitiktinį procesą suprantamą ir nuspėjamą.

Didelių skaičių dėsnis teigia, kad nors pavieniai atsitiktiniai įvykiai yra visiškai nenuspėjami, pakankamai didelė šių įvykių imtis gali būti gana nuspėjama – ir kuo didesnė imtis, tuo tikslesnė prognozė. Kitas galingas matematinis įrankis – centrinės ribos teoremos – taip pat rodo, kad pakankamai didelio atsitiktinių dydžių skaičiaus pasiskirstymas bus artimas normaliajam. Naudodamiesi šiais įrankiais galime gana tiksliai numatyti įvykius ilgalaikėje perspektyvoje, kad ir kokie chaotiški, keisti ir atsitiktiniai jie būtų trumpuoju laikotarpiu.

Atsitiktingumo taisyklės yra tokios galingos, kad sudaro nepajudinamiausių ir nekintamiausių fizikos dėsnių pagrindą. Nors atomai dujų talpykloje juda atsitiktinai, bendras jų elgesys apibūdinamas paprasta lygčių rinkiniu. Netgi termodinamikos dėsniai kyla iš daugybės atsitiktinių įvykių nuspėjamumo; šie dėsniai yra nepajudinami būtent todėl, kad atsitiktinumas yra toks absoliutus.

Paradoksalu, bet būtent atsitiktinių įvykių nenuspėjamumas leidžia mums pateikti patikimiausias prognozes.

Einšteino teiginys, kad Dievas nežaidžia kauliukų su visata, buvo neteisingai interpretuotas

Keletas Einšteino frazių buvo taip plačiai cituojamos, kaip ir jo pastaba, kad Dievas nežaidžia kauliukais su visata. Žmonės natūraliai supranta šį šmaikštų jo komentarą kaip įrodymą, kad jis dogmatiškai priešinosi kvantinei mechanikai, kuri atsitiktinumą laiko fizinio pasaulio savybe. Kai radioaktyvaus elemento branduolys suyra, tai įvyksta savaime, nėra taisyklės, kuri tiksliai pasakytų, kada ir kodėl tai įvyks. Kai šviesos dalelė patenka ant permatomo veidrodžio, ji nuo jo atsispindi arba praeina. Rezultatas gali būti bet koks iki šio įvykio momento. Ir jums nereikia eiti į laboratoriją, kad pamatytumėte tokį procesą: daugelis interneto svetainių rodo atsitiktinių skaičių, sugeneruotų Geigerio skaitiklių arba kvantinės optikos įrenginių, srautus. Būdami nenuspėjami net iš principo, tokie skaičiai idealiai tinka kriptografijai, statistikai ir internetinio pokerio turnyrams.

Einšteinas, kaip sakoma standartinėje legendoje. atsisakė pripažinti, kad kai kurie įvykiai dėl savo pobūdžio yra neapibrėžti. – jie tiesiog nutinka ir nieko negalima padaryti, kad išsiaiškintume kodėl. Likęs beveik nuostabioje izoliacijoje, apsuptas lygių, jis abiem rankomis įsikibo į mechaninę klasikinės fizikos Visatą, mechaniškai matuodamas sekundes, kuriose kiekviena akimirka nulemia, kas bus toliau. Kauliuko linija rodė kitą jo gyvenimo pusę: revoliucionieriaus, tapusio reakcionieriumi, tragediją, kuris savo reliatyvumo teorija padarė revoliuciją fizikoje, bet, kaip diplomatiškai pasakė Nielsas Bohras, susidūręs su kvantine teorija, „paliko vakarieniauti“.

Tačiau bėgant metams daugelis istorikų, filosofų ir fizikų suabejojo ​​šia istorijos interpretacija. Pasinerdami į jūrą visko, ką Einšteinas iš tikrųjų pasakė, jie pastebėjo, kad jo sprendimai apie nenuspėjamumą buvo radikalesni ir niuansesni, nei paprastai vaizduojama. „Bandymas iškasti tikrąją istoriją tampa tarsi misionieriumi, – sako Don Howardas (Don A. Howardas), istorikas iš Notre Dame universiteto. – Nuostabu, kai pasigilini į archyvus ir pamatai neatitikimą bendrai priimta idėja“. Kaip parodė jis ir kiti mokslo istorikai, Einšteinas pripažino kvantinės mechanikos nedeterministinį pobūdį – tai nenuostabu, nes būtent jis atrado jos indeterminizmą. Jis niekada nepripažino, kad indeterminizmas yra esminis prigimtis. Visa tai rodė, kad problema kyla gilesniame tikrovės lygmenyje, kurio teorija neatspindėjo. Jo kritika nebuvo mistinė, o sutelkta į konkrečias mokslines problemas, kurios lieka neišspręstos iki šiol.

Klausimas, ar visata yra laikrodis, ar kauliukų stalas, griauna fizikos pagrindus: paprastų taisyklių, kuriomis grindžiama stulbinanti gamtos įvairovė, paieška. Jei kas nors atsitinka be priežasties, tai nutraukia racionalų tyrimą. „Fundamentalus indeterminizmas reikštų mokslo pabaigą“, – sakė Masačusetso technologijos instituto kosmologas Andrew S. Friedmanas. Vis dėlto filosofai per visą istoriją tikėjo, kad indeterminizmas yra būtina žmogaus laisvos valios sąlyga. Arba mes visi esame laikrodžio mechanizmo krumpliaračiai, todėl viskas, ką darome, yra nulemta iš anksto, arba esame savo likimo agentai, tokiu atveju Visata vis tiek neturėtų būti deterministinė.

Ši dichotomija turėjo labai realių pasekmių, kaip visuomenė laiko žmones atsakingais už savo veiksmus. Mūsų teisinė sistema remiasi laisvos valios prielaida; kad kaltinamasis būtų pripažintas kaltu, jis turėjo veikti tyčia. Teismai nuolat glumina klausimą: o jeigu žmogus nekaltas dėl pamišimo, jaunatviško impulsyvumo ar supuvusios socialinės aplinkos?

Tačiau kai žmonės kalba apie dichotomiją, jie linkę bandyti tai atskleisti kaip klaidingą supratimą. Iš tiesų, daugelis filosofų mano, kad beprasmiška kalbėti apie tai, ar visata yra deterministinė, ar nedeterministinė. Tai gali būti abu, priklausomai nuo to, koks didelis ar sudėtingas tiriamasis objektas: dalelės, atomai, molekulės, ląstelės, organizmai, psichika, bendruomenės. „Skirtumas tarp determinizmo ir indeterminizmo priklauso nuo problemos tyrimo lygio“, – sako Londono ekonomikos ir politikos mokslų mokyklos filosofas Christianas Listas, „net jei determinizmą stebite tam tikru lygiu, tai yra visiškai atitinka indeterminizmą tiek aukštesniu, tiek žemesniu lygiu. Mūsų smegenyse esantys atomai gali elgtis visiškai deterministiškai, tačiau paliekant mums laisvę veikti kaip atomai ir organai veikia skirtingais lygiais.

Panašiai Einšteinas ieškojo deterministinio subkvantinio lygio, tuo pat metu neneigdamas, kad kvantinis lygis yra tikimybinis.

Kam Einšteinas prieštaravo?

Kaip Einšteinas užsitarnavo antikvantinės teorijos etiketę, yra beveik tokia pat didelė paslaptis, kaip ir pati kvantinė mechanika. Pati kvanto – atskiro energijos vieneto – samprata buvo jo apmąstymų vaisius 1905 m., ir pusantro dešimtmečio jis beveik vienas ją gynė. Einšteinas tai pasiūlė. ką fizikai šiandien laiko pagrindiniais kvantinės fizikos ypatumais, pavyzdžiui, keistą šviesos gebėjimą veikti kaip dalelę ir kaip bangą, ir būtent iš savo apmąstymų apie bangų fiziką Erwinas Schrödingeris sukūrė plačiausiai priimtą kvantinės formulės formulę. teorija 1920 m. Einšteinas taip pat nebuvo atsitiktinumo priešininkas. 1916 m. jis parodė, kad kai atomai išspinduliuoja fotonus, emisijos laikas ir kryptis yra atsitiktiniai dydžiai.

„Tai prieštarauja populiariam Einšteino vaizdavimui, o ne tikimybiniam požiūriui“, – teigia Janas von Platonas iš Helsinkio universiteto. Tačiau Einšteinas ir jo amžininkai susidūrė su rimta problema. Kvantiniai reiškiniai yra atsitiktiniai, bet pati kvantinė teorija – ne. Šriodingerio lygtis yra 100% deterministinė. Jame aprašoma dalelė arba dalelių sistema, naudojant vadinamąją bangos funkciją, kuri naudoja dalelių banginį pobūdį ir paaiškina banginį modelį, kurį sudaro dalelių rinkinys. Lygtis visiškai užtikrintai numato, kas atsitiks su bangų funkcija bet kuriuo metu. Daugeliu atžvilgių ši lygtis yra labiau deterministinė nei Niutono judėjimo dėsniai: ji nesukelia painiavos, tokių kaip singuliarumas (kai dydžiai tampa begaliniai ir todėl nenusakomi) ar chaosas (kai judėjimas tampa nenuspėjamas).

Akivaizdu, kad Schrödingerio lygties determinizmas yra bangos funkcijos determinizmas, o bangos funkcijos negalima stebėti tiesiogiai, skirtingai nei dalelių vieta ir greičiai. Vietoj to, bangos funkcija nustato dydžius, kuriuos galima stebėti, ir kiekvieno galimo rezultato tikimybę. Teorija palieka atvirus klausimus, kas yra pati bangų funkcija ir ar ji turėtų būti suprantama pažodžiui kaip tikra banga mūsų materialiame pasaulyje. Atitinkamai lieka atviras toks klausimas: ar stebimas atsitiktinumas yra prigimtinė gamtos savybė, ar tik jos fasadas? „Teigiama, kad kvantinė mechanika yra nedeterministinė, bet tai pernelyg skubota išvada“, – sako filosofas Christianas Wuthrichas iš Ženevos universiteto Šveicarijoje.

Werneris Heisenbergas, kitas kvantinės teorijos pagrindus padėjęs pradininkas, bangų funkciją suprato kaip potencialios egzistencijos miglą. Jei neįmanoma aiškiai ir nedviprasmiškai nurodyti, kur yra dalelė, taip yra todėl, kad dalelė iš tikrųjų nėra niekur konkrečioje vietoje. Tik kai stebi dalelę, ji materializuojasi kažkur erdvėje. Bangos funkcija gali būti ištepta didžiuliame erdvės regione, tačiau tą akimirką, kai atliekamas stebėjimas, ji akimirksniu subyra, susitraukia į siaurą tašką, esantį vienoje konkrečioje vietoje, ir staiga ten atsiranda dalelė. Bet net kai žiūri į dalelę, būk! - staiga nustoja elgtis deterministiškai ir peršoka į galutinę būseną, kaip vaikas griebia kėdę „muzikinių kėdžių“ žaidime. (Žaidimas susideda iš to, kad vaikai vaikšto apvaliais šokiais pagal muziką aplink kėdes, kurių skaičius yra vienu mažiau nei žaidėjų skaičius, ir bando sėdėti ant tuščios sėdynės, kai tik muzika nutrūksta).

Nėra įstatymo, kuris reglamentuotų šią žlugimą. Tam nėra lygties. Taip tiesiog atsitinka – viskas! Žlugimas tapo pagrindiniu Kopenhagos interpretacijos elementu: kvantinės mechanikos vaizdas, pavadintas miesto vardu, kuriame Bohras ir jo institutas kartu su Heisenbergu atliko didžiąją dalį pagrindinio darbo. (Ironiška, bet pats Bohras niekada nepripažino bangos funkcijos žlugimo.) Kopenhagos mokykla pastebėtą kvantinės fizikos atsitiktinumą laiko vardine jos charakteristika, kurios negalima paaiškinti toliau. Dauguma fizikų sutinka su tuo, viena iš to priežasčių yra vadinamasis inkaro efektas, žinomas iš psichologijos, arba inkaravimo efektas: tai visiškai patenkinamas paaiškinimas, ir jis pasirodė pirmasis. Nors Einšteinas nebuvo kvantinės mechanikos priešininkas, jis tikrai buvo jos Kopenhagos interpretacijos priešininkas. Jis pradėjo nuo minties, kad matavimo veiksmas sukelia nuolatinės fizinės sistemos evoliucijos pertrauką, ir būtent šiame kontekste jis pradėjo reikšti savo priešinimąsi dieviškajam kauliukų metimui. „Būtent šiuo klausimu Einšteinas apgailestauja 1926 m., o ne dėl visa apimančio metafizinio teiginio, kad determinizmas yra absoliučiai būtina sąlyga“, – tvirtina Howardas.

Realybės pliuralizmas.Ir vis dėlto pasaulis deterministinis ar ne? Atsakymas į šį klausimą priklauso ne tik nuo pagrindinių judėjimo dėsnių, bet ir nuo to, kokiu lygiu aprašome sistemą. Apsvarstykite penkis atomus dujose, judančius deterministiškai (viršutinė diagrama). Jie prasideda beveik toje pačioje vietoje ir palaipsniui skiriasi. Tačiau makroskopiniame lygmenyje (apatinė diagrama) matomi ne atskiri atomai, o amorfinis srautas dujose. Po kurio laiko dujos tikriausiai atsitiktinai pasiskirstys į kelis srautus. Šis atsitiktinumas makro lygmenyje yra šalutinis stebėtojo nežinojimo apie mikrolygio dėsnius produktas, tai objektyvi gamtos savybė, atspindinti atomų susijungimo būdą. Panašiai Einšteinas manė, kad deterministinė vidinė visatos struktūra lemia kvantinės sferos tikimybinę prigimtį.

Vargu ar žlugimas bus tikras procesas, tvirtino Einšteinas. Tam prireiktų momentinio veiksmo per atstumą, paslaptingo mechanizmo, pagal kurį, tarkime, tiek kairioji, tiek dešinioji bangos funkcijos pusės subyrėtų į tą patį mažytį tašką, net jei jokia jėga nekoordinuoja jų elgesio. Ne tik Einšteinas, bet ir kiekvienas to meto fizikas manė, kad toks procesas neįmanomas, jis turės vykti greičiau nei šviesos greitis, o tai akivaizdžiai prieštarauja reliatyvumo teorijai. Tiesą sakant, kvantinė mechanika suteikia ne tik kauliukų, bet ir porų kauliukų, kurie visada turi tą patį veidą, net jei vieną meti Vegase, o kitą Vegoje. Einšteinui atrodė akivaizdu, kad kauliukai turi būti pakrauti, leidžiantys iš anksto paslėpti įtakoti metimų rezultatą. Tačiau Kopenhagos mokykla neigia bet kokią tokią galimybę, teigdama, kad pirštai iš tiesų akimirksniu paveikia vienas kitą didžiulėje erdvės erdvėje. Be to, Einšteinas buvo susirūpinęs dėl galios, kurią kopenhagiečiai priskyrė matavimo aktui. Kas vis dėlto yra matavimas? Galbūt tai gali padaryti tik jaučiančios būtybės ar net nuolatiniai profesoriai? Heisenbergas ir kiti Kopenhagos mokyklos atstovai niekada nenurodė šios sąvokos. Kai kas manė, kad supančią tikrovę susikurtume mintyse ją stebint – mintį, kuri skamba poetiškai, galbūt per daug poetiškai. Einšteinas taip pat manė, kad Kopenhagos arogancijos viršūnė buvo sakyti, kad kvantinė mechanika baigta, kad tai yra aukščiausia teorija, kurios niekada nepakeis kita. Visas teorijas, įskaitant ir savo, jis laikė tiltais į kažką dar didesnio.

Faktiškai. Howardas teigia, kad Einšteinas mielai priimtų indeterminizmą, jei gautų atsakymus į visas savo problemas, kurias reikia išspręsti – jei, pavyzdžiui, kas nors galėtų aiškiai pasakyti, kas yra matavimas ir kaip dalelės gali išlikti sinchronizuotos be ilgalaikio veikimo. Požymis, kad Einšteinas indeterminizmą laikė antrine problema, yra tai, kad jis kėlė tuos pačius reikalavimus deterministinėms Kopenhagos mokyklos alternatyvoms ir taip pat jas atmetė. Kitas istorikas Arthuras Fine'as iš Vašingtono universiteto. tiki. Howardas perdeda Einšteino jautrumą indeterminizmui, tačiau sutinka, kad jo sprendimai yra pagrįsti tvirtesniu pagrindu, nei buvo įpratusios manyti kelios fizikų kartos, remiantis jo teiginių apie kauliukų žaidimą iškarpomis.

atsitiktinės mintys

Jei imsitės virvės traukimo Kopenhagos mokyklos pusėje, tikėjo Einšteinas, pamatysite, kad kvantinis sutrikimas yra kaip ir visi kiti fizikos sutrikimai: tai yra gilesnės įžvalgos produktas. Smulkių dulkių dalelių šokis šviesos pluošte išduoda sudėtingą molekulių judėjimą, o fotonų emisija arba radioaktyvus branduolių skilimas yra panašus procesas, tikėjo Einšteinas. Jo nuomone, kvantinė mechanika yra vertinamoji teorija, išreiškianti bendrą gamtos statybinių blokų elgseną, tačiau neturinti pakankamai raiškos atskiroms detalėms užfiksuoti.

Gilesnė, išsamesnė teorija iki galo paaiškins judesį – be jokių paslaptingų šuolių. Šiuo požiūriu bangos funkcija yra kolektyvinis apibūdinimas, kaip teiginys, kad įprastas kauliukas, daug kartų mestas, kris maždaug tiek kartų iš kiekvienos jo pusės. Banginės funkcijos žlugimas yra ne fizinis procesas, o žinių įgijimas. Jei metate šešiapusį kauliuką ir jis pasirodo, tarkime, ketvertas, parinkčių diapazonas nuo vieno iki šešių susitraukia arba, galima sakyti, susitraukia iki tikrosios „keturių“ reikšmės. Į dievą panašus demonas, galintis sekti atominės struktūros detales, turinčias įtakos kauliuko baigčiai (t. y. tiksliai išmatuoti, kaip jūsų ranka stumia ir sukasi kauliuką prieš atsitrenkiant į stalą), niekada nekalbės apie žlugimą.

Einšteino intuiciją sustiprino jo ankstyvieji darbai apie kolektyvinį molekulinio judėjimo poveikį, tyrinėti fizikos srityje, vadinamoje statistine mechanika, ir įrodę, kad fizika gali būti tikimybinė net tada, kai reiškiniai yra pagrįsti deterministine tikrove. 1935 metais Einšteinas rašė filosofui Karlui Popperiui: „Nemanau, kad jūs teisus teigdamas, kad remiantis deterministine teorija neįmanoma daryti statistinių išvadų. Paimkime, pavyzdžiui, klasikinę statistinę mechaniką (dujų teoriją ar Brauno judėjimo teorija). Tikimybės Einšteino supratimu buvo tokios pat realios, kaip ir Kopenhagos mokyklos interpretacijoje. Pasireiškę pagrindiniais judėjimo dėsniais, jie atspindi kitas supančio pasaulio savybes, nėra tik žmogaus neišmanymo artefaktai. Einšteinas pasiūlė Popperiui kaip pavyzdį apsvarstyti dalelę, kuri juda apskritimu pastoviu greičiu; tikimybė rasti dalelę tam tikrame apskritimo lanko atkarpoje atspindi jos trajektorijos simetriją. Taip pat tikimybė, kad kauliukas nusileis ant tam tikro veido, yra šeštadalis, nes jis turi šešis vienodus veidus. „Jis geriau nei dauguma tuo metu suprato, kad svarbi fizika slypi statistinės-mechaninės tikimybės detalėse“, – sako Howardas.

Kita statistinės mechanikos pamoka buvo ta, kad mūsų stebimi dydžiai nebūtinai egzistuoja gilesniame lygyje. Pavyzdžiui, dujos turi temperatūrą, bet nėra prasmės kalbėti apie vienos dujų molekulės temperatūrą. Pagal analogiją Einšteinas manė, kad subkvantinė teorija reikalinga norint reikšti radikalų kvantinės mechanikos lūžį. 1936 m. jis rašė: „Nėra jokių abejonių, kad kvantinė mechanika užfiksavo gražią tiesos elementą<...>Tačiau netikiu, kad kvantinė mechanika bus atspirties taškas ieškant šio pagrindo, ir, atvirkščiai, negalima pereiti nuo termodinamikos (atitinkamai statistinės mechanikos) prie mechanikos pagrindų.“ Norėdamas užpildyti šį gilesnį lygį, Einšteinas paskatino ieškoti vieningos teorijos srities, kurioje dalelės yra struktūrų, kurios visiškai nepanašios į daleles, dariniai. Trumpai tariant, įprastinė išmintis, kad Einšteinas atsisakė priimti kvantinės fizikos tikimybę, yra klaidinga.Jis bandė paaiškinkite atsitiktinumą, kad neatrodytų, jog jo iš viso nėra.

Padarykite savo lygį geriausiu

Nors Einšteino vieningos teorijos projektas žlugo, pagrindiniai jo intuityvaus požiūrio į atsitiktinumą principai vis dar galioja: indeterminizmas gali kilti iš determinizmo. Kvantinis ir subkvantinis lygiai – arba bet kuri kita lygių pora gamtos hierarchijoje – sudaryti iš skirtingų struktūrų tipų, todėl paklūsta įvairių tipų dėsniams. Vieną lygmenį reglamentuojantis įstatymas natūraliai gali leisti atsitiktinumo elementą, net jei žemesnio lygio dėsniai yra visiškai reglamentuoti. „Deterministinė mikrofizika nesukelia deterministinės makrofizikos“, – sako filosofas Jeremy Butterfieldas iš Kembridžo universiteto.

Įsivaizduokite kauliuką atominiame lygmenyje. Kubas gali būti sudarytas iš neįsivaizduojamai daug atominių konfigūracijų, kurios plika akimi visiškai nesiskiria viena nuo kitos. Jei laikysitės bet kurios iš šių konfigūracijų, kol kauliukas sukasi, tai sukels konkretų rezultatą – griežtai deterministinį. Kai kuriose konfigūracijose štampas sustos su vienu tašku viršutinėje pusėje, o kitose - su dviem. ir tt Todėl viena makroskopinė būsena (jei kubas sukasi) gali sukelti keletą galimų makroskopinių rezultatų (viena iš šešių veidų bus viršuje). „Jei apibūdintume kauliuką makro lygmeniu, galėtume galvoti apie tai kaip apie stochastinę sistemą, leidžiančią objektyvų atsitiktinumą“, - sako Lisztas, studijuojantis lygių konjugaciją su Marcus Pivato, matematiku iš Cergy-Pontoise universiteto Prancūzijoje.

Nors aukštesnis lygis remiasi žemesniu lygiu, jis yra savarankiškas. Norint apibūdinti kauliukus, reikia dirbti tokiu lygiu, kuriame kauliukai egzistuoja, o tai darydami negalite nepaisyti atomų ir jų dinamikos. Jei kryžminate vieną lygį su kitu, jūs atliekate kategorijų pakeitimo triuką: tai tarsi klausiate apie sumuštinio su lašiša politinę priklausomybę (pavyzdžiui, Kolumbijos universiteto filosofo Davido Alberto). „Kai turime reiškinį, kurį galima apibūdinti skirtingais lygiais, turime būti konceptualiai labai atsargūs, kad nesumaišytume lygių“, – sako Listas. Dėl šios priežasties kauliukų metimo rezultatas atrodo ne tik atsitiktinis. Tai tikrai atsitiktinė. Dieviškas demonas gali girtis, kad tiksliai žino, kas atsitiks, bet žino tik, kas nutiks atomams. Jis net neįtaria, kas yra kauliukas, nes tai aukštesnio lygio informacija. Demonas niekada nemato miško, tik medžius. Jis tarsi argentiniečių rašytojo Jorge'o Luiso Borgeso istorijos „Palinksmina prisiminimus“ veikėjas – viską prisimenantis, bet nieko nesuvokiantis žmogus. „Mąstyti reiškia pamiršti skirtumus, apibendrinti, abstrahuoti“, – rašo Borgesas. Tam, kad demonas žinotų, į kurią pusę kris kauliukas, reikia paaiškinti, ko ieškoti. „Vienintelis būdas, kaip demonas gali patekti į tai, kas vyksta aukščiausiame lygyje, yra detalus aprašymas, kaip mes apibrėžiame ribą tarp lygių“, – sako Listas. Iš tiesų, po to demonas tikriausiai pavydės, kad esame mirtingieji.

Lygių logika taip pat veikia visiškai priešinga kryptimi. Nedeterministinė mikrofizika gali sukelti deterministinę makrofiziką. Beisbolas gali būti pagamintas iš dalelių, kurios elgiasi chaotiškai, tačiau jo skrydis yra visiškai nuspėjamas; kvantinis atsitiktinumas, vidurkinimas. dingsta. Panašiai dujos yra sudarytos iš molekulių, kurios juda itin sudėtingais – ir iš tikrųjų nedeterministiniais – judesiais, tačiau jų temperatūra ir kitos savybės atitinka dėsnius, kurie yra tokie paprasti kaip du ir du. Spėliojant, kai kurie fizikai, pavyzdžiui, Robertas Laughlinas iš Stanfordo universiteto, teigia, kad apatinis lygis visai nesvarbus. Statybiniai blokai gali būti bet kokie ir vis tiek jų kolektyvinis elgesys bus toks pat. Juk tokios įvairios sistemos kaip vandens molekulės, žvaigždės galaktikoje ir automobiliai greitkelyje vadovaujasi tais pačiais skysčių srauto dėsniais.

Pagaliau nemokamai

Kai galvojate apie lygius, nerimas, kad indeterminizmas gali reikšti mokslo pabaigą, išnyksta. Aplink mus nėra aukštos sienos, saugančios mūsų įstatymus palaikantį Visatos fragmentą nuo anarchijos linkusios ir nesuvokiamos likusios jos dalies. Tiesą sakant, pasaulis yra sluoksniuotas determinizmo ir indeterminizmo pyragas. Pavyzdžiui, Žemės klimatą valdo deterministiniai Niutono judėjimo dėsniai, tačiau orų prognozė yra tikimybinė, o sezoninės ir ilgalaikės klimato tendencijos vėl nuspėjamos. Biologija taip pat išplaukia iš deterministinės fizikos, tačiau organizmams ir ekosistemoms reikia kitų aprašymo metodų, pavyzdžiui, Darvino evoliucijos. "Determinizmas nepaaiškina absoliučiai visko, - pažymi Tuftso universiteto filosofas Danielis Dennettas. - Kodėl atsirado žirafos? Nes kas lėmė: tebūnie?"

Šio sluoksnio torto viduje yra įsiterpę žmonės. Turime galingą laisvos valios jausmą. Dažnai priimame nenuspėjamus ir dažniausiai gyvybiškai svarbius sprendimus, suprantame, kad galėjome pasielgti kitaip (ir dažnai apgailestaujame, kad to nepadarėme). Jau tūkstantmečius vadinamieji libertarai, filosofinės laisvos valios doktrinos šalininkai (nepainioti su politiniu judėjimu!), įrodinėjo, kad žmogaus laisvei reikia dalelės laisvės. Kažkas turi sunaikinti deterministinę įvykių eigą, pvz., kvantinis atsitiktinumas arba „nukrypimai“, kuriuos, kaip tikėjo kai kurie senovės filosofai, atomai gali patirti judėdami (įtraukta sąvoka apie atsitiktinį nenuspėjamą atomo nukrypimą nuo pradinės trajektorijos). Antikinė Lukrecijaus filosofija, skirta apginti atomistinę Epikūro doktriną).

Pagrindinė šios samprotavimo linijos bėda yra ta, kad ji išlaisvina daleles, bet palieka mus vergais. Nesvarbu, ar jūsų sprendimas buvo iš anksto nulemtas Didžiojo sprogimo metu, ar dėl mažos dalelės, tai vis tiek nėra jūsų sprendimas. Kad būtume laisvi, mums reikia indeterminizmo ne dalelių, o žmogaus lygmenyje. Ir tai įmanoma, nes žmogaus lygis ir dalelių lygis yra nepriklausomi vienas nuo kito. Net jei viską, ką darote, būtų galima atsekti iki pačių pirmųjų žingsnių, jūs esate savo veiksmų šeimininkas, nes nei jūs, nei jūsų veiksmai egzistuoja ne materijos lygmenyje, o tik makro sąmonės lygmenyje. "Šis makroindeterminizmas, pagrįstas mikrodeterminizmu, tikriausiai yra tai, kas garantuoja laisvą valią", - sakė Butterfieldas. Makroindeterminizmas nėra jūsų sprendimų priežastis. Tai jūsų sprendimas.

Kai kurie tikriausiai paprieštaraus ir pasakys, kad jūs vis dar esate marionetė, o gamtos dėsniai veikia kaip lėlininkas, o jūsų laisvė yra ne kas kita, kaip iliuzija. Tačiau pats žodis „iliuzija“ primena miražus dykumoje ir perpjautas moteris: viso to realybėje nėra. Makroindeterminizmas nėra tas pats. Tai gana realu, tik ne esminė. Tai galima palyginti su gyvenimu. Atskiri atomai yra visiškai negyva materija, tačiau didžiulė jų masė gali gyventi ir kvėpuoti. „Viskas, kas susiję su agentais, jų ketinimų būsenomis, jų sprendimais ir pasirinkimais – nė vienas iš šių subjektų neturi nieko bendra su konceptualiu fundamentinės fizikos priemonių rinkiniu, tačiau tai nereiškia, kad šie reiškiniai nėra tikri“, – pažymi Listas. reiškia tik tai, kad jie visi yra daug aukštesnio lygio reiškiniai.

Apibūdinti žmogaus sprendimus atomų judėjimo galvoje mechanika būtų kategorijų klaida, jei ne visiškas nežinojimas. Vietoje to reikia vartoti visas psichologijos sąvokas: noras, galimybė, ketinimai. Kodėl aš gėriau vandenį, o ne vyną? Nes aš norėjau. Mano norai paaiškina mano veiksmus. Daugeliu atvejų, kai užduodame klausimą „Kodėl?“, mes ieškome individo motyvacijos, o ne jo fizinio pagrindo. Psichologiniai paaiškinimai leidžia pasiekti tokį indeterminizmą, apie kurį kalba Listas. Pavyzdžiui, žaidimų teoretikai modeliuoja žmogaus sprendimų priėmimą, išdėstydami daugybę variantų ir paaiškindami, kurį iš jų pasirinktumėte, jei elgtumėtės racionaliai. Jūsų laisvė pasirinkti konkrečią parinktį lemia jūsų pasirinkimą, net jei niekada to nepasirenkate.

Žinoma, Listo argumentai nevisiškai paaiškina laisvą valią. Lygių hierarchija atveria erdvę laisvai valiai, atskiria psichologiją nuo fizikos ir suteikia galimybę daryti netikėtus dalykus. Tačiau turime pasinaudoti šia galimybe. Jei, pavyzdžiui, visus sprendimus priimtume mesdami monetą, tai vis tiek būtų laikoma makroindeterminizmu, tačiau vargu ar tai būtų kvalifikuojama kaip laisva valia kokia nors prasminga prasme. Kita vertus, kai kurių žmonių sprendimų priėmimas gali būti toks varginantis, kad negalima sakyti, kad jie elgiasi laisvai.

Panašus požiūris į determinizmo problemą suteikia prasmę kvantinės teorijos interpretacijai, kuri buvo pasiūlyta praėjus keleriems metams po Einšteino mirties 1955 m. Ji buvo vadinama daugelio pasaulių interpretacija arba Evereto interpretacija. Jos šalininkai teigia, kad kvantinė mechanika apibūdina paralelinių visatų rinkinį – multivisatą, kuri paprastai elgiasi deterministiškai, bet mums atrodo nedeterministiška, nes galime matyti tik vieną visatą. Pavyzdžiui, atomas gali spinduliuoti fotoną į dešinę arba į kairę; kvantinė teorija palieka atvirą šio įvykio baigtį. Remiantis daugelio pasaulių interpretacija, toks vaizdas stebimas todėl, kad lygiai tokia pati situacija susiklosto nesuskaičiuojamoje daugybėje paralelinių visatų: kai kuriose iš jų fotonas deterministiškai skrenda į kairę, o kitose – į dešinę. Negalėdami tiksliai pasakyti, kurioje iš visatų esame, negalime numatyti, kas nutiks, todėl ši situacija iš vidaus atrodo nepaaiškinama. „Kosmose tikro atsitiktinumo nėra, bet įvykiai gali pasirodyti atsitiktiniai stebėtojo akiai“, – aiškina kosmologas Maxas Tegmarkas iš Masačusetso technologijos instituto, gerai žinomas šio požiūrio šalininkas. „Atsitiktinumas atspindi jūsų nesugebėjimą nustatyti. kur tu esi."

Tai tarsi sakymas, kad kauliuką ar smegenis galima sukurti iš bet kurios daugybės atomų konfigūracijų. Pati ši konfigūracija gali būti deterministinė, bet kadangi negalime žinoti, kuris iš jų atitinka mūsų kauliukus ar mūsų smegenis, esame priversti manyti, kad rezultatas yra nedeterministinis. Taigi paralelinės visatos nėra kokia nors egzotiška idėja, sklandanti sergančioje vaizduotėje. Mūsų kūnas ir mūsų smegenys yra mažytės multivisatos, būtent galimybių įvairovė suteikia mums laisvę.

Parašė dizaineris Tyleris Sigmanas, „Gamasutra“. Aš švelniai tai vadinu straipsniu „plaukai orko šnervėje“, tačiau jis gana gerai apima žaidimo tikimybių pagrindus.

Šios savaitės tema

Iki šiol beveik viskas, apie ką kalbėjome, buvo deterministiška, o praėjusią savaitę atidžiau pažvelgėme į tranzityvinę mechaniką ir suskaidėme ją kuo detaliau, kiek galiu paaiškinti. Tačiau iki šiol nekreipėme dėmesio į didžiulį daugelio žaidimų aspektą, būtent į nedeterministinius aspektus, kitaip tariant – atsitiktinumą. Žaidimų dizaineriams labai svarbu suprasti atsitiktinumo prigimtį, nes kuriame sistemas, kurios turi įtakos žaidėjo patirčiai tam tikrame žaidime, todėl turime žinoti, kaip šios sistemos veikia. Jei sistemoje yra atsitiktinumas, turite suprasti gamtašis atsitiktinumas ir kaip jį pakeisti, kad gautume norimus rezultatus.

Kauliukai

Pradėkime nuo ko nors paprasto: kauliukų ridenimo. Kai dauguma žmonių galvoja apie kauliukus, jie galvoja apie šešiapusį kauliuką, žinomą kaip d6. Tačiau dauguma žaidėjų yra matę daug kitų kauliukų: keturkampių (d4), aštuonių pusių (d8), dvylikos pusių (d12), dvidešimties (d20) ... tikras geek, gali būti, kad kažkur turite 30 ar 100 pusių kauliuką. Jei nesate susipažinę su šia terminija, „d“ reiškia kauliuką, o po jo esantis skaičius nurodo, kiek jis turi veidų. Jeigu prieš„d“ reiškia skaičių, jis reiškia suma kauliukai, kai mesti. Pavyzdžiui, Monopolyje mesti 2d6.

Taigi šiuo atveju frazė „kauliukai“ yra įprastas pavadinimas. Yra daugybė kitų atsitiktinių skaičių generatorių, kurie neturi plastikinio bloko formos, bet atlieka tą pačią funkciją – generuoja atsitiktinį skaičių nuo 1 iki n. Įprastą monetą taip pat galima įsivaizduoti kaip dvikampį d2 kauliuką. Mačiau du septynių pusių kauliukų dizainus: vienas iš jų atrodė kaip kauliukas, o antrasis labiau panašus į septynių pusių medinį pieštuką. Tetraedrinis dreidelis (taip pat žinomas kaip titotum) yra tetraedrinio kaulo analogas. Besisukančios rodyklės žaidimo laukas žaidime „Chutes & Ladders“, kur rezultatas gali būti nuo 1 iki 6, atitinka šešiapusį kauliuką. Atsitiktinių skaičių generatorius kompiuteryje gali sukurti bet kokį skaičių nuo 1 iki 19, jei dizaineris duoda tokią komandą, nors kompiuteris neturi 19 pusių kauliuko (apskritai pakalbėsiu plačiau apie skaičių tikimybę, kad ant kompiuteris prie Kitas savaitę). Nors visi šie elementai atrodo skirtingai, jie iš tikrųjų yra lygiaverčiai: jūs turite vienodą galimybę gauti vieną iš kelių rezultatų.

Kauliukai turi keletą įdomių savybių, apie kurias turime žinoti. Pirma, tikimybė, kad iškils bet kuris veidas, yra tokia pati (manau, kad metate tinkamą kauliuką, o ne netinkamą geometriją). Taigi, jei norite sužinoti reiškia ritinį (taip pat žinomas tarp tikimybių kaip „matematinis lūkestis“), susumuokite visų briaunų vertes ir padalykite šią sumą iš suma veidai. Vidutinė standartinio šešiapusio kauliuko metimo vertė yra 1+2+3+4+5+6 = 21, padalijus iš veidų skaičiaus (6) ir gauname vidutinę reikšmę 21/6 = 3,5. Tai ypatingas atvejis, nes manome, kad visi rezultatai yra vienodai tikėtini.

Ką daryti, jei turite specialių kauliukų? Pavyzdžiui, mačiau šešių pusių kauliukų žaidimą su specialiais lipdukais ant veidų: 1, 1, 1, 2, 2, 3, todėl jis elgiasi kaip keistas trikampis kauliukas, kuris labiau linkęs išmesti skaičių 1 nei 2 ir 2 nei 3. Kokia vidutinė šio kauliuko metimo vertė? Taigi 1+1+1+2+2+3 = 10, padalytas iš 6, yra lygus 5/3 arba maždaug 1,66. Taigi, jei turite šį konkretų kauliuką, o žaidėjai meta tris kauliukus, o paskui susumuoja rezultatus, žinote, kad apytikslė jų metimų suma bus apie 5, ir galite subalansuoti žaidimą remdamiesi šia prielaida.

Kauliukai ir nepriklausomybė

Kaip jau sakiau, mes remiamės prielaida, kad kiekvieno veido iškritimas yra vienodai tikėtinas. Tai nepriklauso nuo to, kiek kauliukų metate. Kiekvienas kauliuko metimas nepaisant, o tai reiškia, kad ankstesni metimai neturi įtakos vėlesnių ritinimų rezultatams. Turėdami pakankamą skaičių testų, tikrai tai padarysite pastebėti skaičių „serija“, pvz., ridenama daugiausia didesnės ar mažesnės reikšmės ar kitos savybės, apie tai pakalbėsime vėliau, tačiau tai nereiškia, kad kauliukai yra „karšti“ ar „šalti“. Jei metate standartinį šešiapusį kauliuką ir skaičius 6 pasirodo du kartus iš eilės, tikimybė, kad kitas metimas duos 6, taip pat yra 1/6. Tikimybės nedidina tai, kad kubas yra „įšilęs“. Tikimybė nemažėja, nes skaičius 6 jau du kartus iš eilės iškrito, vadinasi, dabar iškris kitas veidas. (Žinoma, jei metate kauliuką dvidešimt kartų ir kiekvieną kartą pasirodo skaičius 6, tikimybė, kad skaičius 6 pasirodys dvidešimt pirmą kartą, yra gana didelė... nes tai gali reikšti, kad turite neteisingą kauliuką !) Bet jei turite tinkamą kauliuką, tikimybė iškristi iš kiekvieno veidelio yra vienoda, nepaisant kitų metimų rezultatų. Taip pat galite įsivaizduoti, kad kiekvieną kartą, kai keičiame kauliuką, taigi, jei skaičius 6 metė du kartus iš eilės, pašalinkite „karštą“ kauliuką iš žaidimo ir pakeiskite jį nauju šešiakampiu kauliuku. Atsiprašau, jei kas nors iš jūsų jau žinojo apie tai, bet man reikėjo tai paaiškinti prieš tęsiant.

Kaip padaryti, kad kauliukai ridentųsi daugiau ar mažiau atsitiktinai

Pakalbėkime apie tai, kaip su skirtingais kauliukais pasiekti skirtingus rezultatus. Jei kauliuką metite tik vieną ar kelis kartus, žaidimas atrodys labiau atsitiktinis, jei kauliukas turės daugiau kraštų. Kuo daugiau kartų metate kauliuką arba kuo daugiau kauliukų išmetate, tuo labiau rezultatai artėja prie vidurkio. Pavyzdžiui, jei metite 1d6+4 (t. y. standartinį šešiapusį kauliuką vieną kartą ir prie rezultato pridėsite 4), vidurkis bus skaičius nuo 5 iki 10. Jei metite 5d2, vidurkis taip pat bus skaičius tarp 5 ir 10. Tačiau metant šešiakampį kauliuką tikimybė gauti skaičius 5, 8 ar 10 yra vienoda. Metimo 5d2 rezultatas dažniausiai bus skaičiai 7 ir 8, rečiau kitos reikšmės. Ta pati serija, net tas pats vidurkis (7,5 abiem atvejais), tačiau atsitiktinumo pobūdis skiriasi.

Palauk minutę. Ar tik nesakiau, kad kauliukai neįkaista ir neatvėsta? O dabar sakau, kad jei meti daug kauliukų, tai metimų rezultatai arčiau vidurkio? Kodėl?

Leisk man paaiškinti. Jei metate vienas kauliukus, tikimybė iškristi iš kiekvieno veido yra vienoda. Tai reiškia, kad jei metite daug kauliukų, laikui bėgant kiekvienas veidas pasirodys maždaug tiek pat kartų. Kuo daugiau kauliukų išmesite, tuo labiau bendras rezultatas priartės prie vidurkio. Taip yra ne todėl, kad susuktas skaičius „priverčia“ išmesti kitą skaičių, kuris dar neatėjo. Nes mažas 6s (ar 20s, ar dar kas nors) serija nebus didelė problema, jei mesti kauliuką dar dešimt tūkstančių kartų ir dažniausiai atsiranda vidurkis... gal dabar turėsi kelis skaičiai su didele verte, bet galbūt vėliau keli skaičiai su maža verte ir laikui bėgant jie priartės prie vidutinės reikšmės. Ne todėl, kad ankstesni metimai paveikė kauliuką (rimtai, kauliukas pagamintas iš plastmasinis, ji neturi proto galvoti „o, praėjo daug laiko, kol pasirodė 2“), o todėl, kad taip paprastai atsitinka su daugybe kauliukų. Maža pasikartojančių skaičių serija bus beveik nepastebima daugelyje rezultatų.

Taigi gana paprasta apskaičiuoti vienam atsitiktiniam kauliuko metimui, bent jau kiek apskaičiuojant vidutinę metimo vertę. Taip pat yra būdų, kaip apskaičiuoti, „kiek atsitiktinis“ kažkas yra, būdas pasakyti, kad metimo 1d6+4 rezultatai bus „labiau atsitiktiniai“ nei 5d2, o 5d2 metimo rezultatų pasiskirstymas bus vienodesnis, paprastai skaičiuojate standartinį nuokrypį ir kuo didesnė reikšmė, tuo rezultatai bus atsitiktinesni, bet tam reikia daugiau skaičiavimų, nei šiandien norėčiau pateikti (šią temą paaiškinsiu vėliau). Vienintelis dalykas, kurį prašau žinoti, yra tai, kad paprastai kuo mažiau kauliukų metama, tuo atsitiktiniau. Ir dar vienas papildymas šia tema: kuo daugiau kauliuko pusių, tuo daugiau atsitiktinumo, nes turite daugiau galimybių.

Kaip apskaičiuoti tikimybę naudojant skaičiavimą

Jums gali kilti klausimas: kaip galime apskaičiuoti tikslią konkretaus rezultato tikimybę? Tai iš tikrųjų yra gana svarbu daugeliui žaidimų, nes jei metite kauliuką, iš pradžių greičiausiai bus koks nors optimalus rezultatas. Atsakymas yra toks: turime apskaičiuoti dvi reikšmes. Pirmiausia apskaičiuokite maksimalų rezultatų skaičių metant kauliuką (nepriklausomai nuo to, koks bus rezultatas). Tada suskaičiuokite palankių rezultatų skaičių. Padalinę antrąją reikšmę iš pirmosios, gausite norimą tikimybę. Norėdami gauti procentą, padauginkite rezultatą iš 100.

Pavyzdžiai:

Štai labai paprastas pavyzdys. Norite mesti 4 ar didesnį skaičių ir vieną kartą mesti šešiapusį kauliuką. Didžiausias rezultatų skaičius yra 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Iš jų 3 rezultatai (4, 5, 6) yra palankūs. Taigi, norėdami apskaičiuoti tikimybę, padalijame 3 iš 6 ir gauname 0,5 arba 50%.

Štai pavyzdys, kuris yra šiek tiek sudėtingesnis. Norite lyginio skaičiaus 2d6 ritinyje. Maksimalus baigčių skaičius yra 36 (kiekvienam kauliui po 6, o kadangi vienas kauliukas neturi įtakos kitam, 6 rezultatus padauginame iš 6 ir gauname 36). Šio tipo klausimų sunkumas yra tas, kad lengva suskaičiuoti du kartus. Pavyzdžiui, iš tikrųjų yra du galimi 3 rezultatai 2d6 metimo metu: 1+2 ir 2+1. Jie atrodo vienodai, tačiau skiriasi koks skaičius rodomas ant pirmo kauliuko, o koks ant antrojo. Taip pat galite įsivaizduoti, kad kauliukai yra skirtingų spalvų, todėl pavyzdžiui šiuo atveju vienas kauliukas yra raudonas, o kitas mėlynas. Tada suskaičiuokite variantų skaičių, kad gautumėte lyginį skaičių: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2). +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Pasirodo, yra 18 palankaus rezultato variantų iš 36, kaip ir ankstesniu atveju, tikimybė bus 0,5 arba 50%. Galbūt netikėta, bet gana tiksliai.

Monte Karlo simuliacija

Ką daryti, jei turite per daug kauliukų šiam skaičiavimui? Pavyzdžiui, norite sužinoti, kokia yra tikimybė, kad metant 8d6 metimą iš viso išmesite 15 ar daugiau. Yra DAUG skirtingų aštuonių kauliukų individualių balų ir juos apskaičiuoti ranka užtruktų labai ilgai. Net jei rasime gerą sprendimą sugrupuoti skirtingas kauliukų metimų serijas, suskaičiuoti vis tiek užtruks labai ilgai. Tokiu atveju lengviausia skaičiuoti tikimybę ne rankiniu būdu, o kompiuteriu. Yra du būdai apskaičiuoti tikimybę kompiuteryje.

Pirmuoju būdu galima gauti tikslų atsakymą, tačiau tai apima šiek tiek programavimo ar scenarijų. Iš esmės kompiuteris pereis kiekvieną galimybę, įvertins ir suskaičiuos bendrą pakartojimų skaičių bei norimą rezultatą atitinkančių pakartojimų skaičių ir tada pateiks atsakymus. Jūsų kodas gali atrodyti maždaug taip:

int wincount=0, totalcount=0;

už (int i=1; i<=6; i++) {

už (int j = 1; j<=6; j++) {

už (int k = 1; k<=6; k++) {

… // čia įterpkite daugiau kilpų

if (i+j+k+… >= 15) (

plūdimo tikimybė = laimėjimų skaičius / bendras skaičius;

Jei nelabai išmanote programavimą ir norite tik netikslaus, bet apytikslio atsakymo, šią situaciją galite imituoti Excel programoje, kur kelis tūkstančius kartų ridenate 8d6 ir gaunate atsakymą. Norėdami susukti 1d6 programoje „Excel“, naudokite šią formulę:

GRINDYS(RAND()*6)+1

Yra pavadinimas situacijai, kai nežinai atsakymo ir tiesiog bandai daug kartų - Monte Karlo simuliacija, ir tai puikus sprendimas, kai bandote apskaičiuoti tikimybę ir tai yra per sudėtinga. Puiku yra tai, kad šiuo atveju mums nereikia suprasti, kaip veikia matematika, ir žinome, kad atsakymas bus „gana geras“, nes, kaip jau žinome, kuo daugiau metimų, tuo labiau rezultatas artėja prie Vidutinė vertė.

Kaip derinti nepriklausomus bandymus

Jei klausiate apie kelis pakartotinius, bet nepriklausomus bandymus, tai vieno metimo rezultatas neturi įtakos kitų metimų rezultatams. Yra dar vienas paprastesnis šios situacijos paaiškinimas.

Kaip atskirti kažką priklausomo nuo nepriklausomo? Iš esmės, jei galite atskirti kiekvieną kauliuko metimą (arba ritinėlių seriją) kaip atskirą įvykį, tada jis yra nepriklausomas. Pavyzdžiui, jei mes iš viso norime mesti 15 metdami 8d6, šio atvejo negalima padalyti į kelis nepriklausomus kauliukų metimus. Kadangi jūs skaičiuojate visų rezultato kauliukų reikšmių sumą, rezultatas, kuris metamas ant vieno kauliuko, turi įtakos rezultatams, kurie turėtų būti mesti ant kitų kauliukų, nes tik susumavę visas reikšmes gausite norimą rezultatą.

Štai nepriklausomų metimų pavyzdys: žaidžiate kauliukų žaidimą ir kelis kartus metate šešiapusius kauliukus. Norėdami likti žaidime, pirmą kartą išmeskite 2 arba didesnį skaičių. Antram ritiniui 3 ar daugiau. Trečiam reikia 4 ar daugiau, ketvirtam – 5 ar daugiau, penktam – 6. Jei visi penki metimai bus sėkmingi, laimite. Šiuo atveju visi metimai yra nepriklausomi. Taip, jei vienas metimas nepavyks, tai turės įtakos viso žaidimo rezultatui, bet vienas metimas neturi įtakos kitam metimui. Pavyzdžiui, jei jūsų antrasis kauliuko metimas yra labai sėkmingas, tai neturi įtakos tikimybei, kad kiti metimai bus tokie pat sėkmingi. Todėl kiekvieno kauliuko metimo tikimybę galime svarstyti atskirai.

Jei turite atskiras, nepriklausomas tikimybes ir norite sužinoti, kokia yra to tikimybė visiįvykiai ateis, jūs nustatote kiekvieną individualią tikimybę ir jas padauginate. Kitas būdas: jei naudojate jungtuką „ir“ kelioms sąlygoms apibūdinti (pavyzdžiui, kokia tikimybė, kad įvyks koks nors atsitiktinis įvykis ir koks nors kitas nepriklausomas atsitiktinis įvykis?), apskaičiuokite individualias tikimybes ir jas padauginkite.

Nesvarbu, ką tu galvoji niekada nesumuokite nepriklausomų tikimybių. Tai dažna klaida. Kad suprastumėte, kodėl tai negerai, įsivaizduokite situaciją, kai išverčiate monetą santykiu 50/50 ir norite sužinoti, kokia yra tikimybė gauti galvas du kartus iš eilės. Kiekviena pusė turi 50 % tikimybę pakilti, taigi, jei pridėsite dvi tikimybes, gausite 100 % tikimybę, kad iškils galvos, tačiau žinome, kad tai netiesa, nes gali atsirasti dvi uodegos iš eilės. Jei vietoj to padauginsite šias dvi tikimybes, gausite 50% * 50% = 25%, o tai yra teisingas atsakymas apskaičiuojant tikimybę gauti galvas du kartus iš eilės.

Pavyzdys

Grįžkime prie šešių pusių kauliukų žaidimo, kur pirmiausia reikia išmesti didesnį nei 2 skaičių, tada didesnį nei 3 ir pan. iki 6. Kokia tikimybė, kad tam tikroje 5 metimų serijoje visi rezultatai bus palankūs?

Kaip minėta aukščiau, tai yra nepriklausomi bandymai, todėl mes apskaičiuojame kiekvieno atskiro metimo tikimybę ir jas padauginame. Tikimybė, kad pirmojo metimo rezultatas bus palankus, yra 5/6. Antrasis – 4/6. Trečia – 3/6. Ketvirtasis – 2/6, penktas – 1/6. Padauginus visus šiuos rezultatus, gauname apie 1,5%… Taigi, laimėjimas šiame žaidime yra gana retas atvejis, todėl jei pridėsite šį elementą į savo žaidimą, jums reikės gana didelio jackpoto.

Neigimas

Štai dar viena naudinga užuomina: kartais sunku apskaičiuoti įvykio tikimybę, tačiau lengviau nustatyti, kokia yra tikimybė, kad įvykis įvyks. neateis.

Pavyzdžiui, tarkime, kad turime kitą žaidimą ir jūs metate 6d6, o jei nors karta metė 6, tu laimėsi. Kokia tikimybė laimėti?

Šiuo atveju reikia apsvarstyti daugybę variantų. Galbūt iškris vienas skaičius 6, t.y. vienas iš kauliukų išmes 6, o kiti – nuo ​​1 iki 5, ir yra 6 variantai, kuris iš kauliukų išmes 6. Tada galite mesti 6 ant dviejų kauliukų arba trijų, ar net daugiau, ir kiekvieną kartą turime atlikti atskirą skaičiavimą, todėl lengva susipainioti.

Tačiau yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, pažvelkime į tai iš kitos pusės. Tu prarasti jeigu nė vienas iš kauliuko neiškris skaičius 6. Šiuo atveju turime šešis nepriklausomus bandymus, kurių kiekvieno tikimybė yra 5/6 (ant kauliuko gali kristi bet koks skaičius, išskyrus 6). Padauginkite juos ir gausite apie 33%. Taigi tikimybė pralaimėti yra nuo 1 iki 3.

Todėl tikimybė laimėti yra 67% (arba nuo 2 iki 3).

Iš šio pavyzdžio akivaizdu, kad jei skaičiuojate tikimybę, kad įvykis neįvyks, atimkite rezultatą iš 100%. Jei tikimybė laimėti yra 67%, tada tikimybė prarasti — 100% minusas 67% arba 33%. Ir atvirkščiai. Jei sunku apskaičiuoti vieną tikimybę, bet lengva apskaičiuoti priešingą, apskaičiuokite priešingą ir tada atimkite iš 100%.

Prijungimo sąlygos vienam nepriklausomam bandymui

Šiek tiek anksčiau sakiau, kad nepriklausomų bandymų metu niekada neturėtumėte sumuoti tikimybių. Ar yra atvejų, kai gali susumuoti tikimybes? Taip, vienoje konkrečioje situacijoje.

Jei norite apskaičiuoti kelių, nesusijusių, palankių to paties tyrimo rezultatų tikimybę, susumuokite kiekvieno palankaus rezultato tikimybę. Pavyzdžiui, tikimybė išmesti 4, 5 arba 6 ant 1d6 yra suma tikimybę išmesti 4, tikimybę išmesti 5 ir tikimybę išmesti 6. Šią situaciją taip pat galite įsivaizduoti taip: jei klausime apie tikimybę naudosite jungtuką „arba“ (pavyzdžiui, ką yra tikimybė arba skirtinga vieno atsitiktinio įvykio baigtis?), apskaičiuokite individualias tikimybes ir jas susumuokite.

Atkreipkite dėmesį, kad kai susumuojate visi galimi rezultataižaidimas, visų tikimybių suma turi būti lygi 100%. Jei suma nėra lygi 100%, jūsų skaičiavimas atliktas neteisingai. Tai geras būdas dar kartą patikrinti savo skaičiavimus. Pavyzdžiui, jūs išanalizavote tikimybę gauti visas kombinacijas pokeryje, jei sudėsite visus rezultatus, turėtumėte gauti lygiai 100% (arba bent jau vertę, gana artimą 100%, jei naudojate skaičiuotuvą, galite gauti maža apvalinimo klaida , bet jei sudėsite tikslius skaičius ranka, viskas turėtų sumuotis). Jei suma nesutampa, greičiausiai neatsižvelgėte į kai kuriuos derinius arba neteisingai apskaičiavote kai kurių derinių tikimybę, o tada turite dar kartą patikrinti savo skaičiavimus.

Nelygios tikimybės

Iki šiol manėme, kad kiekvienas kabliuko paviršius iškrenta tuo pačiu dažniu, nes taip veikia kabliukas. Tačiau kartais susiduri su situacija, kai galimi skirtingi rezultatai ir jie įvairių sumažinti šansus. Pavyzdžiui, vienoje iš kortų žaidimo „Branduolinis karas“ priedų yra žaidimo laukas su rodykle, kuri nulemia raketos paleidimo rezultatą: iš esmės ji padaro įprastą žalą, daugiau ar mažiau, bet kartais žala padvigubėja. arba trigubai, arba raketa sprogsta paleidimo aikštelėje ir pakenkia jums, arba įvyksta kitas įvykis. Skirtingai nuo rodyklių lentos „Chutes & Ladders“ ar „Gyvenimo žaidime“, „Branduolinio karo“ lentos rezultatai yra nevienodi. Kai kurios žaidimo lauko dalys yra didesnės ir rodyklė ant jų sustoja daug dažniau, o kitos – labai mažos ir rodyklė ant jų sustoja retai.

Taigi, iš pirmo žvilgsnio kaulas atrodo maždaug taip: 1, 1, 1, 2, 2, 3; apie tai jau kalbėjome, tai kažkas panašaus į svertinį 1d3, todėl reikia visas šias dalis padalyti į lygias dalis, rasti mažiausią matavimo vienetą, kuris yra jo kartotinis, ir tada pavaizduoti situaciją forma d522 (arba kitas ), kur kauliukų veidelių rinkinys parodys tą pačią situaciją, bet su didesniu rezultatų skaičiumi. Ir tai yra vienas iš būdų išspręsti problemą ir techniškai įmanomas, tačiau yra ir paprastesnis būdas.

Grįžkime prie standartinių šešiakampių kauliukų. Sakėme, kad norint apskaičiuoti vidutinę įprasto kauliuko metimo vertę, reikia susumuoti visų veidukų vertes ir padalyti jas iš kauliukų skaičiaus, bet kaip tiksliai ar vyksta skaičiavimas? Galite tai išreikšti skirtingai. Šešiakampio kauliuko atveju kiekvieno veido atsiradimo tikimybė yra lygiai 1/6. Dabar dauginamės Išėjimas ant kiekvieno krašto tikimybėšį rezultatą (šiuo atveju 1/6 kiekvienam veidui), tada susumuokite gautas vertes. Taigi susumavus (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), gauname tą patį rezultatą (3.5), kaip ir aukščiau esančiame skaičiavime. Tiesą sakant, mes tai apskaičiuojame kiekvieną kartą: kiekvieną rezultatą padauginame iš to rezultato tikimybės.

Ar galime taip pat apskaičiuoti rodyklę žaidimo „Branduolinis karas“ žaidimo lauke? Žinoma, kad galime. Ir jei susumuojame visus rastus rezultatus, gauname vidutinę reikšmę. Viskas, ką turime padaryti, tai apskaičiuoti kiekvieno rezultato tikimybę rodyklei žaidimo lauke ir padauginti iš rezultato.

Kitas pavyzdys

Šis vidurkio apskaičiavimo metodas, padauginus kiekvieną rezultatą iš jo individualios tikimybės, taip pat tinkamas, jei rezultatai yra vienodai tikėtini, bet turi skirtingus pranašumus, pavyzdžiui, jei metate kauliuką ir iš vienos pusės laimite daugiau nei kitose. Pavyzdžiui, paimkime žaidimą, kuris vyksta kazino: statote ir metate 2d6. Jei pasirodys trys mažos vertės skaičiai (2, 3, 4) arba keturi didelės vertės skaičiai (9, 10, 11, 12), laimėsite sumą, lygią jūsų statymui. Skaičiai su mažiausia ir didžiausia verte yra ypatingi: jei metimas 2 arba 12, tu laimi dvigubai daugiau nei jūsų pasiūlymas. Jei pasirodys koks nors kitas skaičius (5, 6, 7, 8), prarasite statymą. Tai gana paprastas žaidimas. Bet kokia tikimybė laimėti?

Pradėkime nuo to, kiek kartų galite laimėti:

• Didžiausias 2d6 metimo rezultatų skaičius yra 36. Koks yra palankių rezultatų skaičius?
• Yra 1 variantas, kad iškris du ir 1 variantas, kad iškris dvylika.
• Yra 2 variantai, kaip ridenti tris ir vienuolika.
• Yra 3 keturių ir 3 dešimties ridenimo variantai.
• Yra 4 variantai, iš kurių galima pasirinkti devynis.
• Susumavus visas galimybes, gauname teigiamų rezultatų skaičių 16 iš 36.

Taigi įprastomis sąlygomis laimėsite 16 kartų iš 36 galimų... tikimybė laimėti kiek mažesnė nei 50%.

Tačiau dviem atvejais iš tų 16 laimėsite dvigubai daugiau, t.y. tai tarsi laimėti du kartus! Jei žaisite šį žaidimą 36 kartus, kiekvieną kartą statydami po 1 USD ir kiekvienas iš visų galimų baigčių pasireikš vieną kartą, iš viso laimėsite 18 USD (iš tikrųjų laimite 16 kartų, bet du iš tų kartų bus skaičiuojami kaip du laimėjimai). Jei žaidžiate 36 kartus ir laimite 18 USD, ar tai nereiškia, kad tai lygus šansas?

Neskubėk. Jei suskaičiuosite, kiek kartų galite pralaimėti, gausite 20, o ne 18. Jei žaisite 36 kartus, kiekvieną kartą statydami 1 dolerį, iš viso laimėsite 18 JAV dolerių su visais koeficientais... bet pralaimėsite bendra 20 USD suma už visus 20 blogų rezultatų! Dėl to jūs šiek tiek atsiliksite: prarandate vidutiniškai 2 USD grynojo kas 36 žaidimus (taip pat galite sakyti, kad prarandate vidutiniškai 1/18 USD per dieną). Dabar matote, kaip lengva tokiu atveju suklysti ir neteisingai apskaičiuoti tikimybę!

Permutacija

Iki šiol manėme, kad metant kauliuką skaičių metimo tvarka neturi reikšmės. 2+4 ritinys yra tas pats kaip 4+2 ritinys. Daugeliu atvejų mes patys skaičiuojame palankių rezultatų skaičių, tačiau kartais šis metodas yra nepraktiškas ir geriau naudoti matematinę formulę.

Šios situacijos pavyzdys yra iš kauliukų žaidimo „Farkle“. Už kiekvieną naują raundą metate 6d6. Jei jums pasiseks ir visi galimi rezultatai 1-2-3-4-5-6 (tiesiai), gausite didelę premiją. Kokia tikimybė, kad taip nutiks? Šiuo atveju yra daug variantų, kaip prarasti šį derinį!

Sprendimas toks: vienas iš kauliukų (ir tik vienas) turi mesti skaičių 1! Kiek būdų gauti skaičių 1 ant vieno kauliuko? Šeši, nes yra 6 kauliukai ir bet kuris iš jų gali gauti skaičių 1. Atitinkamai paimkite vieną kauliuką ir atidėkite jį į šalį. Dabar ant vieno iš likusių kauliukų turėtų patekti skaičius 2. Tam yra penki variantai. Paimkite dar vieną kauliuką ir atidėkite jį į šalį. Tada keturi iš likusių kauliukų gali išmesti 3, trys iš likusių kauliukų gali mesti 4, du iš likusių kauliukų gali mesti 5, ir jūs gaunate vieną kauliuką, kuris turėtų mesti 6 (pastarajame atveju yra tik vienas kauliukas ir nėra pasirinkimo). Norėdami suskaičiuoti palankių rezultatų skaičių, kad susidarytų tiesus derinys, padauginame visas skirtingas nepriklausomas parinktis: 6x5x4x3x2x1 = 720 – panašu, kad šio derinio variantų yra gana daug.

Norėdami apskaičiuoti tikimybę gauti tiesią kombinaciją, turime padalyti 720 iš visų galimų metimo 6d6 rezultatų skaičiaus. Koks yra visų galimų rezultatų skaičius? Kiekvienas kauliukas gali nuleisti 6 veidus, todėl padauginame 6x6x6x6x6x6 = 46656 (daug didesnis skaičius!). Padalijame 720/46656 ir gauname tikimybę, lygią maždaug 1,5%. Jei kūrėte šį žaidimą, jums būtų naudinga tai žinoti, kad galėtumėte sukurti tinkamą taškų skaičiavimo sistemą. Dabar mes suprantame, kodėl žaidime „Farkle“ gaunate tokią didelę premiją, jei gaunate „tiesus“ derinį, nes tokia situacija yra gana reta!

Rezultatas įdomus ir dėl kitos priežasties. Pavyzdys parodo, kaip retai per trumpą laikotarpį iškrenta tikimybę atitinkantis rezultatas. Žinoma, jei ridentume kelis tūkstančius kauliukų, skirtingos kauliuko pusės atsirasdavo gana dažnai. Bet kai metame tik šešis kauliukus, beveik niekada taip neatsitinka, kad kiekvienas veidas iškrenta! Remiantis tuo, darosi aišku, kad kvaila tikėtis, kad dabar iškris kitas veidas, kuris dar neiškrito „nes jau seniai nenumetėme numerio 6, vadinasi, dabar jis iškris. “

Žiūrėk, tavo atsitiktinių skaičių generatorius sugedęs...

Tai atveda mus prie bendro klaidingo supratimo apie tikimybę: prielaidą, kad visi rezultatai atsiranda vienodai dažnai. per trumpą laiką, o iš tikrųjų taip nėra. Jei kauliuką ridensime kelis kartus, kiekvieno veidelio dažnis nebus vienodas.

Jei kada nors anksčiau dirbote internetiniame žaidime su kokiu nors atsitiktinių skaičių generatoriumi, greičiausiai susidūrėte su situacija, kai žaidėjas rašo techninei pagalbai, kad jūsų atsitiktinių skaičių generatorius sugedo ir nerodo atsitiktinių skaičių, o padarė tokią išvadą, nes jis ką tik nužudė 4 monstrus iš eilės ir gavo 4 lygiai tokius pačius apdovanojimus, o šie apdovanojimai turėtų sumažėti tik 10 % laiko, todėl tai Beveik niekada neturėtų užimti vietą, o tai reiškia aišku kad jūsų atsitiktinių skaičių generatorius sugedęs.

Jūs darote matematiką. 1/10*1/10*1/10*1/10 lygu 1 iš 10 000, o tai reiškia, kad tai gana reta. Ir tai žaidėjas bando tau pasakyti. Ar šiuo atveju yra problemų?

Viskas priklauso nuo aplinkybių. Kiek žaidėjų dabar yra jūsų serveryje? Tarkime, kad turite gana populiarų žaidimą ir kasdien jį žaidžia 100 000 žmonių. Kiek žaidėjų nužudys keturis monstrus iš eilės? Galbūt viskas, kelis kartus per dieną, bet tarkime, kad pusė jų tiesiog prekiauja įvairiais daiktais aukcionuose ar kalbasi RP serveriuose, ar užsiima kita žaidimo veikla, taigi tik pusė iš tikrųjų medžioja monstrus. Kokia tikimybė, kad kas nors ar tas pats atlygis iškris? Esant tokiai situacijai, galite tikėtis, kad tas pats atlygis gali sumažėti bent kelis kartus per dieną!

Beje, todėl atrodo, kad bent kas kelias savaites kas nors laimi loterijoje, net jei tas kažkas niekada tu ar tavo draugai neateina. Jei kiekvieną savaitę žais pakankamai žmonių, tikimybė, kad jų bus bent jau vienas pasisekė... bet jei tužaiskite loterijoje, mažesnė tikimybė laimėti darbą „Infinity Ward“.

Žemėlapiai ir priklausomybė

Aptarėme nepriklausomus įvykius, tokius kaip kauliuko metimas, o dabar žinome daug galingų įrankių, skirtų daugelio žaidimų atsitiktinumui analizuoti. Tikimybių skaičiavimas yra šiek tiek sudėtingesnis, kai reikia traukti kortas iš kaladės, nes kiekviena mūsų ištraukiama korta turi įtakos likusioms kaladėje kortoms. Jei turite standartinę 52 kortų kaladę ir, pavyzdžiui, ištraukiate 10 širdžių, ir norite sužinoti tikimybę, kad kita korta bus tos pačios spalvos, tikimybė pasikeitė, nes jau pašalinote vieną širdies kortelę iš kortos. denis. Kiekviena pašalinta korta keičia kitos kortos kaladėje tikimybę. Kadangi šiuo atveju ankstesnis įvykis turi įtakos kitam, tai vadiname tikimybe priklausomas.

Atkreipkite dėmesį, kad sakydamas „kortelės“ turiu omenyje bet koksžaidimo mechanika, kurioje yra objektų rinkinys ir jūs pašalinate vieną iš objektų jo nepakeisdami, „kortų kaladė“ šiuo atveju yra analogiška žetonų maišeliui, iš kurio išimate vieną žetoną ir jo nekeičiate, arba urna, iš kurios ištrauki spalvotus rutuliukus (tiesą sakant, dar nemačiau tokio žaidimo, kur būtų išimta urna su spalvotais rutuliukais, bet panašu, kad tikimybių teorijos mokytojai kažkodėl labiau mėgsta šį pavyzdį).

Priklausomybės savybės

Norėčiau patikslinti, kad kalbant apie kortas, manau, kad jūs ištraukiate kortas, žiūrite į jas ir išimate iš kaladės. Kiekvienas iš šių veiksmų yra svarbi savybė.

Jei turėčiau, tarkime, šešių kortų kaladę, sunumeruotą nuo 1 iki 6, ir jas sumaišyčiau, ištraukčiau vieną kortą ir vėl sumaišyčiau visas šešias kortas, tai būtų tas pats, kaip mesti šešiapusį kauliuką; vienas rezultatas neturi įtakos kitam. Tik jei ištrauksiu kortas ir jų nepakeisiu, kortos su skaičiumi 1 ištraukimo rezultatas padidins tikimybę, kad kitą kartą ištraukus kortelę su skaičiumi 6 (tikimybė padidės, kol galiausiai ištrauksiu šią kortelę arba iki Aš maišau kortas).

Faktas, kad mes mes žiūrime kortose taip pat svarbu. Jei iš kaladės ištraukiu kortelę ir į ją nepažiūriu, tai neturiu jokios papildomos informacijos ir tikimybė realiai nesikeičia. Tai gali skambėti nelogiškai. Kaip tiesiog apvertus kortelę stebuklingai gali pasikeisti šansai? Bet tai įmanoma, nes nežinomų daiktų tikimybę galite apskaičiuoti tik iš to, kad jūs tu žinai. Pavyzdžiui, jei sumaišysite standartinę kortų kaladę, atidengsite 51 kortą ir nė viena iš jų nėra klubų karalienė, 100% užtikrintai žinosite, kad likusi korta yra klubų karalienė. Jei sumaišysite standartinę kortų kaladę ir ištrauksite 51 kortą, nepaisant ant jų, tada tikimybė, kad likusi korta yra klubų karalienė, vis tiek bus 1/52. Kai atidarote kiekvieną kortelę, gaunate daugiau informacijos.

Skaičiuojant priklausomų įvykių tikimybę, vadovaujamasi tais pačiais principais kaip ir nepriklausomiems įvykiams, išskyrus tai, kad tai yra šiek tiek sudėtingiau, nes tikimybė pasikeičia, kai atskleidžiate kortas. Taigi, jums reikia padauginti daug skirtingų reikšmių, o ne dauginti tą pačią reikšmę. Tiesą sakant, tai reiškia, kad turime sujungti visus skaičiavimus, kuriuos atlikome į vieną derinį.

Pavyzdys

Sumaišote standartinę 52 kortų kaladę ir ištraukiate dvi kortas. Kokia tikimybė, kad ištrauksite porą? Šią tikimybę galima apskaičiuoti keliais būdais, bet bene paprasčiausias: kokia tikimybė, kad ištraukus vieną kortą nepavyks ištraukti poros? Ši tikimybė lygi nuliui, todėl visai nesvarbu, kurią pirmąją kortelę ištrauksite, jei tik ji sutampa su antrąja. Nesvarbu, kurią kortą ištrauksime pirmiausia, vis tiek turime galimybę ištraukti porą, todėl tikimybė, kad ištraukę pirmą kortą galime ištraukti porą, yra 100%.

Kokia tikimybė, kad antroji korta sutaps su pirmąja? Kaledėje liko 51 korta ir 3 iš jų sutampa su pirmąja korta (iš tikrųjų tai būtų buvę 4 iš 52, bet jūs jau pašalinote vieną iš atitinkančių kortų, kai ištraukėte pirmą kortą!), todėl tikimybė yra 1 /17. (Taigi kitą kartą, kai vaikinas už stalo, žaidžiantis Texas Hold'em, pasakys: „Šaunu, dar viena pora? Šiandien man pasisekė“, jūs žinosite, kad yra gana didelė tikimybė, kad jis blefuoja.)

Ką daryti, jei pridėsime du juokdarius, o kaladėje turėsime 54 kortas ir norime sužinoti, kokia yra tikimybė ištraukti porą? Pirmoji korta gali būti Džokeris, o tada kaladėje bus tik vienas kortelė, o ne trys, kurios atitiks. Kaip tokiu atveju rasti tikimybę? Padalijame tikimybes ir padauginame kiekvieną galimybę.

Pirmoji mūsų korta gali būti juokdarys ar kita korta. Tikimybė ištraukti juokdarį yra 2/54, tikimybė ištraukti kokią nors kitą kortą yra 52/54.

Jei pirmoji korta yra juokdarys (2/54), tada tikimybė, kad antroji korta atitiks pirmąją, yra 1/53. Vertybių padauginimas (galime jas padauginti, nes tai yra atskiri įvykiai ir mes to norime tiekįvykių) ir gauname 1/1431 – mažiau nei dešimtadalį procento.

Jei pirmą kartą ištrauksite kitą kortą (52/54), tikimybė, kad antroji korta atitiks, yra 3/53. Padauginame reikšmes ir gauname 78/1431 (šiek tiek daugiau nei 5,5%).

Ką daryti su šiais dviem rezultatais? Jie nesikerta ir mes norime žinoti tikimybę Visi iš jų, todėl susumuojame vertybes! Gauname galutinį rezultatą 79/1431 (dar apie 5,5%).

Jei norėtume būti tikri dėl atsakymo tikslumo, galėtume apskaičiuoti visų kitų galimų baigčių tikimybę: ištraukus juokdarį ir neatitikti antros kortos, arba ištraukus kokią nors kitą kortą ir neatitikti antros kortos, ir juos visus susumuoti. su tikimybe laimėti gautume lygiai 100 proc. Matematikos čia nepateiksiu, bet galite išbandyti matematiką ir dar kartą patikrinti.

Monty Hall paradoksas

Tai atveda mus prie gana garsaus paradokso, kuris dažnai klaidina daugelį, Monty Hall paradoksą. Paradoksas pavadintas televizijos laidos „Sudaryk sandorį“ vedėjo Monty Hall vardu. Jei niekada nematėte šios laidos, tai buvo priešinga televizijos laidai „Kaina teisinga“. „The Price Is Right“ laidos vedėjas (anksčiau Bobas Barkeris, dabar... Drew Carey? Bet kokiu atveju...) yra jūsų draugas. Jis nori kad laimėtumėte pinigų ar šaunių prizų. Ji stengiasi suteikti jums visas galimybes laimėti, jei tik galite atspėti, kiek iš tikrųjų verti remiami daiktai.

Monty Hall elgėsi kitaip. Jis buvo tarsi piktasis Bobo Barkerio dvynys. Jo tikslas buvo priversti tave atrodyti kaip idiotas nacionalinėje televizijoje. Jei dalyvavote šou, jis buvo jūsų priešininkas, žaidėte prieš jį ir šansai buvo jo naudai. Galbūt aš elgiuosi griežtai, bet kai atrodo, kad tikimybė būti išrinktam priešininku yra tiesiogiai proporcinga tam, ar tu dėvi juokingą kostiumą, ar ne, darau panašias išvadas.

Tačiau vienas garsiausių laidos memų buvo toks: priešais jus buvo trys durys ir jos vadinosi „Durys Nr. 1“, „Durys Nr. 2“ ir „Durys Nr. 3“. Galėjai pasirinkti bet kurias duris... nemokamai! Už vienų iš šių durų buvo puikūs prizai, pavyzdžiui, naujas automobilis. Už kitų durų nebuvo jokių prizų, šios dvi durys neturėjo jokios vertės. Jų tikslas buvo jus pažeminti, todėl nėra taip, kad už jų visiškai nieko nebuvo, už jų buvo kažkas, kas atrodė kvaila, kaip ožka už nugaros ar didžiulė dantų pastos tūbelė, ar kažkas... kažkas, kas tiksliai buvo ne naujas automobilis.

Jūs pasirinkote vienas iš durų ir Monty ruošėsi jas atidaryti, kad praneštų, ar laimėjote, ar ne... bet palaukite, kol nežinome pažiūrėkime į vieną iš tie durys tau nepasirinkta. Kadangi Monty žino, už kurių durų yra prizas, o prizas yra tik vienas ir du duris, kurių tu nepasirinkai, kad ir kas būtų, jis visada gali atidaryti duris, už kurių nėra prizo. „Ar renkatės duris numeris 3? Tada atidarykime duris 1, kad parodytume, jog už jo nėra prizo. Ir dabar, iš dosnumo, jis siūlo jums galimybę iškeisti jūsų pasirinktas duris Nr. 3 į tai, kas yra už durų Nr. 2. Čia iškyla tikimybės klausimas: ar galimybė pasirinkti kitas duris padidina ar sumažina jūsų galimybę laimėti, ar tai lieka taip pat? Ką tu manai?

Teisingas atsakymas: galimybė pasirinkti kitas duris dideja tikimybė laimėti nuo 1/3 iki 2/3. Tai nelogiška. Jei dar nesusidūrėte su šiuo paradoksu, greičiausiai galvojate: palaukite, atidarę vienas duris stebuklingai pakeitėme tikimybę? Bet kaip matėme aukščiau esančiame žemėlapio pavyzdyje, taip yra tiksliai kas nutinka, kai gauname daugiau informacijos. Akivaizdu, kad tikimybė laimėti pirmą kartą pasirinkus yra 1/3, ir manau, kad visi su tuo sutiks. Kai atsidaro vienos durys, tai visiškai nekeičia tikimybės laimėti pirmąjį pasirinkimą, tikimybė vis tiek yra 1/3, bet tai reiškia, kad tikimybė, kad kitas durys teisingos dabar yra 2/3.

Pažiūrėkime į šį pavyzdį iš kitos pusės. Jūs pasirenkate duris. Tikimybė laimėti yra 1/3. Siūlau pasikeisti du kitos durys, ką iš tikrųjų siūlo padaryti Monty Hall. Žinoma, jis atidaro vienas iš durų, kad parodytų, jog už jo nėra prizo, bet jis visada gali tai padaryti, todėl tai tikrai nieko nekeičia. Žinoma, norėsite rinktis kitokias duris!

Jei ne visai suprantate šią problemą ir jums reikia įtikinamesnio paaiškinimo, spustelėkite šią nuorodą, kad patektumėte į puikią mažą „Flash“ programą, kuri leis jums išsamiau ištirti šį paradoksą. Galite pradėti nuo maždaug 10 durų ir palaipsniui pereiti prie žaidimo su trimis durimis; taip pat yra simuliatorius, kuriame galite pasirinkti bet kokį durų skaičių nuo 3 iki 50 ir žaisti arba paleisti kelis tūkstančius simuliacijų ir pamatyti, kiek kartų laimėtumėte jei žaistumėte.

Aukštosios matematikos mokytojo ir žaidimų balanso specialisto Maksimo Soldatovo pastaba, kurios, žinoma, Schreiberis neturėjo, bet be kurios gana sunku suprasti šią magišką virsmą:

Pasirinkite duris, vieną iš trijų, tikimybė „laimėti“ 1/3. Dabar turite 2 strategijas: pakeiskite pasirinkimą atidarę netinkamas duris ar ne. Jei nepakeisite savo pasirinkimo, tada tikimybė išliks 1/3, nes pasirinkimas yra tik pirmame etape, ir jūs turite iš karto atspėti, bet jei pakeisite, tada galite laimėti, jei pirmiausia pasirinksite netinkamas duris ( tada jie atidaro kitą neteisingą, liks teisingi, jūs pakeisite sprendimą, tiesiog priimkite)
Tikimybė, kad pradžioje pasirinksite netinkamas duris, yra 2/3, taigi išeina, kad pakeisdami savo sprendimą jūs padarote tikimybę laimėti 2 kartus didesnę

Peržiūrėjimas į Monty Hall paradoksą

Kalbant apie patį pasirodymą, Monty Hall tai žinojo, nes net jei jo oponentai nebuvo geri matematikoje, jis gerai ją supranta. Štai ką jis padarė, kad šiek tiek pakeistų žaidimą. Jei pasirinkote duris, už kurių buvo prizas, kurio tikimybė yra 1/3, tai visada pasiūlė jums galimybę pasirinkti kitas duris. Nes išsirinkai mašiną ir pakeitei ją į ožką ir atrodai gana kvailai, o jam kaip tik ir reikia, nes jis kažkoks piktadarys. Bet jei pasirinksite duris, už kurių prizo nebus, tik pusė tokiais atvejais jis pasufleruos rinktis kitas duris, o kitais – tiesiog parodys tavo naują ožką ir tu nulipsi nuo scenos. Išanalizuokime šį naują žaidimą, kur gali Monty Hall pasirinkti pasiūlyti jums galimybę pasirinkti kitas duris ar ne.

Tarkime, jis vadovaujasi tokiu algoritmu: jeigu tu išsirinki duris su prizu, jis visada pasiūlo galimybę pasirinkti kitas duris, kitu atveju tikimybė, kad jis tau pasiūlys kitokias duris ar padovanos ožką, yra 50/50. Kokia tikimybė laimėti?

Viename iš trijų variantų Jūs iškart pasirenkate duris, už kurių yra prizas, o vedėjas kviečia rinktis kitas duris.

Iš likusių dviejų variantų iš trijų (iš pradžių renkatės duris be prizo) pusę karto šeimininkas paprašys pasirinkti kitas duris, o kitą pusę – ne. Pusė 2/3 yra 1/3, t.y. vienu atveju iš trijų gausite ožką, vienu atveju iš trijų pasirinksite netinkamas duris ir šeimininkas paprašys pasirinkti kitas ir vienu atveju iš trijų pasirinksite dešinės durys ir jis paragins jus pasirinkti kitas duris.

Jei šeimininkas pasiūlo rinktis kitas duris, jau žinome, kad vieno iš trijų atvejų, kai duoda ožką ir mes išeiname, nepasitaikė. Tai naudinga informacija, nes tai reiškia, kad mūsų galimybės laimėti pasikeitė. Du kartus iš trijų mes turime pasirinkimą, vienu atveju tai reiškia, kad atspėjome teisingai, o kitu atveju tai reiškia, kad atspėjome neteisingai, taigi, jei mums apskritai buvo pasiūlytas pasirinkimas, tai reiškia, kad mūsų laimėjimo tikimybė yra 50 /50, o nėra matematinės naudos, pasilikite savo pasirinkimu arba rinkitės kitas duris.

Kaip ir pokeris, dabar tai psichologinis, o ne matematinis žaidimas. Monty pasiūlė jums pasirinkimą, nes mano, kad esate paprastas žmogus, kuris nežino, kad kitokių durų pasirinkimas yra „teisingas“ sprendimas ir kad jūs atkakliai laikysitės savo pasirinkimo, nes psichologiškai situacija, kai pasirenkate automobilį, o paskui jį pametė, sunkiau? O gal jis mano, kad esate protinga ir renkatės kitas duris, ir siūlo jums tokią galimybę, nes žino, kad pirmą kartą atspėjote teisingai ir būsite užkabinti ir įstrigę? O gal jis yra nebūdingas malonus sau ir verčia jus daryti ką nors pagal jūsų asmeninius interesus, nes ilgą laiką nedovanojo automobilio, o jo prodiuseriai jam sako, kad publikai darosi nuobodu ir būtų geriau, jei jis duotų greitu laiku didelis prizas.kad reitingai nekrenta?

Taigi, Monty pavyksta pasiūlyti pasirinkimą (kartais) ir bendra tikimybė laimėti išlieka 1/3. Atminkite, kad tikimybė, kad pralaimėsite iš karto, yra 1/3. Yra 1/3 tikimybė, kad atspėsite iš karto ir 50% tų kartų laimėsite (1/3 x 1/2 = 1/6). Tikimybė, kad iš pradžių atspėsite neteisingai, bet vėliau turėsite galimybę pasirinkti kitas duris, yra 1/3 ir 50% šių atvejų laimėsite (taip pat 1/6). Sudėkite dvi nepriklausomas laimėjimo galimybes ir gausite 1/3 tikimybę, todėl nesvarbu, ar pasiliksite savo pasirinkimą, ar pasirinksite kitas duris, bendra jūsų laimėjimo tikimybė viso žaidimo metu yra 1/3... tikimybė nedidėja nei situacijoje, kai būtum atspėjęs duris, o šeimininkas būtų parodęs, kas yra už šių durų, be galimybės pasirinkti kitas duris! Taigi siūlant galimybę rinktis kitas duris esmė yra ne pakeisti tikimybę, o tam, kad sprendimo procesą būtų smagiau stebėti per televizorių.

Beje, tai yra viena iš priežasčių, kodėl pokeris gali būti toks įdomus: daugumoje formatų tarp raundų, kai atliekami statymai (pavyzdžiui, flopas, turnas ir riveris Texas Hold'em žaidime), pamažu atskleidžiamos kortos. , o jei žaidimo pradžioje turite vieną tikimybę laimėti, tai po kiekvieno statymo raundo, kai atsidaro daugiau kortų, ši tikimybė pasikeičia.

Berniuko ir mergaitės paradoksas

Tai atveda mus prie kito gerai žinomo paradokso, kuris linkęs gluminti visus – berniuko ir mergaitės paradoksą. Vienintelis dalykas, apie kurį šiandien rašau, nėra tiesiogiai susijęs su žaidimais (nors spėju, kad tai tiesiog reiškia, kad turėčiau jus pastūmėti kurti atitinkamą žaidimų mechaniką). Tai daugiau galvosūkis, bet įdomus, ir norint jį išspręsti, reikia suprasti sąlyginę tikimybę, apie kurią kalbėjome aukščiau.

Užduotis: Turiu draugą su dviem vaikais, mažiausiai vienas vaikas yra mergaite. Kokia tikimybė, kad antras vaikas taip pat mergina? Tarkime, kad bet kurioje šeimoje tikimybė susilaukti mergaitės ar berniuko yra 50/50 ir tai galioja kiekvienam vaikui (tiesą sakant, kai kurie vyrai turi daugiau spermatozoidų spermoje su X chromosoma arba Y chromosoma, todėl tikimybė šiek tiek pasikeičia, jei žinote, kad vienas vaikas yra mergaitė, tikimybė susilaukti mergaitės yra šiek tiek didesnė, be to, yra ir kitų sąlygų, pavyzdžiui, hermafroditizmas, tačiau spręsdami šią problemą į tai neatsižvelgsime ir manysime, kad vaiko gimimas yra savarankiškas įvykis ir tikimybė susilaukti berniuko ar mergaitės yra vienoda).

Kadangi kalbame apie 1/2 tikimybę, intuityviai tikimės, kad atsakymas tikriausiai bus 1/2 arba 1/4 arba koks nors kitas apvalus skaičius, kuris yra 2 kartotinis. Bet atsakymas yra toks: 1/3 . Palauk kodėl?

Šiuo atveju sunkumas yra tas, kad mūsų turima informacija sumažina galimybių skaičių. Tarkime, tėvai yra Sezamo gatvės gerbėjai ir, nepaisant to, ar vaikas gimė berniukas ar mergaitė, savo vaikus pavadino A ir B. Įprastomis aplinkybėmis yra keturios vienodai tikėtinos galimybės: A ir B yra du berniukai, A ir B yra dvi mergaitės: A yra berniukas ir B yra mergaitė, A yra mergaitė ir B yra berniukas. Kadangi mes tai žinome mažiausiai vienas vaikas yra mergaitė, mes galime atmesti galimybę, kad A ir B yra du berniukai, paliekant tris (vis dar vienodai tikėtinas) galimybes. Jei visos galimybės yra vienodai tikėtinos ir jų yra trys, žinome, kad kiekvienos iš jų tikimybė yra 1/3. Tik viename iš šių trijų variantų abu vaikai yra dvi mergaitės, todėl atsakymas yra 1/3.

Ir vėl apie berniuko ir mergaitės paradoksą

Problemos sprendimas tampa dar nelogiškesnis. Įsivaizduokite, kad aš jums sakau, kad mano draugas turi du vaikus ir vieną vaiką - antradienį gimusi mergina. Tarkime, kad normaliomis sąlygomis tikimybė susilaukti vaiko vieną iš septynių savaitės dienų yra tokia pati. Kokia tikimybė, kad antrasis vaikas taip pat yra mergaitė? Galima manyti, kad atsakymas vis tiek būtų 1/3; Kokia antradienio reikšmė? Tačiau šiuo atveju intuicija mus žlugdo. Atsakymas: 13/27 tai ne tik ne intuityvu, bet ir labai keista. Kas nutiko tokiu atveju?

Tiesą sakant, antradienis keičia tikimybę, nes mes nežinome kurios kūdikis gimė antradienį ar galbūt du vaikai gimė antradienį. Šiuo atveju vadovaujamės ta pačia logika kaip ir aukščiau, skaičiuojame visus galimus derinius, kai bent vienas vaikas yra antradienį gimusi mergaitė. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tarkime, kad vaikai pavadinti A ir B, deriniai yra tokie:

• A yra mergaitė, kuri gimė antradienį, B yra berniukas (šioje situacijoje yra 7 galimybės, po vieną kiekvienai savaitės dienai, kai gali gimti berniukas).
• B yra mergaitė, kuri gimė antradienį, A yra berniukas (taip pat 7 galimybės).
• A yra mergaitė, kuri gimė antradienį, B yra mergaitė, kuri gimė kitas savaitės diena (6 galimybės).
• B – antradienį gimusi mergaitė, A – ne antradienį gimusi mergaitė (taip pat 6 tikimybės).
• A ir B yra dvi mergaitės, kurios gimė antradienį (1 galimybė, reikia į tai atkreipti dėmesį, kad neskaičiuotumėte du kartus).

Sumuojame ir gauname 27 skirtingus vienodai galimus vaikų gimimo ir dienų derinius su bent viena galimybe, kad antradienį gims mergaitė. Iš jų 13 galimybių yra tada, kai gimsta dvi mergaitės. Tai taip pat atrodo visiškai nelogiška, ir atrodo, kad ši užduotis buvo sukurta tik dėl galvos skausmo. Jei vis dar glumina šis pavyzdys, žaidimų teoretikas Jesperas Juhlas savo svetainėje turi gerą šio reikalo paaiškinimą.

Jei šiuo metu dirbate su žaidimu...

Jei kuriamame žaidime yra atsitiktinumo, tai puiki proga tai išanalizuoti. Pasirinkite bet kurį elementą, kurį norite analizuoti. Pirmiausia paklauskite savęs, kokia yra šio elemento tikimybė, atsižvelgiant į jūsų lūkesčius, kokia ji turėtų būti, jūsų nuomone, žaidimo kontekste. Pavyzdžiui, jei kuriate RPG ir galvojate apie tai, kokia tikimybė, kad žaidėjas kovoje galėtų nugalėti monstrą, paklauskite savęs, koks procentas laimėjimų jums atrodo tinkamas. Dažniausiai žaisdami konsolinius RPG žaidėjai labai susierzina pralaimėję, todėl geriau, kad nepralaimi dažnai... gal 10% ar mažiau? Jei esate RPG dizaineris, tikriausiai žinote geriau nei aš, bet jūs turite turėti pagrindinę idėją, kokia turėtų būti tikimybė.

Tada paklauskite savęs, ar tai kažkas priklausomas(kaip kortelės) arba nepriklausomas(kaip kauliukai). Aptarkite visus galimus rezultatus ir jų tikimybes. Įsitikinkite, kad visų tikimybių suma yra 100%. Galiausiai, žinoma, palyginkite savo rezultatus su lūkesčiais. Nesvarbu, ar kauliukas metamas, ar kortos ištrauktos taip, kaip ketinote, ar matote, kad reikia koreguoti reikšmes. Ir, žinoma, jei tu rasti ką reikia koreguoti, tais pačiais skaičiavimais galite nustatyti, kiek ką nors koreguoti!

Namų darbai

Šios savaitės „namų darbai“ padės patobulinti tikimybių skaičiavimo įgūdžius. Čia yra du žaidimai su kauliukais ir kortų žaidimas, kuriuos analizuosite naudodami tikimybę, taip pat mano kažkada sukurtas keistas žaidimo mechanikas, kuriame išbandysite Monte Karlo metodą.

Žaidimas Nr. 1 – Drakono kaulai

Tai kauliukų žaidimas, kurį mes su kolegomis kažkada sugalvojome (ačiū Jebui Havensui ir Jesse Kingui!) ir kuris savo tikimybėmis sąmoningai pribloškia žmones. Tai paprastas kazino žaidimas, vadinamas „Dragon Bones“, ir tai yra lošimo kauliukų konkurencija tarp žaidėjo ir įstaigos. Jums suteikiamas įprastas 1d6 kauliukas. Žaidimo tikslas – išmesti didesnį skaičių nei namo. Tomui suteikiamas nestandartinis 1d6 – toks pat kaip ir tavo, bet vietoj vieno vienoje pusėje – Drakono atvaizdas (taigi kazino turi Dragon-2-3-4-5-6 kauliuką). Jei įstaiga gauna drakoną, ji automatiškai laimi, o jūs pralaimite. Jei abu gausite tą patį skaičių, tai bus lygiosios ir vėl metate kauliuką. Laimi tas, kuris metė didžiausią skaičių.

Žinoma, viskas klostosi ne visai žaidėjo naudai, nes kazino turi pranašumą Drakono veido pavidalu. Bet ar tikrai taip? Jūs turite tai apskaičiuoti. Tačiau prieš tai patikrinkite savo intuiciją. Tarkime, laimėjimas yra 2 prieš 1. Taigi, jei laimite, išlaikote savo statymą ir gaunate dvigubą sumą. Pavyzdžiui, jei statote 1 USD ir laimite, pasiliksite tą dolerį ir gausite dar 2 USD, iš viso 3 USD. Jei pralaimi, tik pralaimi statymą. Ar žaistum? Taigi, ar jūs intuityviai jaučiate, kad tikimybė yra didesnė nei 2:1, ar vis tiek manote, kad ji mažesnė? Kitaip tariant, ar vidutiniškai per 3 žaidimus tikitės laimėti daugiau nei vieną, mažiau ar vieną kartą?

Susitvarkę su savo intuicija, pritaikykite matematiką. Yra tik 36 galimos abiejų kauliukų pozicijos, todėl nesunkiai visas jas suskaičiuosite. Jei nesate tikri dėl šio „2 prieš 1“ pasiūlymo, apsvarstykite tai: Tarkime, kad žaidėte žaidimą 36 kartus (kiekvieną kartą statėte 1 USD). Už kiekvieną laimėjimą gaunate 2 USD, už kiekvieną pralaimėjimą pralaimi 1 USD, o lygiosios nieko nekeičia. Suskaičiuokite visus savo galimus laimėjimus ir praradimus ir nuspręskite, ar prarasite keletą dolerių, ar gausite. Tada paklauskite savęs, kaip teisinga pasirodė jūsų intuicija. Ir tada – supranti, koks aš piktadarys.

Ir taip, jei jau susimąstėte apie šį klausimą – sąmoningai jus klaidinau iškraipydamas tikrąją kauliukų žaidimų mechaniką, bet esu tikras, kad šią kliūtį galite įveikti vien gerai apgalvoję. Pabandykite šią problemą išspręsti patys. Visus atsakymus čia paskelbsiu kitą savaitę.

Žaidimas Nr. 2 – Sėkmės ritinys

Tai kauliukų žaidimas, vadinamas Lucky Roll (taip pat ir paukščių narvas, nes kartais kauliukai ne metami, o dedami į didelį vielinį narvą, primenantį Bingo narvą). Tai paprastas žaidimas, kuris vyksta maždaug taip: statykite, tarkime, 1 USD už skaičių nuo 1 iki 6. Tada metite 3d6. Už kiekvieną kauliuką, pataikytą į jūsų numerį, gausite 1 USD (ir pasiliksite pradinį statymą). Jei jūsų numeris nepatenka į jokį kauliuką, kazino gaus jūsų dolerį, o jūs nieko negausite. Taigi, jei statote ant 1 ir tris kartus gaunate 1, gausite 3 USD.

Intuityviai atrodo, kad šiame žaidime šansai yra lygūs. Kiekvienas kauliukas yra individualus, tikimybė laimėti yra 1 iš 6, todėl visų trijų suma yra 3 iš 6. Tačiau, žinoma, atminkite, kad pridedate tris atskirus kauliukus ir galite pridėti tik tuo atveju, jei mes kalbame apie atskirus to paties kauliuko laimėjimo derinius. Kažką jums reikės padauginti.

Apskaičiavus visus galimus rezultatus (turbūt tai padaryti programoje „Excel“ lengviau nei ranka, nes jų yra 216), žaidimas vis tiek iš pirmo žvilgsnio atrodo lygus. Tačiau iš tikrųjų kazino vis tiek turi didesnę tikimybę laimėti – kiek daugiau? Tiksliau, kiek pinigų tikitės vidutiniškai prarasti per vieną žaidimo raundą? Viskas, ką jums reikia padaryti, tai susumuoti visų 216 rezultatų pergales ir pralaimėjimus, o tada padalyti iš 216, o tai turėtų būti gana paprasta... Tačiau, kaip matote, yra keletas spąstų, į kuriuos galite patekti, todėl sakau jums : Jei manote, kad šis žaidimas turi vienodą galimybę laimėti, jūs supratote viską neteisingai.

Žaidimas Nr. 3 – 5 Card Stud

Jei jau apšilote ankstesniuose žaidimuose, patikrinkime, ką žinome apie sąlyginę tikimybę, naudodami šį kortų žaidimą kaip pavyzdį. Konkrečiai, įsivaizduokime pokerį su 52 kortų kalade. Taip pat įsivaizduokime 5 kortų stulpelį, kai kiekvienas žaidėjas gauna tik 5 kortas. Negalite išmesti kortos, negalite ištraukti naujos, nėra bendros kaladės - gausite tik 5 kortas.

Karališkasis spalvingumas yra 10-J-Q-K-A viename derinyje, iš viso keturi, taigi yra keturi galimi būdai gauti karališką spalvą. Apskaičiuokite tikimybę, kad gausite vieną iš šių derinių.

Turiu jus įspėti dėl vieno dalyko: atminkite, kad šias penkias kortas galite ištraukti bet kokia tvarka. Tai yra, iš pradžių galite ištraukti tūzą ar dešimtuką, nesvarbu. Taigi, skaičiuodami tai, atminkite, kad iš tikrųjų yra daugiau nei keturi būdai gauti karališkąjį spalvą, darant prielaidą, kad kortos buvo išdalintos eilės tvarka!

4 žaidimas – TVF loterija

Ketvirtąją užduotį nebus taip lengva išspręsti naudojant metodus, apie kuriuos šiandien kalbėjome, tačiau galite lengvai imituoti situaciją programuodami ar „Excel“. Būtent šios problemos pavyzdžiu galite sukurti Monte Karlo metodą.

Anksčiau minėjau žaidimą „Chron X“, kuriame kažkada dirbau, ir ten buvo viena labai įdomi kortelė - TVF loterija. Štai kaip tai veikė: naudojote jį žaidime. Pasibaigus raundui, kortos buvo perskirstytos ir buvo 10% tikimybė, kad korta bus nežaidžiama ir atsitiktinis žaidėjas gaus 5 kiekvienos rūšies resursą, ant kurio buvo žetonas. Korta buvo paleista į žaidimą be vieno žetono, tačiau kiekvieną kartą, kai ji liko žaisti kito turo pradžioje, ji gavo vieną žetoną. Taigi buvo 10% tikimybė, kad jūs įtrauksite ją į žaidimą, raundas baigsis, korta paliks žaidimą ir niekas nieko negaus. Jei ne (su 90% tikimybe), yra 10% tikimybė (iš tikrųjų 9%, nes tai yra 10% iš 90%), kad ji pasitrauks iš žaidimo kitame etape ir kažkas gaus 5 išteklius. Jei korta išeis iš žaidimo po vieno turo (10% iš turimo 81%, taigi 8,1% tikimybė), kažkas gaus 10 vienetų, kitas turas - 15, dar 20 ir t.t. Klausimas: kokia yra numatoma išteklių skaičiaus, kurį gausite iš šios kortelės, vertė, kai ji pagaliau paliks žaidimą?

Paprastai šią problemą bandytume išspręsti rasdami kiekvieno rezultato galimybę ir padaugindami iš visų baigčių skaičiaus. Taigi yra 10% tikimybė, kad gausite 0 (0,1*0 = 0). 9%, kad gausite 5 išteklius (9%*5 = 0,45 išteklių). 8,1 % to, ką gausite, yra 10 (8,1 %*10 = 0,81 visų išteklių, numatoma vertė). Ir taip toliau. Ir tada mes viską apibendrintume.

Ir dabar problema jums akivaizdi: visada yra tikimybė, kad kortelė ne palieka žaidimą, kad galėtų likti žaidime per amžių amžius, begaliniam skaičiui raundų, kad būtų galima apskaičiuoti bet kokia galimybė neegzistuoja. Šiandien išmokti metodai neleidžia skaičiuoti begalinės rekursijos, todėl teks ją sukurti dirbtinai.

Jei pakankamai gerai mokate programuoti, parašykite programą, kuri imituos šią kortelę. Turėtumėte turėti laiko kilpą, kuri nukreipia kintamąjį į pradinę nulio padėtį, parodo atsitiktinį skaičių ir 10% tikimybe, kad kintamasis išeis iš ciklo. Priešingu atveju jis prideda 5 prie kintamojo ir ciklas kartojasi. Kai jis pagaliau išeina iš ciklo, padidinkite bendrą bandomųjų paleidimų skaičių 1 ir bendrą išteklių skaičių (kiek priklauso nuo to, kur kintamasis sustojo). Tada iš naujo nustatykite kintamąjį ir pradėkite iš naujo. Paleiskite programą kelis tūkstančius kartų. Galiausiai padalykite visus išteklius iš bendro važiavimų skaičiaus ir tai bus jūsų numatoma Monte Karlo vertė. Paleiskite programą keletą kartų, kad įsitikintumėte, jog gauti skaičiai yra maždaug vienodi; jei sklaida vis dar didelė, padidinkite pasikartojimų skaičių išorinėje kilpoje, kol pradėsite gauti degtukų. Galite būti tikri, kad bet kokie skaičiai, kuriuos gausite, bus maždaug teisingi.

Jei esate naujokas programavimo srityje (arba net jei esate), čia yra nedidelis pratimas, skirtas sušildyti savo Excel įgūdžius. Jei esate žaidimų dizaineris, Excel įgūdžiai niekada nėra nereikalingi.

Dabar IF ir RAND funkcijos jums bus labai naudingos. RAND nereikalauja reikšmių, jis tiesiog sukuria atsitiktinį dešimtainį skaičių nuo 0 iki 1. Paprastai jį deriname su FLOR ir pliusais ir minusais, kad imituotume kauliuko metimą, apie kurį minėjau anksčiau. Tačiau šiuo atveju paliekame tik 10% tikimybę, kad kortelė išeis iš žaidimo, todėl galime tiesiog patikrinti, ar RAND reikšmė yra mažesnė nei 0,1, ir daugiau dėl to nesijaudinti.

IF turi tris reikšmes. Iš eilės nurodoma sąlyga, kuri yra teisinga arba ne, tada vertė, kuri grąžinama, jei sąlyga teisinga, ir vertė, kuri grąžinama, jei sąlyga klaidinga. Taigi ši funkcija grąžins 5% laiko, o 0 kitus 90% laiko:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Yra daug būdų, kaip nustatyti šią komandą, bet aš naudočiau šią formulę langeliui, kuris reiškia pirmąjį turą, tarkime, kad tai yra langelis A1:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

Čia aš naudoju neigiamą kintamąjį, reiškiantį "ši kortelė nepaliko žaidimo ir dar nesuteikė jokių išteklių". Taigi, jei pirmasis raundas baigėsi ir korta yra nežaidžiama, A1 yra 0; kitu atveju -1.

Kitai langeliui, atstovaujančiam antrąjį turą:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Taigi, jei pirmasis raundas baigėsi ir korta iš karto išėjo iš žaidimo, A1 yra 0 (resursų skaičius) ir šis langelis tiesiog nukopijuos šią reikšmę. Kitu atveju A1 yra -1 (korta dar neišėjo iš žaidimo), o šis langelis tęsia atsitiktinį judėjimą: 10% laiko grąžins 5 išteklių vienetus, likusį laiką jos reikšmė vis tiek bus -1 . Jei šią formulę pritaikysime papildomiems langeliams, gausime papildomus raundus, o į kurią langelį atsidursite, gausite galutinį rezultatą (arba -1, jei korta neišėjo iš žaidimo po visų žaistų raundų).

Paimkite šią langelių eilutę, kuri yra vienintelis turas su šia kortele, ir nukopijuokite ir įklijuokite kelis šimtus (ar tūkstančius) eilučių. Galime nesugebėti begalinis„Excel“ testą (lentelėje yra ribotas langelių skaičius), bet bent jau galime apimti daugumą atvejų. Tada pasirinkite vieną langelį, kuriame patalpinsite visų turų rezultatų vidurkį (Excel maloniai pateikia funkciją AVERAGE()).

„Windows“ sistemoje bent jau galite paspausti F9, kad perskaičiuotumėte visus atsitiktinius skaičius. Kaip ir anksčiau, atlikite tai keletą kartų ir pažiūrėkite, ar gautos vertės yra tokios pačios. Jei skirtumas per didelis, padvigubinkite paleidimų skaičių ir bandykite dar kartą.

Neišspręstos problemos

Jei atsitiktų, kad turite tikimybių laipsnį, o pirmiau pateiktos problemos jums atrodo per lengvos, štai dvi problemos, dėl kurių jau daug metų laužau galvą, bet, deja, man nesiseka matematikos, kad galėčiau jas išspręsti. Jei staiga žinote sprendimą, paskelbkite jį čia, komentaruose, aš jį perskaitysiu su malonumu.

1 neišspręsta problema: loterijaTVF

Pirmoji neišspręsta problema – ankstesnė namų darbų užduotis. Galiu nesunkiai naudoti Monte Karlo metodą (naudodamas C++ arba Excel) ir būti tikras atsakymu į klausimą „kiek resursų gaus žaidėjas“, tačiau tiksliai nežinau, kaip matematiškai pateikti tikslų įrodomą atsakymą (tai yra begalinė serija). Jei žinote atsakymą, paskelbkite jį čia... žinoma, patikrinę Monte Karle.

Neišspręsta 2 problema: figūrų sekos

Šią užduotį (ir vėlgi ji gerokai viršija šiame tinklaraštyje išspręstas užduotis) daugiau nei prieš 10 metų man užmetė pažįstamas žaidėjas. Žaisdamas „blackjack“ Vegase jis pastebėjo vieną įdomią savybę: ištraukęs kortas iš 8 kaladžių bato, pamatė dešimt figūrėlės iš eilės (figūra, arba figūrų korta – 10, Džokeris, Karalius arba Karalienė, taigi standartinėje 52 kortų kaladėje jų yra 16, taigi 416 kortų kaladėje jų yra 128). Kokia tikimybė, kad šiame bate bent jau viena dešimties seka arba daugiau figūros? Tarkime, kad jie buvo sumaišyti sąžiningai, atsitiktine tvarka. (Arba, jei norite, kokia yra tikimybė niekur nerasta dešimties ar daugiau figūrų seka?)

Galime supaprastinti užduotį. Čia yra 416 dalių seka. Kiekviena dalis yra 0 arba 1. Yra 128 vienetai ir 288 nuliai, atsitiktinai išsibarstę visoje sekoje. Kiek yra būdų, kaip atsitiktinai sujungti 128 1 su 288 0, ir kiek kartų šiais būdais bus bent viena dešimties ar daugiau 1 grupė?

Kiekvieną kartą, kai imdavausi šios užduoties, man ji atrodė lengva ir savaime suprantama, tačiau vos tik įsigilinau į smulkmenas, ji staiga subyrėjo ir man atrodė tiesiog neįmanoma. Taigi neskubėkite išrėžti atsakymo: atsisėskite, gerai pagalvokite, išstudijuokite problemos sąlygas, pabandykite įvesti realius skaičius, nes visi žmonės, su kuriais kalbėjausi apie šią problemą (įskaitant keletą šioje srityje dirbančių absolventų) reagavo panašiai: "Tai gana akivaizdu... o ne, palauk, visai neaišku." Būtent šiuo atveju aš neturiu metodo, kaip apskaičiuoti visas galimybes. Tikrai galėčiau išspręsti problemą kompiuteriniu algoritmu, bet būtų daug įdomiau sužinoti matematinį šios problemos sprendimo būdą.

Vertimas - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Internetinio kauliukų generatoriaus pranašumas prieš įprastus kauliukus akivaizdus – jis niekada nepasimeta! Virtualus kubas savo funkcijomis susidoros daug geriau nei tikrasis – rezultatų žongliravimas visiškai atmestas ir belieka tikėtis Jo Didenybės atvejo. Internetiniai kauliukai, be kita ko, yra puiki pramoga jūsų laisvalaikiu. Rezultato generavimas trunka tris sekundes, sušildo žaidėjų jaudulį ir susidomėjimą. Norint imituoti kauliukų metimą, tereikia paspausti klaviatūroje esantį mygtuką „1“, kuris leis nenusiblaškyti, pavyzdžiui, nuo įdomaus stalo žaidimo.

Kubelių skaičius:

Prašome padėti paslaugai vienu paspaudimu: Papasakokite savo draugams apie generatorių!

Kai išgirstame tokią frazę kaip „Kauliukai“, tuomet iškart ateina kazino asociacija, kurioje be jų tiesiog neapsieina. Pirmiausia šiek tiek prisiminkime, kas yra ši tema.

Kauliukai – tai kauliukai, kurių kiekvienoje pusėje taškais pavaizduoti skaičiai nuo 1 iki 6. Juos mesdami visada tikimės, kad iškris būtent toks skaičius, kokį išsirinkome ir troškome. Tačiau būna atvejų, kai kubas, nukritęs ant krašto, nerodo skaičiaus. Tai reiškia, kad tas, kuris taip išmetė, gali pasirinkti bet kurį.

Pasitaiko ir taip, kad kubas gali riedėti po lova ar spinta, o jį išėmus iš ten skaičius atitinkamai pasikeičia. Tokiu atveju kaulas vėl permetamas, kad visi aiškiai matytų skaičių.

Kauliukų ridenimas internetu vienu paspaudimu

Žaidime, kuriame naudojami įprasti kauliukai, labai lengva apgauti. Norint gauti reikiamą skaičių, reikia šią kubo pusę uždėti ant viršaus ir pasukti taip, kad ji liktų tokia pati (suktųsi tik šoninė dalis). Tai nėra visiška garantija, tačiau laimėjimo procentas bus septyniasdešimt penki procentai.

Jei naudosite du kauliukus, tikimybė sumažėja iki trisdešimties, tačiau tai yra nemažas procentas. Dėl sukčiavimo daugelis žaidėjų kampanijų nemėgsta naudoti kauliukų.

Taip pat mūsų nuostabi paslauga veikia būtent tam, kad tokių situacijų būtų išvengta. Su mumis apgauti bus neįmanoma, nes internetinio kauliuko metimo negalima suklastoti. Skaičius nuo 1 iki 6 pasirodys puslapyje visiškai atsitiktinai ir nekontroliuojamai.

Patogus kubo generatorius

Labai didelis privalumas yra tai, kad internetinio kauliukų generatoriaus negalima pamesti (juolab, kad jį galima pažymėti), o paprastas mažas kauliukas gali lengvai kažkur dingti. Taip pat didžiulis pliusas bus tai, kad manipuliavimas rezultatais yra visiškai pašalintas. Generatorius turi funkciją, leidžiančią pasirinkti nuo vieno iki trijų kauliukų, kuriuos mesti vienu metu.

Internetinis kauliukų generatorius – labai įdomi pramoga, vienas iš būdų lavinti intuiciją. Pasinaudokite mūsų paslauga ir gaukite greitų bei patikimų rezultatų.

4,8 iš 5 (įvertinimai: 116)

Muzikinės kompozicijos su laisvu garsiniu tekstu metodas; kaip savarankiškas muzikos kūrimo būdas susiformavo XX a. A. reiškia visišką ar dalinį kompozitoriaus griežtos muzikinio teksto kontrolės atsisakymą ar net pačios kompozitoriaus – autoriaus kategorijos tradicine prasme eliminavimą. A. naujovė slypi stabiliai nusistovėjusių muzikinio teksto komponentų koreliacijoje su sąmoningai įvestu atsitiktinumu, savavališku muzikinės materijos judrumu. A. sąvoka gali reikšti ir bendrą kompozicijos dalių išdėstymą (į formą), ir į jos audinio struktūrą. Ate. Denisovas, audinio ir formos stabilumo ir paslankumo sąveika suteikia 4 pagrindinius derinių tipus, iš kurių trys – 2, 3 ir 4 – yra aleatoriniai: 1. Stabilus audinys – stabili forma (įprasta tradicinė kompozicija, opus perfectum et absolutum; as, pavyzdžiui, 6 Čaikovskio simfonijos); 2. Stabilus audinys – mobili forma; pasak V. Lutoslavo, „A. formos“ (P. Boulezas, 3-oji sonata fortepijonui, 1957); 3. Mobilus audinys – stabilios formos; arba, pasak Lutoslavskio, „A. faktūros“ (Lutoslavskis, Styginių kvartetas, 1964, Pagrindinis judėjimas); 4. Mobilus audinys - mobili forma; arba „A. narvas"(su kolektyvine kelių atlikėjų improvizacija). Tai A. metodo mazginiai taškai, aplink kuriuos išsidėstę daug įvairių specifinių konstrukcijų tipų ir atvejų, įvairaus panardinimo į A. laipsniai; be to, natūralūs ir metabolai („moduliacijos“) - perėjimas iš vieno tipo ar tipo į kitą, taip pat į stabilų tekstą ar iš jo.

A. plačiai paplito nuo šeštojo dešimtmečio, pasirodęs (kartu su sonorika), visų pirma kaip reakcija į ekstremalų muzikinės struktūros pavergimą kelių parametrų serializme (žr. dodekafonija). Tuo tarpu struktūros laisvės principas vienaip ar kitaip turi senovines šaknis. Iš esmės garso srautas, o ne unikalios struktūros opusas, yra liaudies muzika. Iš čia ir liaudies muzikos nepastovumas, „neopusas“, variacija, variacija ir improvizacija joje. Nenuspėjamumas, formos improvizacija būdinga tradicinei Indijos, Tolimųjų Rytų, Afrikos tautų muzikai. Todėl A. atstovai aktyviai ir sąmoningai remiasi esminiais rytietiškos ir liaudies muzikos principais. Arrow elementai egzistavo ir Europos klasikinėje muzikoje. Pavyzdžiui, tarp Vienos klasikų, eliminavusių bendro boso principą ir muzikinį tekstą padariusį visiškai stabilų (I. Haydno simfonijos ir kvartetai), ryškus kontrastas buvo instrumentinio koncerto formos „kadenza“ – a. virtuozinis solo, kurio partiją kompozitorius nesukūrė, o pateikė atlikėjo nuožiūra (elementas A. forma). Haidno ir Mocarto laikais žinomi komiški „aleatoriniai“ paprastų kūrinių (minuetų) kūrimo būdai, derinant muzikos kūrinius ant kauliukų (Würfelspiel) (I. F. Kirnbergerio traktatas „Bet kuriuo metu paruoštas polonezų ir menuetų kompozitorius“). Berlynas, 1757).

XX amžiuje. formoje „individualaus projekto“ principas ėmė siūlyti tekstinių kūrinio versijų (t. y. A.) leistinumą. 1907 metais amerikiečių kompozitorius C. Ivesas sukūrė fortepijoninį kvintetą „Hallwe“ en (= „Visų šventųjų išvakarės“), kurio tekstas, atliekant koncertą, keturis kartus iš eilės turėtų skambėti skirtingai. D. narvas sukurta 1951 m „Permainų muzika“ fortepijonui, kurios tekstą jis sudarė „manipuliuodamas atsitiktinumais“ (kompozitoriaus žodžiais), tam naudodamas kinų „Pokyčių knygą“. Klasika-

cal pavyzdys A. – K. „Fortepijono kūrinys XI“. Stokhauzenas, 1957. Ant popieriaus lapo apie. 0,5 kv.m atsitiktine tvarka yra 19 muzikos fragmentų. Pianistas pradeda nuo bet kurio iš jų ir groja atsitiktine tvarka, atsitiktine žvilgsniu; ankstesnės ištraukos pabaigoje parašyta kokiu tempu ir kokiu garsumu groti kitą. Kai pianistui atrodo, kad jis taip jau sugrojo visus fragmentus, jie turėtų būti pakartotinai sugroti ta pačia atsitiktine tvarka, tik ryškesniu skambesiu. Po antrojo turo žaidimas baigiasi. Siekiant didesnio efekto, aleatorinį kūrinį rekomenduojama kartoti viename koncerte – klausytojui pasirodys kita kompozicija iš tos pačios medžiagos. A. metodą plačiai naudoja šiuolaikiniai kompozitoriai (Boulezas, Stokhauzenas, Lutoslavskis, A. Volkonskis, Denisovas, Schnittke ir pan.).

Būtina sąlyga A. 20 a. atėjo nauji įstatymai harmonija ir iš jų kylančios tendencijos ieškoti naujų formų, atitinkančių naują muzikinės medžiagos būklę ir būdingos avangardas. Aleatorinė tekstūra buvo visiškai neįsivaizduojama prieš emancipaciją disonansas atonalios muzikos raida (žr. dodekafonija).„Apriboto ir kontroliuojamo“ šalininkas A. Lutoslavskis įžvelgia jame neabejotiną vertę: „A. atvėrė man naujas ir netikėtas perspektyvas. Visų pirma – didžiulis ritmo turtingumas, nepasiekiamas kitų technikų pagalba. Denisovas, teisindamas „atsitiktinių elementų įvedimą į muziką“, teigia, kad tai „suteikia mums didelę laisvę operuojant su muzikine medžiaga ir leidžia gauti naujų garso efektų<...>, tačiau mobilumo idėjos gali duoti gerų rezultatų tik tuo atveju, jei<... >jei mobilumu slypinčios destruktyvios tendencijos nesunaikins bet kuriai meno formai būtino konstruktyvumo.

Kai kurie kiti muzikos metodai ir formos susikerta su A. Visų pirma, tai yra: 1. improvizacija -žaidimo metu sukurto kūrinio atlikimas; 2. grafinė muzika, kurią atlikėjas improvizuoja pagal vizualius piešinio vaizdus, ​​padėtą ​​prieš jį (pvz., I. Brown, Folio, 1952), paversdamas juos garsiniais vaizdais arba pagal kompozitoriaus kuriamą muzikinę aleatorinę grafiką iš kūrinių muzikinis tekstas ant popieriaus lapo (S. Bussotti, „Aistra sodui“, 1966); 3. vykstantys- improvizuotas (šia prasme aleatorinis) veiksmas (Atsargos) dalyvaujant savavališko (kvazi) siužeto muzikai (pvz., A. Volkonskio hepeningas „Madrigal“ ansamblio „Replica“ 1970/71 sezone); 4. atviros muzikos formos – tai tos, kurių tekstas nėra stabiliai fiksuotas, bet gaunamas kiekvieną kartą atlikimo procese. Tai kompozicijos tipai, kurie nėra iš esmės uždari ir leidžia begalinį tąsą (pavyzdžiui, su kiekvienu nauju spektakliu), anglų kalba. Darbas vyksta. P. Boulezui vienas iš stimulų, pavertusių jį atvira forma, buvo Dž. Joyce(„Ulisas“) ir S. Mallarmé („Le Livre“). Atviros kompozicijos pavyzdys – Earl Brown „Available Forms II“ 98 instrumentams ir dviem dirigentams (1962). Pats Brownas atkreipia dėmesį į savo atviros formos ryšį su vizualiųjų menų „mobiliaisiais“ (žr. kinetinis menas) ypač A. Calder ("Calder Piece" 4 būgnininkams ir Calder's mobile, 1965). Galiausiai veiksmas „Gesamtkunst“ yra persmelktas aleatoriniais principais (žr. Gezamtkunstwerk). 5. Multimedija, kurios specifika yra sinchronizavimas instaliacijos keli menai (pavyzdžiui: koncertas + tapybos ir skulptūros paroda + bet kokio meno formų derinio poezijos vakaras ir pan.). Taigi A. esmė yra suderinti tradiciškai nusistovėjusią meninę tvarką ir gaivinantį nenuspėjamumo, atsitiktinumo raugą – būdingą tendenciją. XX amžiaus meninė kultūra. apskritai ir neklasikinė estetika.

Lit .: Denisovas E.V. Stabilūs ir mobilūs muzikinės formos elementai ir jų sąveika// Muzikos formų ir žanrų teorinės problemos. M., 1971; Kohoutek C. Kompozicijos technika XX amžiaus muzikoje. M., 1976; Lutoslavskis V. Straipsniai, būk

žili plaukai, prisiminimai. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Maincas, 1958; Boulezas R. Zu meiner III Sonatas// Ten pat, III. 1960 m.; Šaferis B. Nowa muzyka (1958). Krokuva, 1969; Šaferis B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krokuva, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmštatas, 1967 m.