Apibrėžkite dviejų vektorių kryžminę sandaugą. vektorinis produktas
Kampas tarp vektorių
Kad galėtume pristatyti dviejų vektorių kryžminės sandaugos sąvoką, pirmiausia turime nagrinėti tokią sąvoką kaip kampas tarp šių vektorių.
Duokime du vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$. Paimkime tam tikrą erdvės tašką $O$ ir iš jo atidėkime vektorius $\overline(α)=\overline(OA)$ ir $\overline(β)=\overline(OB)$, tada kampą $AOB. $ bus vadinamas kampu tarp šių vektorių (1 pav.).
Žymėjimas: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Vektorių kryžminės sandaugos samprata ir radimo formulė
1 apibrėžimas
Dviejų vektorių sandauga yra vektorius, statmenas abiem duotiesiems vektoriams, o jo ilgis bus lygus šių vektorių ilgių sandaugai su kampo tarp šių vektorių sinusu, o šis vektorius su dviem pradiniais turi tą patį orientacija kaip Dekarto koordinačių sistema.
Žymėjimas: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematiškai tai atrodo taip:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ ir $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ yra ta pati orientacija (2 pav.)
Akivaizdu, kad išorinė vektorių sandauga bus lygi nuliniam vektoriui dviem atvejais:
- Jei vieno ar abiejų vektorių ilgis lygus nuliui.
- Jei kampas tarp šių vektorių lygus $180^\circ$ arba $0^\circ$ (nes šiuo atveju sinusas lygus nuliui).
Norėdami aiškiai matyti, kaip randama vektorių kryžminė sandauga, apsvarstykite šiuos sprendimų pavyzdžius.
1 pavyzdys
Raskite vektoriaus $\overline(δ)$ ilgį, kuris bus vektorių kryžminės sandaugos rezultatas su koordinatėmis $\overline(α)=(0,4,0)$ ir $\overline(β) =(3,0,0 )$.
Sprendimas.
Pavaizduokime šiuos vektorius Dekarto koordinačių erdvėje (3 pav.):
3 pav. Vektoriai Dekarto koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Matome, kad šie vektoriai yra atitinkamai $Ox$ ir $Oy$ ašyse. Todėl kampas tarp jų bus lygus $90^\circ$. Raskime šių vektorių ilgius:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Tada pagal 1 apibrėžimą gauname modulį $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Atsakymas: 12 USD.
Kryžminės sandaugos apskaičiavimas pagal vektorių koordinates
1 apibrėžimas iš karto reiškia būdą, kaip rasti dviejų vektorių kryžminę sandaugą. Kadangi vektorius, be reikšmės, turi ir kryptį, jos neįmanoma rasti naudojant tik skaliarinę reikšmę. Tačiau be jo yra dar vienas būdas rasti mums pateiktus vektorius naudojant koordinates.
Pateikiame vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$, kurie turės atitinkamai $(α_1,α_2,α_3)$ ir $(β_1,β_2,β_3)$ koordinates. Tada kryžminės sandaugos vektorių (būtent jo koordinates) galima rasti pagal šią formulę:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Priešingu atveju, išplėtę determinantą, gauname tokias koordinates
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
2 pavyzdys
Raskite kolinearinių vektorių $\overline(α)$ ir $\overline(β)$, kurių koordinatės $(0,3,3)$ ir $(-1,2,6)$, kryžminės sandaugos vektorių.
Sprendimas.
Naudokime aukščiau pateiktą formulę. Gauk
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18) -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$
Atsakymas: $(12,-3,3)$.
Vektorių kryžminės sandaugos savybės
Savavališkai sumaišytiems trims vektoriams $\overline(α)$, $\overline(β)$ ir $\overline(γ)$, taip pat $r∈R$ galioja šios savybės:
3 pavyzdys
Raskite lygiagretainio plotą, kurio viršūnių koordinatės $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ir $(3,8,0) $.
Sprendimas.
Pirmiausia koordinačių erdvėje nubrėžkite šį lygiagretainį (5 pav.):
5 pav. Lygiagretainė koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Matome, kad dvi šio lygiagretainio kraštinės yra sudarytos naudojant kolinearinius vektorius, kurių koordinatės $\overline(α)=(3,0,0)$ ir $\overline(β)=(0,8,0)$. Naudodami ketvirtąją savybę gauname:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Raskite vektorių $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Vadinasi
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Apibrėžimas. Vektoriaus a (daugiklio) sandauga iš vektoriaus (daugiklio), kuris nėra kolinijinis su juo, yra trečiasis vektorius c (daugiklis), kuris sudarytas taip:
1) jo modulis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio plotui fig. 155), pastatyta ant vektorių, t. y. lygi krypčiai, statmenai minėto lygiagretainio plokštumai;
3) šiuo atveju pasirenkama vektoriaus c kryptis (iš dviejų galimų), kad vektoriai c sudarytų dešiniarankę sistemą (§ 110).
Pavadinimas: arba
Apibrėžimo papildymas. Jeigu vektoriai yra kolinearūs, tai figūrą laikant (sąlygiškai) lygiagretainiu, natūralu priskirti nulinį plotą. Todėl kolinearinių vektorių vektorinė sandauga laikoma lygia nuliniam vektoriui.
Kadangi nuliniam vektoriui gali būti priskirta bet kokia kryptis, šis susitarimas neprieštarauja apibrėžimo 2 ir 3 punktams.
1 pastaba. Sąvokoje „vektorinis sandauga“ pirmasis žodis nurodo, kad veiksmo rezultatas yra vektorius (priešingai nei skaliarinė sandauga; plg. § 104, 1 pastaba).
Pavyzdys 1. Raskite vektorinę sandaugą, kurioje yra pagrindiniai dešiniosios koordinačių sistemos vektoriai (156 pav.).
1. Kadangi pagrindinių vektorių ilgiai lygūs mastelio vienetui, lygiagretainio (kvadrato) plotas skaitine prasme lygus vienetui. Vadinasi, vektorinės sandaugos modulis lygus vienetui.
2. Kadangi statmena plokštumai yra ašis, norima vektorinė sandauga yra vektorius, kolinearinis vektoriui k; ir kadangi jie abu turi 1 modulį, reikalinga kryžminė sandauga yra arba k, arba -k.
3. Iš šių dviejų galimų vektorių reikia pasirinkti pirmąjį, nes vektoriai k sudaro dešiniąją sistemą (o vektoriai – kairiąją).
2 pavyzdys. Raskite kryžminį sandaugą
Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad vektorius yra arba k, arba -k. Bet dabar turime pasirinkti -k, nes vektoriai sudaro dešinę sistemą (o vektoriai sudaro kairę). Taigi,
3 pavyzdys Vektoriai yra atitinkamai 80 ir 50 cm ilgio ir sudaro 30° kampą. Laikydami metrą kaip ilgio vienetą, raskite vektorinės sandaugos a ilgį
Sprendimas. Ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas lygus Norimos vektorinės sandaugos ilgis lygus
4 pavyzdys Raskite tų pačių vektorių kryžminės sandaugos ilgį, ilgio vienetu laikant centimetrą.
Sprendimas. Kadangi ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas lygus vektoriaus sandaugos ilgiui yra 2000 cm, t.y.
Palyginus 3 ir 4 pavyzdžius, matyti, kad vektoriaus ilgis priklauso ne tik nuo faktorių ilgių, bet ir nuo ilgio vieneto pasirinkimo.
Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė. Iš daugelio fizinių dydžių, kuriuos vaizduoja vektorinė sandauga, nagrinėsime tik jėgos momentą.
Jėgos taikymo taškas yra A. Jėgos momentas taško O atžvilgiu vadinamas vektorine sandauga. Kadangi šios vektorinės sandaugos modulis skaitine prasme lygus lygiagretainio plotui (157 pav.), momento modulis lygus pagrindo sandaugai iš aukščio, ty jėgos, padaugintos iš atstumo nuo taško O iki tiesės, išilgai kurios veikia jėga.
Mechanikoje įrodyta, kad standaus kūno pusiausvyrai būtina, kad ne tik vektorių, atspindinčių kūną veikiančias jėgas, suma, bet ir jėgų momentų suma būtų lygi nuliui. Tuo atveju, kai visos jėgos lygiagrečios tai pačiai plokštumai, momentus vaizduojančių vektorių sudėjimas gali būti pakeistas jų modulių pridėjimu ir atėmimu. Tačiau savavališkoms jėgų kryptims toks pakeitimas neįmanomas. Atsižvelgiant į tai, kryžminė sandauga tiksliai apibrėžiama kaip vektorius, o ne kaip skaičius.
Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių kryžminė sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių taškinė sandauga, reikia vis daugiau. Tokia yra vektorinė priklausomybė. Gali susidaryti įspūdis, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai netiesa. Šioje aukštosios matematikos dalyje malkų paprastai yra mažai, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta – vargu ar sunkesnė nei ta pati skaliarinis produktas, net bus mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis matys ar jau matė, yra NEKLAISTI SKAIČIAVIMUI. Kartokite kaip burtą ir būsite laimingi =)
Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai, stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių rinkinį, kuris dažnai sutinkamas praktiniame darbe
Kas jus pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ir net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar visai nereikia žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdvės vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišri vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Jau lengviau!
Atliekant šią operaciją, kaip ir skaliarinėje sandaugoje, du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstančios raidės.
Pats veiksmas žymimas tokiu būdu: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių kryžminę sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryžiumi.
Ir iš karto klausimas: jei įeina vektorių taškinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Aiškus skirtumas, visų pirma, REZULTATAS:
Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:
Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VEKTORIUS: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilo operacijos pavadinimas. Įvairioje mokomojoje literatūroje pavadinimai taip pat gali skirtis, naudosiu raidę .
Kryžminio produkto apibrėžimas
Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.
Apibrėžimas: kryžminis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, pastatytas remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas: 
Mes analizuojame apibrėžimą pagal kaulus, yra daug įdomių dalykų!
Taigi galime pabrėžti šiuos svarbius dalykus:
1) Šaltinio vektoriai , pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.
2) Paimti vektoriai griežta tvarka: – "a" padauginamas iš "būti", o ne "būti" į "a". Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR , kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai dauginami atvirkštine tvarka, tada gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (raudonos spalvos). Tai yra lygybė 
.
3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus momentas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus ) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sudaryto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.
Pastaba : brėžinys yra schematiškas, ir, žinoma, vardinis skersinio sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.
Primename vieną iš geometrinių formulių: lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:
Pabrėžiu, kad formulėje kalbame apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė yra tokia, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinio sandaugos sąvoką:
Gauname antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti pagal formulę:
4) Ne mažiau svarbus faktas yra tas, kad vektorius yra statmenas vektoriams , tai yra 
. Žinoma, priešingos krypties vektorius (raudonoji rodyklė) taip pat yra statmena pirminiams vektoriams .
5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu Tai turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Aš kalbėjau išsamiai apie plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kokia yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešinė ranka. Psichiškai derinkite smiliumi su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite į delną. Kaip rezultatas nykštys- vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (jis yra paveikslėlyje). Dabar pakeiskite vektorius ( rodomieji ir viduriniai pirštai) kai kuriose vietose dėl to nykštis apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Galbūt jums kyla klausimas: koks pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tuos pačius pirštus kairiarankis vektorius ir gaukite kairiosios bazės bei kairiosios erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir šios sąvokos nereikėtų laikyti kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, įprasčiausias veidrodis pakeičia erdvės orientaciją, o jei „ištrauksite atspindėtą objektą iš veidrodžio“, apskritai nebus įmanoma derinkite jį su „originalu“. Beje, atvesk tris pirštus prie veidrodžio ir analizuok atspindį ;-)
... kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuoti į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą yra baisūs =)
Kolinearinių vektorių vektorinė sandauga
Apibrėžimas buvo detaliai parengtas, belieka išsiaiškinti, kas atsitinka, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „susilenkia“ į vieną tiesę. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia ir iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui
Taigi, jei , tada 
Ir 
. Atkreipkite dėmesį, kad pati kryžminė sandauga yra lygi nulio vektoriui, tačiau praktikoje tai dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis taip pat lygus nuliui.
Ypatingas atvejis yra vektoriaus ir jo paties sandauga:
Naudodami kryžminį sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.
Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.
Na, užkurkime ugnį:
1 pavyzdys
a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei 
b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei 
Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pačius pradinius duomenis sąlygos elementuose. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!
a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (vektoriaus sandauga). Pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas:
Kadangi buvo klausiama apie ilgį, tai atsakyme nurodome matmenį – vienetus.
b) Pagal sąlygą reikia rasti plotas lygiagretainis, pastatytas ant vektorių . Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus kryžminės sandaugos ilgiui:
Atsakymas:
Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme apie vektorinį produktą visai nekalbama, mūsų buvo paklausta figūros sritis, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.
Visada žiūrime, KAS turi būti nustatyta pagal sąlygą, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Gali atrodyti, kad tai yra pažodiškumas, bet tarp mokytojų pakanka literatų, ir užduotis su didelėmis galimybėmis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai nėra itin įtemptas niekšas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba neįsigilino į užduoties esmę. Šį momentą visada reikia kontroliuoti, sprendžiant bet kokias aukštosios matematikos ir kitų dalykų problemas.
Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo būtų galima papildomai prikibti prie sprendimo, bet norėdamas sutrumpinti įrašą, to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį.
Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:
2 pavyzdys
Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei 
Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Praktiškai užduotis tikrai labai dažna, trikampius apskritai galima kankinti.
Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikia:
Vektorių kryžminės sandaugos savybės
Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.
Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:
1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra išskiriamas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.
2) 
- turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.
3) - derinys arba asociatyvus vektorinės sandaugos dėsniai. Konstantos lengvai pašalinamos iš vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten veikia?
4) - paskirstymas arba paskirstymas vektorinės sandaugos dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant skliaustus.
Kaip demonstraciją, apsvarstykite trumpą pavyzdį:
3 pavyzdys
Rasti, jei 
Sprendimas: Pagal sąlygą vėl reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą: 
(1) Pagal asociatyvinius dėsnius išimame konstantas už vektorinės sandaugos ribų.
(2) Iš modulio išimame konstantą, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.
(3) Toliau aišku.
Atsakymas: 
Atėjo laikas mesti malkas į ugnį:
4 pavyzdys
Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei 
Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę 
. Bėda ta, kad vektoriai „ce“ ir „te“ patys pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius. Taškinė vektorių sandauga. Kad būtų aiškumo, suskirstykime jį į tris etapus:
1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, išreikškite vektorių vektoriumi. Apie ilgį dar nė žodžio!
(1) Mes pakeičiame vektorių išraiškas.
(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, atidarykite skliaustus pagal daugianario daugybos taisyklę.
(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, išimame visas konstantas už vektorinių sandaugų. Turint mažai patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.
(4) Pirmasis ir paskutinis terminai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl malonios savybės . Antrajame termine mes naudojame vektorinio sandaugos antikomutatyvumo savybę:
(5) Pateikiame panašias sąlygas.
Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, o tai buvo tai, ko reikėjo pasiekti: 
2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį: 
3) Raskite reikiamo trikampio plotą: 
2-3 tirpalo žingsniai gali būti išdėstyti vienoje eilutėje.
Atsakymas:
Nagrinėjama problema yra gana dažna bandymuose, čia yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys:
5 pavyzdys
Rasti, jei
Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)
Vektorių koordinatėse sandauga
, pateikta ortonormaliu pagrindu , išreiškiamas formule:
Formulė tikrai paprasta: determinanto viršutinėje eilutėje įrašome koordinačių vektorius, vektorių koordinates „supakuojame“ į antrą ir trečią eilutes ir dedame griežta tvarka- pirmiausia vektoriaus "ve" koordinatės, tada vektoriaus "double-ve" koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, eilutės taip pat turėtų būti pakeistos: 
10 pavyzdys
Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
bet)
b) 
Sprendimas: Testas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų kryžminė sandauga yra nulis (nulis vektorius): 
.
a) Raskite vektorinę sandaugą: 
Taigi vektoriai nėra kolineariniai.
b) Raskite vektorinę sandaugą: 
Atsakymas a) ne kolinearinis, b)
Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.
Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir kelių darbo formulių.
Mišrus vektorių sandauga yra trijų vektorių sandauga:
Taip jie išsirikiuoja kaip traukinys ir laukia, negali laukti, kol bus paskaičiuoti.
Pirmiausia vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:
Apibrėžimas: Mišrus produktas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas gretasienio tūris, pastatytas ant šių vektorių, turintis "+" ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir "-" ženklą, jei pagrindas yra kairysis.
Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrine linija: 
Pasinerkime į apibrėžimą:
2) Paimti vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių permutacija sandaugoje, kaip galima spėti, neapsieina be pasekmių.
3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali būti kiek kitoks, aš mišrų gaminį žymėjau per, o skaičiavimų rezultatą – raide „pe“.
Pagal apibrėžimą mišrusis produktas yra gretasienio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius lygus nurodyto gretasienio tūriui.
Pastaba : Brėžinys schematiškas.
4) Vėl nesivarginkime pagrindo ir erdvės orientacijos samprata. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais tariant, mišrus produktas gali būti neigiamas: .
Iš vektorių pastatyto gretasienio tūrio apskaičiavimo formulė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo.
Apibrėžimas. Vektorių a ir vektoriaus b vektorinė sandauga yra vektorius, žymimas simboliu [«, b] (arba lxb), kad 1) vektoriaus [a, b] ilgis būtų lygus (p, kur y yra kampas tarp vektorių a ir b ( 31);2) vektorius [a, b) yra statmenas vektoriams a ir b, t.y. statmena šių vektorių plokštumai; 3) vektorius [a, b] nukreiptas taip, kad nuo šio vektoriaus galo matosi trumpiausias posūkis iš a į b prieš laikrodžio rodyklę (32 pav.). Ryžiai. 32 31 pav. Kitaip tariant, vektoriai a, b ir [а, b) sudaro dešinįjį vektorių trigubą, t.y. yra kaip dešinės rankos nykščio, rodomojo ir viduriniojo pirštai. Jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, manysime, kad [a, b] = 0. Pagal apibrėžimą vektoriaus sandaugos ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio (33 pav.), pastatyto ant padaugintų vektorių, plotui Sa a ir b kaip šonuose: 6.1 . Vektoriaus sandaugos savybės 1. Vektoriaus sandauga lygi nuliui vektoriui tada ir tik tada, kai bent vienas iš padaugintų vektorių yra lygus nuliui arba kai šie vektoriai yra kolinearūs (jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tai kampas tarp jų yra 0 arba 7r). Tai lengva gauti iš to, kad Jei laikysime nulinį vektorių kolinariniu bet kuriam vektoriui, tai vektorių a ir b kolinariškumo sąlygą galima išreikšti taip 2. Vektoriaus sandauga yra antikomutacinė, t.y. visada. Iš tiesų, vektoriai (a, b) ir yra vienodo ilgio ir yra kolinearūs. Šių vektorių kryptys yra priešingos, nes nuo vektoriaus [a, b] galo trumpiausias posūkis iš a į b bus matomas prieš laikrodžio rodyklę, o nuo vektoriaus [b, a] galo - pagal laikrodžio rodyklę (1 pav.). 34). 3. Vektorinė sandauga turi pasiskirstymo savybę 4 pridėjimo atžvilgiu. Skaitinį koeficientą A galima paimti iš vektorinės sandaugos ženklo 6.2. Vektorių sandauga vektorių, nurodytų koordinatėmis. Tegul vektoriai a ir b pateikiami pagal jų koordinates baze. Naudodamiesi vektorinės sandaugos pasiskirstymo savybe, randame vektorių, pateiktų koordinatėmis, vektorinę sandaugą. Mišrus darbas. Išrašykime koordinačių ortų vektorines sandaugas (35 pav.): Todėl vektorių a ir b vektorinei sandaugai iš (3) formulės gauname tokį išraiškos determinantą virš 1-os eilutės elementų, gauname ( 4). Pavyzdžiai. 1. Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą Raskite trikampio plotą (36 pav.). Akivaizdu, kad trikampio JSC plotas b "d yra lygus pusei lygiagretainio O AC B ploto S. Apskaičiuojant vektorių sandaugą (a, b | vektorių a \u003d OA ir b \u003d b \u003d ob), gauname (a, b), c) = [a, |b, c)) bendruoju atveju netiesa. Pavyzdžiui, a = ss j turime § 7. Mišrus vektorių produktas Leiskite mums Turime tris vektorius a, b ir c. Padauginkite vektorius a ir 1> vektoriškai. Gausime vektorių [a, 1>]. Padauginkime jį skaliariškai iš vektoriaus c: (kb), c. skaičius ([a, b], e) vadinamas vektorių a, b. c mišriąja sandauga ir žymimas simboliu (a, 1), e) 7.1.Mišraus sandaugos geometrinė reikšmė Nustatykime atmetus vektorius a, b ir nuo bendrojo taško O (37 pav.) Jei visi keturi taškai O, A, B, C yra toje pačioje plokštumoje (vektoriai a, b ir c šiuo atveju vadinami lygiagrečiais), tai mišrus sandauga ([a, b], c) = 0. Tai išplaukia iš to, kad vektorius [a, b| yra statmenas plokštumai, kurioje yra vektoriai a ir 1 ", taigi ir vektorius c. / Jeigu t taškai O, A, B, C nėra toje pačioje plokštumoje (vektoriai a, b ir c nelygūs), ant kraštinių OA, OB ir OS statysime gretasienį (pav. 38 a). Pagal kryžminės sandaugos apibrėžimą turime (a,b) = So c, kur So yra lygiagretainio OADB plotas, o c yra vektorius, statmenas vektoriams a ir b ir toks, kad trigubas a , b, c yra teisingi, ty vektoriai a, b ir c yra atitinkamai kaip dešinės rankos nykščio, rodomojo ir viduriniojo pirštai (38 pav. b). Padauginus abi paskutinės lygybės dešiniajame skaliaryje dalis iš vektoriaus c, gauname vektorių, pateiktų koordinatėmis, vektorinę sandaugą. Mišrus darbas. Skaičius rc c yra lygus pastatyto gretasienio aukščiui h, paimtam su „+“ ženklu, jei kampas tarp vektorių c ir c yra smailus (trigubas a, b, c yra teisingas), o su ženklu „ -“ jei kampas yra bukas (trigubas a, b, c - kairėn), todėl vektorių a, b ir c mišri sandauga yra lygi gretasienio, pastatyto ant šių vektorių, kaip ant briaunų, tūriui V jei trigubas a, b, c yra dešinysis, o -V, jei trigubas a , b, c - kairysis. Remdamiesi mišraus sandaugos geometrine reikšme, galime daryti išvadą, kad padauginę tuos pačius vektorius a, b ir c bet kokia kita tvarka, visada gausime arba +7, arba -K. Pro- Pav. 38 nuoroda priklausys tik nuo to, kokį tripletą sudarys padauginti vektoriai – dešinėje ar kairėje. Jei vektoriai a, b, c sudaro dešinįjį trigubą, tai trigubai b, c, a ir c, a, b taip pat bus teisingi. Tuo pačiu metu visi trys trynukai b, a, c; a, c, b ir c, b, a – kairėje. Taigi (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , bet). Dar kartą pabrėžiame, kad vektorių mišrioji sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektoriai a, b, c padauginti yra vienodi: (a, b, c yra lygiagrečiai) 7.2. Mišrus sandauga koordinatėmis Tegul vektoriai a, b, c pateikiami pagal jų koordinates baze i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Raskime jų mišraus produkto (a, b, c) išraišką. Turime mišrią vektorių sandaugą, pateiktą pagal jų koordinates baze i, J, k, lygią trečios eilės determinantui, kurios eilutes sudaro atitinkamai pirmosios, antrosios ir trečiosios padaugintos koordinatės. vektoriai. Būtiną ir pakankamą vektorių a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) lyginamumo sąlygą galima parašyti tokia forma z, ar2 y2 -2 =0. Uz Pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) yra vienodi. Nagrinėjami vektoriai bus lygiaplaniai arba nevienodai, priklausomai nuo to, ar determinantas lygus nuliui, ar ne.Išplėsdami jį pirmosios eilutės elementų atžvilgiu, gauname 7.3. Dviguba kryžminė sandauga Dviguba kryžminė sandauga [a, [b, c]] yra vektorius, statmenas vektoriams a ir [b, c]. Todėl jis yra vektorių b ir c plokštumoje ir gali būti išplėstas šiuose vektoriuose. Galima parodyti, kad formulė [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) galioja. 1 pratimai. Trys vektoriai AB = c, W? = o ir CA = b yra trikampio kraštinės. Išreikškite a, b ir c vektorius, sutampančius su trikampio medianomis AM, DN, CP. 2. Kokia sąlyga turi būti sujungta tarp vektorių p ir q, kad vektorius p + q dalytų kampą tarp jų pusiau? Daroma prielaida, kad visi trys vektoriai yra susiję su bendra kilme. 3. Apskaičiuokite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių a = 5p + 2q ir b = p - 3q įstrižainių ilgį, jei žinoma, kad |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. Pažymėdami a ir b rombo kraštines, išeinančias iš bendros viršūnės, įrodykite, kad rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos. 5. Apskaičiuokite vektorių a = 4i + 7j + 3k ir b = 31 - 5j + k taškinę sandaugą. 6. Raskite vienetų vektorių a0 lygiagrečiai vektoriui a = (6, 7, -6). 7. Raskite vektoriaus a = l+ j- kHa vektoriaus b = 21 - j - 3k projekciją. 8. Raskite kampo tarp vektorių IS "w kosinusą, jei A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Raskite vienetinį vektorių p°, kuris vienu metu yra statmenas vektoriui a = (3, 6, 8) ir x ašiai. 10. Apskaičiuokite ant vektorių a = 2i+J-k, b=i-3j + k kaip šonuose pastatyto lygiagretaus įstrižainių kampo sinusą. Apskaičiuokite gretasienio, pastatyto ant vektorių a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k aukštį h, jei pagrindu imamas ant vektorių a ir I pastatytas lygiagretainis). Atsakymai
Taškinio gaminio savybės
Taškinė vektorių sandauga, apibrėžimas, savybės
Tiesinės operacijos vektoriais.
Vektoriai, pagrindinės sąvokos, apibrėžimai, tiesinės operacijos su jais
Vektorius plokštumoje yra sutvarkyta jo taškų pora, kurios pirmasis taškas vadinamas vektoriaus pradžia, o antrasis – pabaiga
Du vektoriai vadinami lygiais, jei jie yra lygūs ir bendros krypties.
Vektoriai, esantys toje pačioje linijoje, vadinami bendrakrypčiais, jei jie yra kartu su tuo pačiu vektoriumi, kuris nėra šioje linijoje.
Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse, vadinami kolineariniais, o kolineariniai, bet ne bendrakrypčiai – priešingos krypties.
Vektoriai, esantys ant statmenų tiesių, vadinami stačiakampiais.
Apibrėžimas 5.4. suma a+b vektoriai a Ir b vadinamas vektoriumi, ateinančiu iš vektoriaus pradžios bet iki vektoriaus pabaigos b , jei vektoriaus pradžia b sutampa su vektoriaus pabaiga bet .
Apibrėžimas 5.5. skirtumas a - b vektoriai bet Ir b toks vektorius vadinamas iš , kuris kartu su vektoriumi b suteikia vektorių bet .
Apibrėžimas 5.6. dirbtik a vektorius bet už skaičių k vadinamas vektoriumi b , kolinearinis vektorius bet , kurio modulis lygus | k||a |, ir kryptis, kuri yra tokia pati kaip kryptis bet adresu k>0 ir priešingai bet adresu k<0.
Vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybės:
1 nuosavybė. k(a+b ) = k a+ k b.
2 nuosavybė. (k+m)a = k a+ m a.
3 nuosavybė. k(m a) = (km)a .
Pasekmė. Jei nuliniai vektoriai bet Ir b yra kolinearūs, tada yra skaičius k, ką b= k a.
Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga a Ir b vadinamas skaičiumi (skaliariu), lygiu šių vektorių ilgių ir tarp jų esančio kampo φ kosinuso sandaugai. Skaliarinį sandaugą galima išreikšti įvairiai, pavyzdžiui, kaip ab, a · b, (a , b), (a · b). Taigi taškinis produktas yra:
a · b = |a| · | b| cos φ
Jei bent vienas iš vektorių yra lygus nuliui, tai skaliarinė sandauga lygi nuliui.
Permutacijos savybė: a · b = b · a(skaliarinė sandauga nekinta dėl faktorių permutacijos);
platinimo turtas: a · ( b · c) = (a · b) · c(rezultatas nepriklauso nuo daugybos eilės);
Derinio savybė (skaliarinio koeficiento atžvilgiu): (λ a) · b = λ ( a · b).
Ortogonalumo (statmens) savybė: jei vektorius a Ir b ne nulis, tada jų taškinė sandauga yra nulis tik tada, kai šie vektoriai yra stačiakampiai (statmenai vienas kitam) a ┴ b;
Kvadratinis turtas: a · a = a 2 = |a| 2 (vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi lygi jo modulio kvadratui);
Jei vektorių koordinatės a=(x 1 , y 1 , z 1 ) ir b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada skaliarinė sandauga yra a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Vektorius laikantys vektoriai. Apibrėžimas: dviejų vektorių vektorinė sandauga suprantama kaip vektorius, kuriam:
Modulis yra lygus lygiagretainio, pastatyto ant šių vektorių, plotui, t.y. , kur kampas tarp vektorių ir
Šis vektorius yra statmenas padaugintiems vektoriams, t.y.
Jei vektoriai yra nekolineariniai, tada jie sudaro dešinįjį vektorių trigubą.
Kryžminio produkto savybės:
1. Keičiant faktorių eiliškumą, vektorinė sandauga pakeičia savo ženklą į priešingą, išsaugodama modulį, t.y.
2 .Vektoriaus kvadratas lygus nuliui vektoriui, t.y.
3 .Skaliarinis koeficientas gali būti išimamas iš vektorinės sandaugos ženklo, t.y.
4 .Bet kurių trijų vektorių lygybė
5 .Būtina ir pakankama sąlyga dviejų vektorių kolinearumui ir :