Sukamojo judesio energija. Sukamojo judesio kinetinė energija
Mechanika.
Klausimas 1
Atskaitos sistema. Inercinės atskaitos sistemos. Galilėjaus-Einšteino reliatyvumo principas.
atskaitos sistema- tai kūnų rinkinys, kurio atžvilgiu aprašomas tam tikro kūno judėjimas ir su juo susijusi koordinačių sistema.
Inercinė atskaitos sistema (ISO)– sistema, kurioje laisvai judantis kūnas yra ramybės būsenoje arba tolygiai tiesia kryptimi juda.
Galilėjaus-Einšteino reliatyvumo principas- Visi gamtos reiškiniai bet kurioje inercinėje atskaitos sistemoje vyksta vienodai ir turi tą pačią matematinę formą. Kitaip tariant, visi ISO yra vienodi.
2 klausimas
Judėjimo lygtis. Standžiojo kūno judėjimo rūšys. Pagrindinis kinematikos uždavinys.
Materialaus taško judėjimo lygtys:
- kinematinė judėjimo lygtis
Standaus kūno judėjimo tipai:
1) Transliacinis judesys – bet kuri tiesi linija, nubrėžta kūne, juda lygiagrečiai sau.
2) Sukamasis judėjimas – bet kuris kūno taškas juda apskritimu.
φ = φ(t)
Pagrindinis kinematikos uždavinys- tai yra materialaus taško greičio V= V(t) ir koordinačių (arba spindulio vektoriaus) r = r(t) priklausomybės nuo laiko gavimas iš žinomos jo pagreičio a = a(t) priklausomybės nuo laiko ir žinomos pradinės sąlygos V 0 ir r 0 .
Klausimas #7
Pulsas (Judėjimo skaičius) – vektorinis fizikinis dydis, apibūdinantis kūno mechaninio judėjimo matą. Klasikinėje mechanikoje kūno impulsas yra lygus masės sandaugai m tai rodo jo greitį v, impulso kryptis sutampa su greičio vektoriaus kryptimi:
Teorinėje mechanikoje apibendrintas impulsas yra sistemos Lagranžo dalinė išvestinė apibendrintojo greičio atžvilgiu
Jei sistemos Lagranžo nepriklauso nuo kai kurių apibendrinta koordinatė, tada dėl Lagranžo lygtys .
Laisvosios dalelės Lagrange funkcija yra tokia: , taigi:
Iš nuosavybės išplaukia uždaros sistemos Lagranžo nepriklausomumas nuo jo padėties erdvėje erdvės homogeniškumas: gerai izoliuotai sistemai jos elgsena nepriklauso nuo to, kurioje erdvės vietoje ją patalpinsime. Autorius Noether teoremašis homogeniškumas reiškia tam tikro fizinio dydžio išsaugojimą. Šis dydis vadinamas impulsu (įprastu, neapibendrintu).
Klasikinėje mechanikoje pilna pagreitį Materialių taškų sistema vadinama vektoriniu dydžiu, lygiu materialių taškų masių sandaugų sumai jų greičiu:
atitinkamai dydis vadinamas vieno materialaus taško impulsu. Tai vektorinis dydis, nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir dalelės greitis. Impulso vienetas tarptautinėje vienetų sistemoje (SI) yra kilogramo metro per sekundę(kg m/s)
Jei turime reikalą su baigtinio dydžio kūnu, norint nustatyti jo impulsą, reikia suskaidyti kūną į mažas dalis, kurios gali būti laikomos materialiais taškais ir sumuojamos virš jų, todėl gauname:
Sistemos impulsas, kurio neveikia jokios išorinės jėgos (arba jos yra kompensuojamos), konservuoti laiku:
Impulso išsaugojimas šiuo atveju išplaukia iš antrojo ir trečiojo Niutono dėsnių: parašius antrąjį Niutono dėsnį kiekvienam materialiam taškui, kuris sudaro sistemą, ir susumavus jį per visus materialius taškus, sudarančius sistemą, remiantis trečiuoju Niutono dėsniu. įstatymą gauname lygybę (*).
Reliatyvistinėje mechanikoje nesąveikaujančių materialių taškų sistemos trimatis impulsas yra dydis
,
kur m i- svoris i- materialus taškas.
Uždarai nesąveikaujančių materialių taškų sistemai ši vertė išsaugoma. Tačiau trimatis impulsas nėra reliatyvistiškai nekintamas dydis, nes jis priklauso nuo atskaitos sistemos. Reikšmingesnė reikšmė bus keturmatis impulsas, kuris vienam materialiam taškui apibrėžiamas kaip
Praktikoje dažnai naudojami tokie ryšiai tarp dalelės masės, impulso ir energijos:
Iš esmės nesąveikaujančių materialių taškų sistemai jų 4 momentai yra sumuojami. Tačiau reliatyvistinėje mechanikoje sąveikaujančioms dalelėms reikia atsižvelgti ne tik į sistemą sudarančių dalelių momentą, bet ir į jų sąveikos lauko impulsą. Todėl daug reikšmingesnis dydis reliatyvistinėje mechanikoje yra energijos impulso tenzorius, kuris visiškai atitinka tvermės dėsnius.
Klausimas #8
Inercijos momentas- skaliarinis fizikinis dydis, kūno inercijos matas sukamojo judesio aplink ašį matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas. Jam būdingas masių pasiskirstymas kūne: inercijos momentas lygus elementariųjų masių sandaugų ir jų atstumų iki bazinės aibės kvadrato sumai.
Ašinis inercijos momentas
Kai kurių kūnų ašiniai inercijos momentai.
Mechaninės sistemos inercijos momentas fiksuotos ašies atžvilgiu („ašinis inercijos momentas“) vadinamas verte J a lygus visų masių sandaugų sumai n materialūs sistemos taškai į jų atstumo iki ašies kvadratus:
,
- m i- svoris i- taškas,
- r i- atstumas nuo i- taškas į ašį.
Ašinis inercijos momentas kūnas J a yra kūno, besisukančio aplink ašį, inercijos matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.
,
- dm = ρ dV- mažo tūrio kūno elemento masė dV,
- ρ – tankis,
- r- atstumas nuo elemento dV prie a ašies.
Jei kūnas yra vienalytis, tai yra, jo tankis visur yra vienodas, tada
Formulės išvedimas
dm ir inercijos momentus DJ I. Tada
Plonasienis cilindras (žiedas, lankas)
Formulės išvedimas
Kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių dalių inercijos momentų sumai. Plonasienio cilindro padalijimas į elementus su mase dm ir inercijos momentus DJ I. Tada
Kadangi visi plonasienio cilindro elementai yra vienodu atstumu nuo sukimosi ašies, formulė (1) paverčiama forma
Steinerio teorema
Inercijos momentas standaus kūno dydis bet kurios ašies atžvilgiu priklauso ne tik nuo kūno masės, formos ir matmenų, bet ir nuo kūno padėties šios ašies atžvilgiu. Pagal Steinerio teoremą (Huygenso-Steinerio teoremą), inercijos momentas kūnas J savavališkos ašies atžvilgiu yra lygi sumai inercijos momentasšis kūnas Jc ašies, einančios per kūno masės centrą, lygiagrečią nagrinėjamai ašiai, atžvilgiu ir kūno masės sandaugą m vienam kvadratiniam atstumui d tarp ašių:
Jei kūno inercijos momentas apie ašį, einantį per kūno masės centrą, tai inercijos momentas apie lygiagrečią ašį, esančią atstumu nuo jos, yra lygus
,
kur yra bendra kūno masė.
Pavyzdžiui, strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo galą, yra:
Sukimosi energija
Sukamojo judesio kinetinė energija- kūno energija, susijusi su jo sukimu.
Pagrindinės kūno sukamojo judėjimo kinematinės charakteristikos yra jo kampinis greitis (ω) ir kampinis pagreitis. Pagrindinės sukamojo judėjimo dinaminės charakteristikos yra kampinis impulsas apie sukimosi ašį z:
Kz = Izω
ir kinetinė energija
čia I z – kūno inercijos apie sukimosi ašį momentas.
Panašų pavyzdį galima rasti, kai kalbama apie besisukančią molekulę su pagrindinėmis inercijos ašimis aš 1, aš 2 Ir aš 3. Tokios molekulės sukimosi energiją suteikia išraiška
kur ω 1, ω 2, Ir ω 3 yra pagrindiniai kampinio greičio komponentai.
Bendruoju atveju energija sukimosi kampiniu greičiu randama pagal formulę:
, kur aš yra inercijos tenzorius.
Klausimas #9
impulso momentas (kampinis momentas, kampinis momentas, orbitinis momentas, kampinis momentas) apibūdina sukamojo judesio dydį. Kiekis, kuris priklauso nuo to, kiek masė sukasi, kaip ji pasiskirsto aplink sukimosi ašį ir kaip greitai sukimasi.
Pažymėtina, kad sukimasis čia suprantamas plačiąja prasme, ne tik kaip reguliarus sukimasis aplink ašį. Pvz., Net ir kūnui judant tiesiai virš savavališko įsivaizduojamo taško, kuris nėra ant judėjimo linijos, jis taip pat turi kampinį impulsą. Bene didžiausią vaidmenį vaidina kampinis impulsas, apibūdinantis tikrąjį sukimosi judesį. Tačiau tai labai svarbu daug platesnei problemų klasei (ypač jei problema turi centrinę arba ašinę simetriją, bet ne tik šiais atvejais).
Impulso tvermės dėsnis(kampinio momento išsaugojimo dėsnis) – visų kampinių momentų apie bet kurią ašį vektorinė suma uždarai sistemai išlieka pastovi esant sistemos pusiausvyrai. Pagal tai uždaros sistemos kampinis impulsas bet kurios kampinio impulso nelaikinės išvestinės atžvilgiu yra jėgos momentas:
Taigi sistemos uždarymo reikalavimas gali būti susilpnintas iki reikalavimo, kad pagrindinis (bendras) išorinių jėgų momentas būtų lygus nuliui:
kur yra vienos iš dalelių sistemą veikiančių jėgų momentas. (Bet žinoma, jei visiškai nėra išorinių jėgų, šis reikalavimas taip pat yra įvykdytas).
Matematiškai kampinio momento išsaugojimo dėsnis išplaukia iš erdvės izotropijos, tai yra iš erdvės nekintamumo sukimosi savavališku kampu atžvilgiu. Sukant begaliniu kampu dalelės spindulio vektorius su skaičiumi pasikeis , o greičiai - . Tokio sukimosi metu sistemos Lagranžo funkcija dėl erdvės izotropijos nepasikeis. Štai kodėl
Užduotys
1. Nustatykite, kiek kartų efektyvioji masė yra didesnė už traukinio, kurio masė yra 4000 tonų, gravitacinę masę, jei ratų masė yra 15% traukinio masės. Laikykite ratus kaip diskus, kurių skersmuo 1,02 m. Kaip pasikeis atsakymas, jei ratų skersmuo bus perpus mažesnis?
2. Nustatykite pagreitį, kuriuo 1200 kg masės ratų pora rieda nuo kalno, kurio nuolydis yra 0,08. Laikykite ratus kaip diskus. Pasipriešinimo riedėjimui koeficientas 0,004. Nustatykite ratų sukibimo su bėgiais jėgą.
3. Nustatykite pagreitį, kuriuo ratų pora, kurios masė 1400 kg, rieda į kalną, kurio nuolydis 0,05. Vilkimo koeficientas 0,002. Koks turi būti sukibimo koeficientas, kad ratai neslystų. Laikykite ratus kaip diskus.
4. Nustatykite pagreitį, kuriuo 40 tonų sveriantis vagonas rieda nuo kalno, kurio nuolydis 0,020, jei jis turi aštuonis 1200 kg svorio ir 1,02 m skersmens ratus.. Nustatykite ratų sukibimo su bėgiais jėgą. Vilkimo koeficientas 0,003.
5. Nustatyti stabdžių trinkelių slėgio jėgą ant padangų, jei 4000 tonų sveriantis traukinys sulėtėja 0,3 m/s 2 pagreičiu. Vieno aširačio inercijos momentas 600 kg m 2, ašių skaičius 400, bloko slydimo trinties koeficientas 0,18, pasipriešinimo riedėjimui koeficientas 0,004.
6. Nustatykite stabdymo jėgą, veikiančią keturių ašių vagoną, kurio masė 60 tonų, skirstymo aikštelės stabdžių trinkelę, jei greitis 30 m bėgių take sumažėjo nuo 2 m/s iki 1,5 m/s. Vieno aširačio inercijos momentas yra 500 kg m 2 .
7. Lokomotyvo spidometras rodė traukinio greičio padidėjimą per vieną minutę nuo 10 m/s iki 60 m/s. Greičiausiai paslydo pirmaujantis aširais. Nustatykite jėgų, veikiančių elektros variklio armatūrą, momentą. Aširačio inercijos momentas 600 kg m 2, inkarai 120 kg m 2 . Pavaros santykis pavara 4.2. Slėgio jėga ant bėgių yra 200 kN, ratų slydimo trinties koeficientas išilgai bėgio yra 0,10.
11. ROTATORIAUS KINETINĖ ENERGIJA
JUDĖJIMAI
Išvedame sukimosi judesio kinetinės energijos formulę. Leiskite kūnui suktis kampiniu greičiu ω
apie fiksuotą ašį. Bet kuri maža kūno dalelė atlieka transliacinį judesį apskritime greičiu , kur r i - atstumas iki sukimosi ašies, orbitos spindulys. Kinetinė dalelės energija
masės m i yra lygus 
. Bendra dalelių sistemos kinetinė energija yra lygi jų kinetinės energijos sumai. Sudėkime kūno dalelių kinetinės energijos formules ir išimkime pusės kampinio greičio kvadrato sumos ženklą, kuris yra vienodas visoms dalelėms. 
. Dalelių masių ir jų atstumų iki sukimosi ašies kvadratų sandaugų suma yra kūno inercijos apie sukimosi ašį momentas 
.
Taigi, kūno, besisukančio apie fiksuotą ašį, kinetinė energija yra lygi kūno inercijos apie ašį momento ir sukimosi kampinio greičio kvadrato sandaugai:
Besisukantys kūnai gali kaupti mechaninę energiją. Tokie kūnai vadinami smagračiais. Paprastai tai yra revoliucijos kūnai. Smagračių naudojimas puodžiaus rate buvo žinomas nuo antikos laikų. Vidaus degimo varikliuose eigos metu stūmoklis mechaninę energiją perduoda smagračiui, kuris vėliau atlieka variklio veleno sukimosi darbus per kitus tris ciklus. Antspauduose ir presuose smagratis varomas palyginti mažos galios elektros variklio, sukaupia mechaninę energiją beveik visam apsisukimui ir per trumpą smūgio akimirką atiduoda ją štampavimo darbui.
Daugybė bandymų naudoti besisukančius smagračius vairuoti transporto priemones: automobilius, autobusus. Jie vadinami mahomobiliais, giroskopais. Tokių eksperimentinių mašinų buvo sukurta daug. Perspektyvu būtų panaudoti smagračius energijos kaupimui stabdant elektrinius traukinius, kad sukaupta energija būtų panaudota vėlesnio įsibėgėjimo metu. Žinoma, kad smagračio energijos kaupiklis naudojamas Niujorko metro traukiniuose.
Pirmiausia apsvarstykite standųjį kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį OZ kampiniu greičiu ω (5.6 pav.). Suskaidykime kūną į elementarias mases. Elementariosios masės tiesinis greitis yra , kur yra jos atstumas nuo sukimosi ašies. Kinetinė energija i-tai elementarioji masė bus lygi
.
Viso kūno kinetinė energija susideda iš jo dalių kinetinės energijos, todėl
.
Atsižvelgiant į tai, kad suma, esanti dešinėje šio ryšio pusėje, reiškia kūno inercijos apie sukimosi ašį momentą, galiausiai gauname
. (5.30)
Besisukančio kūno kinetinės energijos formulės (5.30) yra panašios į atitinkamas kūno transliacinio judėjimo kinetinės energijos formules. Jie gaunami iš pastarųjų formalaus pakeitimo būdu 
.
Įprastu atveju standaus kūno judėjimas gali būti pavaizduotas kaip judesių suma – transliacijos greičiu, lygiu kūno masės centro greičiui, ir sukimosi kampiniu greičiu aplink momentinę ašį, einantį per masės centras. Šiuo atveju kūno kinetinės energijos išraiška įgauna formą
.
Dabar suraskime darbą, kurį atlieka išorinių jėgų momentas kieto kūno sukimosi metu. Elementarus išorinių jėgų darbas laike dt bus lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui
Paėmę skirtumą iš sukimosi judesio kinetinės energijos, randame jo prieaugį
.
Pagal pagrindinę sukamojo judėjimo dinamikos lygtį
Atsižvelgdami į šiuos ryšius, elementaraus darbo išraišką sumažiname iki formos
kur susidarančio išorinių jėgų momento projekcija sukimosi ašies kryptimi OZ, yra kūno sukimosi kampas per nagrinėjamą laikotarpį.
Integruodami (5.31) gauname besisukantį kūną veikiančių išorinių jėgų darbo formulę
Jei , tada formulė yra supaprastinta
Taigi išorinių jėgų darbas kieto kūno sukimosi apie fiksuotą ašį metu yra nulemtas šių jėgų momento projekcijos į nurodytą ašį veikimas.
Giroskopas
Giroskopas – tai greitai besisukantis simetriškas kūnas, kurio sukimosi ašis erdvėje gali keisti kryptį. Kad giroskopo ašis galėtų laisvai suktis erdvėje, giroskopas dedamas į vadinamąją kardaninę pakabą (5.13 pav.). Giroskopo smagratis sukasi vidiniame žiediniame narve aplink C 1 C 2 ašį, eidamas per jo svorio centrą. Vidinis narvas savo ruožtu gali suktis išoriniame narve aplink ašį B 1 B 2, statmeną C 1 C 2 . Galiausiai, išorinė skriemulys gali laisvai suktis statramsčio guoliuose aplink ašį A 1 A 2, statmeną ašims C 1 C 2 ir B 1 B 2. Visos trys ašys susikerta tam tikrame fiksuotame taške O, vadinamame pakabos centru arba giroskopo atramos tašku. Gimbale esantis giroskopas turi tris laisvės laipsnius, todėl gali suktis aplink gimbalo centrą. Jei giroskopo pakabos centras sutampa su jo sunkio centru, tai gautas visų giroskopo dalių sunkio momentas pakabos centro atžvilgiu yra lygus nuliui. Toks giroskopas vadinamas subalansuotu.
Dabar panagrinėkime svarbiausias giroskopo savybes, kurios buvo plačiai pritaikytos įvairiose srityse.
1) Tvarumas.
Sukant bet kokį subalansuotą giroskopo stovą, jo sukimosi ašis išlieka ta pačia kryptimi laboratorijos atskaitos sistemos atžvilgiu. Taip yra dėl to, kad visų išorinių jėgų momentas, lygus trinties jėgų momentui, yra labai mažas ir praktiškai nesukelia giroskopo kampinio momento pokyčio, t.y.
Kadangi kampinis momentas nukreiptas išilgai giroskopo sukimosi ašies, jo orientacija turi išlikti nepakitusi.
Jei išorinė jėga veikia trumpą laiką, integralas, lemiantis kampinio momento prieaugį, bus mažas
. (5.34)
Tai reiškia, kad esant trumpalaikei net didelių jėgų įtakai, subalansuoto giroskopo judėjimas keičiasi mažai. Giroskopas tarsi priešinasi visiems bandymams pakeisti savo kampinio impulso dydį ir kryptį. Su tuo susijęs nepaprastas stabilumas, kurį įgyja giroskopo judesys, kai jis greitai sukasi. Ši giroskopo savybė plačiai naudojama automatiškai valdyti orlaivių, laivų, raketų ir kitų transporto priemonių judėjimą.
Tačiau jei giroskopą ilgą laiką veikia nuolatinės krypties išorinių jėgų momentas, tada giroskopo ašis galiausiai nustatoma išorinių jėgų momento kryptimi. Šis reiškinys naudojamas girokompase. Šis prietaisas yra giroskopas, kurio ašis gali laisvai suktis horizontalioje plokštumoje. Dėl kasdienio Žemės sukimosi ir išcentrinių jėgų momento veikimo giroskopo ašis sukasi taip, kad kampas tarp ir tampa minimalus (5.14 pav.). Tai atitinka giroskopo ašies padėtį dienovidinio plokštumoje.
2). Giroskopinis efektas.
Jei jėgų pora ir yra taikoma besisukančiam giroskopui, linkusiu jį sukti aplink ašį, statmeną sukimosi ašiai, tada jis suksis aplink trečią ašį, statmeną pirmiesiems dviem (5.15 pav.). Toks neįprastas giroskopo elgesys vadinamas giroskopiniu efektu. Tai paaiškinama tuo, kad jėgų poros momentas yra nukreiptas išilgai O 1 O 1 ašies, o vektoriaus pokytis reikšme laikui bėgant bus ta pati kryptis. Dėl to naujasis vektorius suksis apie O 2 O 2 ašį. Taigi iš pažiūros nenatūralus giroskopo elgesys visiškai atitinka sukimosi judėjimo dinamikos dėsnius.
3). Giroskopo precesija.
Giroskopo precesija yra kūginis jo ašies judėjimas. Jis atsiranda, kai išorinių jėgų momentas, išlikdamas pastovus, sukasi kartu su giroskopo ašimi, visą laiką sudarydamas su ja stačiu kampu. Precesijai demonstruoti gali pasitarnauti dviračio ratas su prailginta ašimi, įvestas į greitą sukimąsi (5.16 pav.).
Jei ratas pakabinamas už pailginto ašies galo, tada jo ašis pradės judėti aplink vertikalią ašį, veikdama savo svorį. Greitai besisukantis viršus taip pat gali pasitarnauti kaip precesijos demonstravimas.
Išsiaiškinkite giroskopo precesijos priežastis. Apsvarstykite nesubalansuotą giroskopą, kurio ašis gali laisvai suktis aplink tam tikrą tašką O (5.16 pav.). Giroskopui taikomas gravitacijos momentas yra lygus
kur giroskopo masė, atstumas nuo taško O iki giroskopo masės centro, giroskopo ašies sudarytas kampas su vertikale. Vektorius nukreiptas statmenai vertikaliai plokštumai, einančiai per giroskopo ašį.
Šio momento įtakoje giroskopo kampinis impulsas (jo pradžia yra taške O) gaus prieaugį laike, o vertikali plokštuma, einanti per giroskopo ašį, pasisuks kampu. Vektorius visada yra statmenas , todėl, nekeičiant dydžio, vektorius keičia tik kryptį. Tokiu atveju po kurio laiko santykinė vektorių padėtis ir bus tokia pati kaip ir pradiniu momentu. Dėl to giroskopo ašis nuolat suksis aplink vertikalę, apibūdindama kūgį. Šis judėjimas vadinamas precesija.
Nustatykime precesijos kampinį greitį. Pagal 5.16 pav., plokštumos, einančios per kūgio ašį ir giroskopo ašį, sukimosi kampas lygus
kur yra giroskopo kampinis impulsas ir jo padidėjimas laikui bėgant.
Padalinę iš , atsižvelgiant į aukščiau nurodytus ryšius ir transformacijas, gauname precesijos kampinį greitį
. (5.35)
Technologijoje naudojamų giroskopų precesijos kampinis greitis yra milijonus kartų mažesnis už giroskopo sukimosi greitį.
Baigdami pažymime, kad precesijos reiškinys stebimas ir atomuose dėl elektronų judėjimo orbitoje.
Dinamikos dėsnių taikymo pavyzdžiai
Kai sukasi
1. Apsvarstykite kelis kampinio momento išsaugojimo dėsnio pavyzdžius, kuriuos galima įgyvendinti naudojant Žukovskio suolą. Paprasčiausiu atveju Žukovskio suolas yra disko formos platforma (kėdė), kuri ant rutulinių guolių gali laisvai suktis aplink vertikalią ašį (5.17 pav.). Demonstrantas sėdi arba atsistoja ant suolo, po to jis pradedamas suktis. Dėl to, kad trinties jėgos dėl guolių naudojimo yra labai mažos, sistemos, susidedančios iš stendo ir demonstratoriaus, kampinis momentas apie sukimosi ašį negali pasikeisti laike, jei sistema paliekama sau. Jei demonstrantas rankose laiko sunkius hantelius ir ištiesia rankas į šonus, tai padidins sistemos inercijos momentą, todėl sukimosi kampinis greitis turi sumažėti, kad kampinis momentas išliktų nepakitęs.
Pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį sudarome lygtį šiam atvejui
kur yra asmens ir suolo inercijos momentas ir hantelių inercijos momentas pirmoje ir antroje padėtyse ir yra sistemos kampiniai greičiai.
Sistemos sukimosi kampinis greitis, kai hanteliai yra į šoną, bus lygus
.
Darbas, kurį žmogus atlieka judindamas hantelius, gali būti nustatomas pasikeitus sistemos kinetikai
2. Dar vieną eksperimentą su Žukovskio suolu. Demonstrantas sėdi arba atsistoja ant suoliuko ir jam suteikiamas greitai besisukantis ratas su vertikaliai nukreipta ašimi (5.18 pav.). Tada demonstrantas pasuka vairą 180 0 . Šiuo atveju rato kampinio momento pokytis visiškai perkeliamas į stendą ir demonstratorių. Dėl to stendas kartu su demonstratoriumi pradeda suktis kampiniu greičiu, nustatytu pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį.
Sistemos kampinį momentą pradinėje būsenoje lemia tik rato kampinis momentas ir yra lygus
kur yra rato inercijos momentas, yra jo sukimosi kampinis greitis.
Pasukus ratą 180 0 kampu, sistemos impulso momentą jau lems suoliuko su žmogumi ir rato momento momento suma. Atsižvelgdami į tai, kad rato impulso vektorius pakeitė savo kryptį į priešingą, o jo projekcija vertikalioje ašyje tapo neigiama, gauname
,
kur yra "žmogaus ir platformos" sistemos inercijos momentas, yra kampinis suolo sukimosi su asmeniu greitis.
Pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį
Ir 
.
Dėl to randame suoliuko sukimosi greitį
3. Plona strypo masė m ir ilgis l sukasi kampiniu greičiu ω=10 s -1 horizontalioje plokštumoje aplink vertikalią ašį, einančią per strypo vidurį. Toliau sukdamasis toje pačioje plokštumoje, strypas juda taip, kad sukimosi ašis dabar eina per strypo galą. Antruoju atveju raskite kampinį greitį.
Šiame uždavinyje dėl to, kad kinta strypo masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu, kinta ir strypo inercijos momentas. Pagal izoliuotos sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnį turime
Čia - strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per strypo vidurį; 
- strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo galą ir randamas pagal Steinerio teoremą.
Pakeitę šias išraiškas į kampinio momento išsaugojimo dėsnį, gauname
,
.
4. Strypo ilgis L=1,5 m ir svoris m 1=10 kg yra atlenkiamas viršutiniame gale. Kulka su mase pataiko į strypo centrą m2=10 g, skrenda horizontaliai =500 m/s greičiu ir įstringa meškerėje. Kokiu kampu strypas pasisuks po smūgio?
Įsivaizduokime pav. 5.19. sąveikaujančių kūnų sistema „stypas-kulka“. Išorinių jėgų (gravitacijos, ašies reakcijos) momentai smūgio momentu yra lygūs nuliui, todėl galime naudoti kampinio momento išsaugojimo dėsnį.
Sistemos kampinis impulsas prieš smūgį yra lygus kulkos kampiniam momentui pakabos taško atžvilgiu
Sistemos kampinis impulsas po neelastinio smūgio nustatomas pagal formulę
,
kur yra strypo inercijos momentas pakabos taško atžvilgiu, yra kulkos inercijos momentas, yra strypo kampinis greitis su kulka iš karto po smūgio.
Išspręsdami gautą lygtį po pakeitimo, randame
.
Dabar pasinaudokime mechaninės energijos tvermės dėsniu. Sulyginkime kinetinę strypo energiją po kulkos pataikiimo su potencialia energija aukščiausiame pakilimo taške:
,
kur yra duotosios sistemos masės centro aukštis.
Atlikę reikiamas transformacijas gauname
Strypo įlinkio kampas yra susijęs su verte santykiu
.
Atlikę skaičiavimus gauname =0,1p=18 0 .
5. Nustatyti kūnų pagreitį ir sriegio įtempimą Atwood staklėje, darant prielaidą, kad (5.20 pav.). Bloko inercijos apie sukimosi ašį momentas yra aš, bloko spindulys r. Nepaisykite siūlų masės.
Išdėstykime visas apkrovas ir bloką veikiančias jėgas ir sudarykime joms dinamikos lygtis
Jei sriegis išilgai bloko neslysta, tai tiesinis ir kampinis pagreitis yra susiję su ryšiu
Išspręsdami šias lygtis, gauname
Tada randame T 1 ir T 2 .
6. Prie Oberbeko kryžiaus skriemulio (5.21 pav.) pritvirtinamas sriegis, prie kurio įkeliama masės apkrova. M= 0,5 kg. Nustatykite, per kiek laiko krovinys nukrenta iš aukščio h=1 m iki apatinės padėties. Skriemulio spindulys r\u003d 3 cm Keturi masės svareliai m= po 250 g per atstumą R= 30 cm nuo savo ašies. Nepaisykite paties kryžiaus ir skriemulio inercijos momento, palyginti su svarmenų inercijos momentu.
1. Apsvarstykite kūno sukimąsi aplinkui nejudėdamas ašis Z. Visą kūną padalinkime į elementariųjų masių aibę m i. Elementariosios masės tiesinis greitis m i– v i = w R i, kur R i– masės atstumas m i nuo sukimosi ašies. Todėl kinetinė energija i-oji elementarioji masė bus lygi 
. Bendra kūno kinetinė energija: 
, čia yra kūno inercijos apie sukimosi ašį momentas.
Taigi kūno, besisukančio apie fiksuotą ašį, kinetinė energija yra:
2. Leiskite kūnui dabar sukasi apie kurią nors ašį ir ašis juda palaipsniui, likdamas lygiagrečiai sau.
PAVYZDŽIUI: Neslysdamas riedantis rutulys daro sukamąjį judesį, o jo svorio centras, per kurį eina sukimosi ašis (taškas "O"), juda į priekį (4.17 pav.).
Greitis i-tai elementarioji kūno masė lygi 
, kur yra kurio nors kūno taško "O" greitis; – spindulys-vektorius, nustatantis elementarios masės padėtį taško „O“ atžvilgiu.
Elementariosios masės kinetinė energija yra lygi:
PASTABA: vektorinė sandauga sutampa su vektoriumi ir turi modulį, lygų (4.18 pav.).
Atsižvelgdami į šią pastabą, galime tai parašyti 
, kur masės atstumas nuo sukimosi ašies. Antrame etape atliekame ciklinę veiksnių permutaciją, po kurios gauname
Norėdami gauti bendrą kūno kinetinę energiją, šią išraišką susumuojame per visas elementarias mases, iš sumos ženklo išimdami pastovius veiksnius. Gauk
Elementariųjų masių suma yra kūno masė „m“. Išraiška lygi kūno masės ir kūno inercijos centro spindulio vektoriaus sandaugai (pagal inercijos centro apibrėžimą). Galiausiai – kūno inercijos momentas apie ašį, einantį per tašką „O“. Todėl galima rašyti
.
Jei kūno inercijos centrą „C“ imsime tašku „O“, tai spindulio vektorius bus lygus nuliui ir antrasis narys išnyks. Tada, žymėdami per - inercijos centro greitį ir per - kūno inercijos momentą ašies, einančios per tašką "C", atžvilgiu, gauname:
(4.6)
Taigi kūno kinetinė energija judant plokštumoje susideda iš judesio, kurio greitis lygus inercijos centro greičiui, energijos ir sukimosi aplink ašį, einančios per kūno inercijos centrą, energijos.
Išorinių jėgų darbas sukamojo standaus kūno judėjimo metu.
Raskite darbą, kurį atlieka jėgos, kai kūnas sukasi aplink fiksuotą Z ašį.
Tegul masę veikia vidinė ir išorinė jėga (susidaranti jėga yra plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai) (4.19 pav.). Šios jėgos daro laiku dt darbas:
Atlikę ciklinę faktorių permutaciją mišriuose vektorių sandauguose, randame:
kur , - atitinkamai vidinių ir išorinių jėgų momentai taško "O" atžvilgiu.
Susumavus visas elementarias mases, gauname per laiką atliktą elementarų kūno darbą dt:
Vidinių jėgų momentų suma lygi nuliui. Tada, žymėdami bendrą išorinių jėgų momentą per , gauname išraišką:
.
Yra žinoma, kad dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaliarinė, lygi vieno iš padaugintų vektorių modulio sandaugai ir antrojo projekcijos į pirmojo kryptį, atsižvelgiant į tai, kad , ( Z ašis ir sutampa), gauname
,
bet w dt=d j, t.y. kampas, kuriuo kūnas sukasi laike dt. Štai kodėl
.
Kūrinio ženklas priklauso nuo M z ženklo, t.y. nuo vektoriaus projekcijos ženklo į vektoriaus kryptį .
Taigi, kai kūnas sukasi, vidinės jėgos neveikia, o išorinių jėgų darbas nustatomas pagal formulę 
.
Per ribotą laiko intervalą atliktas darbas randamas integruojant
.
Jei susidariusio išorinių jėgų momento projekcija kryptimi išlieka pastovi, tada ją galima išimti iš integrinio ženklo:
, t.y. .
Tie. išorinės jėgos darbas kūno sukimosi metu yra lygus išorinės jėgos momento ir sukimosi krypties bei kampo projekcijos sandaugai.
Kita vertus, kūną veikiančios išorinės jėgos darbas eina kūno kinetinės energijos didinimui (arba yra lygus besisukančio kūno kinetinės energijos pokyčiui). Parodykime:
;
Vadinasi,
. (4.7)
Savarankiškai:
Elastinės jėgos;
Huko dėsnis.
| 7 PASKAITA |
Hidrodinamika
Srovės linijos ir vamzdeliai.
Hidrodinamika tiria skysčių judėjimą, tačiau jos dėsniai galioja ir dujų judėjimui. Stacionariame skysčio sraute jo dalelių greitis kiekviename erdvės taške yra nuo laiko nepriklausomas dydis ir koordinačių funkcija. Stacionariame sraute skysčio dalelių trajektorijos sudaro srautą. Srautinių linijų rinkinys sudaro srauto vamzdį (5.1 pav.). Darome prielaidą, kad skystis yra nesuspaudžiamas, tada skysčio tūris, tekantis per sekcijas S 1 ir S 2 bus tas pats. Per sekundę skysčio tūris lygus
, (5.1)
kur ir yra skysčių greičiai skerspjūviuose S 1 ir S 2 , o vektoriai ir yra apibrėžiami kaip ir , kur ir yra sekcijų normalės S 1 ir S 2. Lygtis (5.1) vadinama srovės tęstinumo lygtimi. Iš to išplaukia, kad skysčio greitis yra atvirkščiai proporcingas srovės vamzdžio skerspjūviui.
Bernulio lygtis.
Laikysime idealų nesuspaudžiamą skystį, kuriame nėra vidinės trinties (klampumo). Išskirkime ploną srovės vamzdelį stacionariame tekančiame skystyje (5.2 pav.) su skerspjūviais S1 Ir S2 statmenai srovinėms linijoms. skyriuje 1
greitu laiku t dalelės juda tam tikru atstumu l 1, ir skyriuje 2
- per atstumą l 2. Per abu skyrius laiku t prasiskverbs vienodi maži tūriai skysčio V= V 1 = V 2 ir vežtis daug skysčių m = rV, kur r yra skysčio tankis. Apskritai, viso skysčio mechaninės energijos pokytis srovės vamzdyje tarp sekcijų S1 Ir S2, kuris įvyko tuo metu t, gali būti pakeistas tūrinės energijos pokyčiu V, kuris įvyko, kai jis buvo perkeltas iš 1 skyriaus į 2 skyrių. Su tokiu judėjimu pasikeis šio tūrio kinetinė ir potenciali energija bei bendras energijos pokytis
, (5.2)
kur v 1 ir v 2 - skysčio dalelių greitis sekcijose S1 Ir S2 atitinkamai; g- gravitacijos pagreitis; h1 Ir h2- sekcijų centro aukščiai.
Idealiame skystyje nėra trinties nuostolių, todėl energija didėja DE turi būti lygus darbui, kurį atlieka slėgio jėgos paskirstytame tūryje. Nesant trinties jėgų, šis darbas:
Sulyginus dešiniąsias lygybių (5.2) ir (5.3) puses ir perkeliant narius su tais pačiais indeksais į vieną lygybės dalį, gauname
. (5.4)
Vamzdžių sekcijos S1 Ir S2 buvo paimti savavališkai, todėl galima teigti, kad išraiška galioja bet kurioje dabartinio vamzdžio dalyje
. (5.5)
Lygtis (5.5) vadinama Bernulio lygtimi. Horizontaliam supaprastinimui h = const , o lygybė (5.4) įgauna formą
r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)
tie. slėgis mažesnis tuose taškuose, kur greitis didesnis.
Vidinės trinties jėgos.
Tikram skysčiui būdingas klampumas, kuris pasireiškia tuo, kad bet koks skysčio ir dujų judėjimas spontaniškai sustoja, nesant jį sukėlusių priežasčių. Panagrinėkime eksperimentą, kai virš fiksuoto paviršiaus yra skysčio sluoksnis, o ant jo plūduriuojanti plokštė su paviršiumi juda iš viršaus greičiu. S(5.3 pav.). Patirtis rodo, kad norint plokštę judinti pastoviu greičiu, reikia ją veikti jėga. Kadangi plokštė negauna pagreičio, tai reiškia, kad šios jėgos veikimą subalansuoja kita jai lygi ir priešingos krypties jėga, kuri yra trinties jėga. .
Niutonas parodė, kad trinties jėga
, (5.7)
kur d- skysčio sluoksnio storis, h - skysčio klampumo koeficientas arba trinties koeficientas, minuso ženklas atsižvelgia į skirtingą vektorių kryptį F tr Ir v o. Jeigu panagrinėtume skysčio dalelių greitį skirtingose sluoksnio vietose, paaiškėtų, kad jis kinta pagal tiesinį dėsnį (5.3 pav.):
v(z) = (v 0 /d) z.
Išskirdami šią lygybę, gauname dv/dz= v 0 /d. Turint tai omenyje
| |
F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)
kur h- dinaminis klampos koeficientas. Vertė dv/dz vadinamas greičio gradientu. Tai rodo, kaip greitai keičiasi greitis ašies kryptimi z. At dv/dz= const greičio gradientas skaitine prasme lygus greičio pokyčiui v kai pasikeičia z vienetui. Į (5.8) formulę įdedame skaitinį skaičių dv/dz =-1 ir S= 1, gauname h = F. tai reiškia fizinė reikšmė h: klampos koeficientas yra skaitine prasme lygus jėgai, kuri veikia vienetinio ploto skystą sluoksnį, kurio greičio gradientas lygus vienetui. SI klampumo vienetas vadinamas paskaliu sekunde (žymima Pa s). CGS sistemoje klampumo vienetas yra 1 puzas (P), kai 1 Pa s = 10P.
Nustatykime standaus kūno, besisukančio aplink fiksuotą ašį, kinetinę energiją. Padalinkime šį kūną į n materialių taškų. Kiekvienas taškas juda tiesiniu greičiu υ i =ωr i , tada taško kinetinė energija
arba 
Bendra besisukančio standaus kūno kinetinė energija yra lygi visų jo materialių taškų kinetinių energijų sumai:
(3.22)
(J - kūno inercijos momentas apie sukimosi ašį)
Jei visų taškų trajektorijos yra lygiagrečiose plokštumose (kaip cilindras, riedamas nuožulnia plokštuma, kiekvienas taškas juda savo plokštuma pav.), tai yra plokščias judesys. Pagal Eulerio principą plokštumos judėjimas visada gali būti išskaidytas į transliacinį ir sukamąjį judėjimą be galo daugybe būdų. Jei kamuolys krenta arba slysta išilgai pasvirusios plokštumos, jis juda tik į priekį; rutuliui riedant jis taip pat sukasi.
Jei kūnas tuo pačiu metu atlieka transliacinius ir sukamuosius judesius, tada jo bendra kinetinė energija yra lygi
(3.23)
Palyginus transliacinių ir sukamųjų judesių kinetinės energijos formules, matyti, kad sukamojo judėjimo metu inercijos matas yra kūno inercijos momentas.
§ 3.6 Išorinių jėgų darbas sukant standųjį kūną
Sukant standųjį kūną, jo potencinė energija nekinta, todėl elementarus išorinių jėgų darbas yra lygus kūno kinetinės energijos prieaugiui:
dA = dE arba 
Atsižvelgiant į tai, kad Jβ = M, ωdr = dφ, turime kūno α baigtiniu kampu φ lygus
(3.25)
Kai standus kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, išorinių jėgų darbą lemia šių jėgų momento veikimas apie nurodytą ašį. Jei jėgų momentas apie ašį lygus nuliui, tai šios jėgos nesukuria darbo.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
2.1 pavyzdys. smagračio masėm=5kg ir spindulysr= 0,2 m sukasi aplink horizontalią ašį dažniuν 0 =720 min -1 ir sustoja stabdantt=20 s. Prieš sustodami suraskite stabdymo momentą ir apsisukimų skaičių.
Stabdymo momentui nustatyti taikome pagrindinę sukimosi judėjimo dinamikos lygtį
kur I=mr 2 – disko inercijos momentas; Δω \u003d ω - ω 0, o ω \u003d 0 yra galutinis kampinis greitis, ω 0 \u003d 2πν 0 yra pradinis. M – diską veikiančių jėgų stabdymo momentas.
Žinant visus kiekius, galima nustatyti stabdymo momentą
Ponas 2 2πν 0 = МΔt (1)
(2)
Iš sukimosi judesio kinematikos sukimosi kampą disko sukimosi iki sustojimo metu galima nustatyti pagal formulę
(3)
kur β yra kampinis pagreitis.
Pagal uždavinio sąlygą: ω = ω 0 - βΔt, kadangi ω=0, ω 0 = βΔt
Tada išraišką (2) galima parašyti taip:
2.2 pavyzdys. Du smagračiai vienodo spindulio ir masės diskų pavidalu buvo sukami iki sukimosi greičion= 480 aps./min. ir paliko sau. Veikiant velenų trinties jėgoms ant guolių, pirmasis sustojo po tot\u003d 80 s, o antrasis padarėN= 240 apsisukimų, kad sustotų. Kuriame smagratyje velenų trinties jėgų momentas ant guolių buvo didesnis ir kiek kartų.
Pirmojo smagračio spyglių jėgų M 1 momentą rasime naudodamiesi pagrindine sukimosi judėjimo dinamikos lygtimi
M 1 Δt \u003d Iω 2 – Iω 1
kur Δt yra trinties jėgų momento veikimo laikas, I \u003d mr 2 - smagračio inercijos momentas, ω 1 \u003d 2πν ir ω 2 \u003d 0 yra pradinis ir galutinis smagračio kampinis greitis
Tada 
Antrojo smagračio trinties jėgų momentas M 2 išreiškiamas ryšiu tarp trinties jėgų darbo A ir jo kinetinės energijos pokyčio ΔE k:
čia Δφ = 2πN – sukimosi kampas, N – smagračio apsisukimų skaičius.
Tada kur
APIE 
santykis bus
Antrojo smagračio trinties sukimo momentas yra 1,33 karto didesnis.
2.3 pavyzdys.
Vienalyčio kieto disko masė m, apkrovų masės m 1
ir m 2
(15 pav.). Cilindro ašyje nėra slydimo ir sriegio trinties. Raskite masių pagreitį ir sriegio įtempių santykį
judėjimo procese.
Sriegis neslysta, todėl, kai m 1 ir m 2 atliks transliacinį judesį, cilindras suksis apie ašį, einančią per tašką O. Tikslumui tarkime, kad m 2 > m 1.
Tada apkrova m 2 nuleidžiama ir cilindras sukasi pagal laikrodžio rodyklę. Užrašykime į sistemą įtrauktų kūnų judėjimo lygtis
Pirmosios dvi lygtys parašytos kūnams, kurių masės m 1 ir m 2 atlieka transliacinį judėjimą, o trečioji lygtis skirta besisukančiam cilindrui. Trečiojoje lygtyje kairėje yra bendras cilindrą veikiančių jėgų momentas (jėgos momentas T 1 imamas su minuso ženklu, nes jėga T 1 linkusi pasukti cilindrą prieš laikrodžio rodyklę). Dešinėje I yra cilindro inercijos momentas aplink ašį O, kuris yra lygus
čia R yra cilindro spindulys; β – cilindro kampinis pagreitis.
Kadangi nėra slydimo, 
. Atsižvelgdami į I ir β išraiškas, gauname:
Sudėję sistemos lygtis, gauname lygtį
Iš čia randame pagreitį a krovinys
Iš gautos lygties matyti, kad sriegio įtempimai bus vienodi, t.y. 
=1, jei cilindro masė yra daug mažesnė už svarelių masę.
2.4 pavyzdys.
Tuščiavidurio rutulio, kurio masė m = 0,5 kg, išorinis spindulys R = 0,08 m, o vidinis spindulys r = 0,06 m. Rutulys sukasi aplink ašį, einančią per jo centrą. Tam tikru momentu rutulį pradeda veikti jėga, dėl kurios rutulio sukimosi kampas keičiasi pagal dėsnį
. Nustatykite veikiančios jėgos momentą.
Uždavinį sprendžiame naudodami pagrindinę sukamojo judėjimo dinamikos lygtį 
. Pagrindinis sunkumas yra nustatyti tuščiavidurio rutulio inercijos momentą, o kampinis pagreitis β randamas kaip 
. Tuščiavidurio rutulio I inercijos momentas yra lygus rutulio, kurio spindulys R, ir rutulio, kurio spindulys r, inercijos momentų skirtumui:
čia ρ yra rutulio medžiagos tankis. Mes randame tankį, žinodami tuščiavidurio rutulio masę
Iš čia mes nustatome rutulio medžiagos tankį
Jėgos M momentui gauname tokią išraišką:
2.5 pavyzdys. Plonas strypas, kurio masė 300 g ir ilgis 50 cm, sukasi 10 s kampiniu greičiu -1 horizontalioje plokštumoje aplink vertikalią ašį, einančią per strypo vidurį. Raskite kampinį greitį, jei sukdamasis toje pačioje plokštumoje strypas juda taip, kad sukimosi ašis eina per strypo galą.
Mes naudojame kampinio momento išsaugojimo dėsnį
(1)
(J i - strypo inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu).
Izoliuotai kūnų sistemai kampinio momento vektorinė suma išlieka pastovi. Dėl to, kad keičiasi strypo masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu, strypo inercijos momentas taip pat keičiasi pagal (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)
Yra žinoma, kad strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per masės centrą ir statmenai strypui, yra lygus
J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)
Pagal Steinerio teoremą
J = J 0 +m bet 2
(J – strypo inercijos momentas apie savavališką sukimosi ašį; J 0 – inercijos momentas apie lygiagrečią ašį, kertančią masės centrą; bet- atstumas nuo masės centro iki pasirinktos sukimosi ašies).
Raskime inercijos momentą apie ašį, einančią per jos galą ir statmeną strypui:
J 2 \u003d J 0 +m bet 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)
Pakeiskime formules (3) ir (4) į (2):
mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3
ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5 s -1
2.6 pavyzdys . masės žmogusm= 60 kg, stovint ant platformos krašto, kurios masė M = 120 kg, inercija besisukanti aplink fiksuotą vertikalią ašį dažniu ν 1 =12 min -1 , eina į jo centrą. Laikydami platformą kaip apvalų homogeninį diską, o žmogų kaip taškinę masę, nustatykite, kokiu dažniu ν 2 tada platforma pasisuks.
Duota: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .
Rasti: prieš 1
Sprendimas: Pagal problemos būklę platforma su žmogumi sukasi pagal inerciją, t.y. visų besisukančią sistemą veikiančių jėgų gautas momentas lygus nuliui. Todėl „platformos žmogaus“ sistemai impulso išsaugojimo dėsnis yra įvykdytas
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
kur 
- sistemos inercijos momentas, kai žmogus stovi ant platformos krašto (atsižvelgėme į tai, kad platformos inercijos momentas lygus 
(R yra spindulys p 
platforma), žmogaus inercijos momentas platformos krašte yra mR 2).
- sistemos inercijos momentas, kai žmogus stovi platformos centre (atsižvelgėme į tai, kad platformos centre stovinčio žmogaus momentas lygus nuliui). Kampinis greitis ω 1 = 2π ν 1 ir ω 1 = 2π ν 2 .
Parašytus posakius pakeitę formule (1), gauname
iš kur norimas sukimosi greitis
Atsakymas: v 2 =24 min -1 .