Ką reiškia eilutė virš sumos. Matematiniai ženklai

Matematinis žymėjimas(„matematikos kalba“) – sudėtingas grafinis žymėjimas, skirtas abstrakčioms matematinėms idėjoms ir sprendimams pateikti žmogui suprantama forma. Ji sudaro (savo sudėtingumu ir įvairove) didelę dalį žmonijos naudojamų nekalbinių ženklų sistemų. Šiame straipsnyje aprašomas visuotinai priimtas tarptautinis žymėjimas, nors skirtingos praeities kultūros turėjo savo, o kai kurios iš jų net iki šiol buvo naudojamos ribotai.

Atkreipkite dėmesį, kad matematinis žymėjimas, kaip taisyklė, naudojamas kartu su kai kurių natūralių kalbų rašytinėmis formomis.

Be fundamentaliosios ir taikomosios matematikos, matematinis žymėjimas plačiai naudojamas fizikoje, taip pat (nepilna apimtimi) inžinerijoje, informatikoje, ekonomikoje ir iš tikrųjų visose žmogaus veiklos srityse, kuriose naudojami matematiniai modeliai. Skirtumai tarp tinkamo matematinio ir taikomojo žymėjimo stiliaus bus aptariami teksto eigoje.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Prisijunkite / matematikos

✪ Matematika 3 klasė. Daugiaženklių skaičių skaitmenų lentelė

✪ Matematikos rinkiniai

✪ Matematika 19. Matematikos pramogos - Šiškino mokykla

Subtitrai

Sveiki! Šis vaizdo įrašas yra ne apie matematiką, o apie etimologiją ir semiotiką. Bet aš tikiu, kad jums tai patiks. Pirmyn! Ar žinote, kad kubinių lygčių bendros formos sprendimo paieškos užtruko kelis šimtmečius? Tai iš dalies kodėl? Nes nebuvo aiškių simbolių aiškioms mintims, ar tai mūsų laikas. Yra tiek daug veikėjų, kad galite susipainioti. Bet jūs negalite mūsų apgauti, išsiaiškinkime. Tai yra apversta didžioji raidė A. Iš tikrųjų tai yra angliška raidė, pirmoje vietoje esanti žodžiuose „visi“ ir „bet koks“. Rusiškai šį simbolį, priklausomai nuo konteksto, galima perskaityti taip: visiems, visiems, visiems, visiems ir pan. Toks hieroglifas bus vadinamas universaliu kvantoriumi. Ir čia yra dar vienas kvantorius, bet jau egzistuoja. Anglų raidė e buvo atspindėta „Paint“ iš kairės į dešinę, taip užsimindama apie užjūrio veiksmažodį „egzistuoti“, mūsų nuomone, skaitysime: egzistuoja, yra, yra dar vienas panašus būdas. Šauktukas tokiam egzistenciniam kvantoriui suteiktų unikalumo. Jei tai aišku, judame toliau. Tikriausiai vienuoliktoje klasėje susidūrėte su neapibrėžtaisiais integralais, todėl noriu priminti, kad tai ne šiaip kažkoks antidarinys, o visų integrando antidarinių rinkinys. Taigi nepamirškite apie C – integracijos konstantą. Beje, pati integrali piktograma yra tik pailgos raidės s, lotyniško žodžio suma aidas. Būtent tokia yra geometrinė apibrėžto integralo reikšmė: figūros ploto po grafiku paieška sudedant be galo mažas reikšmes. Man tai yra pats romantiškiausias skaičiavimo užsiėmimas. Tačiau mokyklos geometrija yra naudingiausia, nes moko loginio griežtumo. Per pirmąjį kursą turėtumėte aiškiai suprasti, kas yra pasekmė, kas yra lygiavertiškumas. Na, jūs negalite susipainioti tarp būtinybės ir pakankamumo, supranti? Pabandykime net šiek tiek pasigilinti. Jei nuspręsite imtis aukštosios matematikos, įsivaizduoju, kaip blogai yra jūsų asmeninis gyvenimas, tačiau dėl to tikrai sutiksite įveikti nedidelę mankštą. Čia yra trys taškai, kiekvienas turi kairę ir dešinę puses, kurias reikia sujungti vienu iš trijų nupieštų simbolių. Sustabdykite, išbandykite patys ir klausykite, ką aš turiu pasakyti. Jei x=-2, tai |x|=2, bet iš kairės į dešinę, taigi frazė jau pastatyta. Antroje pastraipoje kairėje ir dešinėje pusėse parašyta absoliučiai tas pats. O trečią tašką galima komentuoti taip: kiekvienas stačiakampis yra lygiagretainis, bet ne kiekvienas lygiagretainis yra stačiakampis. Taip, aš žinau, kad tu jau nebe mažas, bet vis tiek pluojuosi tiems, kurie susidorojo su šiuo pratimu. Na, gerai, užteks, prisiminkime skaičių rinkinius. Skaičiuojant naudojami natūralūs skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan. Gamtoje -1 obuolys neegzistuoja, bet, beje, sveikieji skaičiai leidžia kalbėti apie tokius dalykus. Raidė ℤ mums rėkia apie svarbų nulio vaidmenį, racionalių skaičių rinkinys žymimas raide ℚ, ir tai nėra atsitiktinumas. Anglų kalboje žodis „kvotinis“ reiškia „požiūris“. Beje, jei kur Brukline prie jūsų prieina afroamerikietis ir sako: „Keep it real!“ – galite būti tikri, kad esate matematikas, realių skaičių gerbėjas. Na, reiktų paskaityti ką nors apie kompleksinius skaičius, bus naudingiau. Dabar grįšime atgal, grįšime į pirmą paprastiausios graikų mokyklos klasę. Trumpai tariant, prisiminkime senovės abėcėlę. Pirma raidė yra alfa, tada betta, šis kabliukas yra gama, tada delta, po to epsilon ir tt iki paskutinės raidės omega. Galite būti tikri, kad graikai taip pat turi didžiąsias raides, tačiau apie liūdnus dalykus dabar nekalbėsime. Mums geriau linksma – apie ribas. Bet čia tiesiog nėra mįslių, iškart aišku, nuo kurio žodžio atsirado matematinis simbolis. Taigi, galime pereiti prie paskutinės vaizdo įrašo dalies. Pabandykite išgirsti skaičių sekos ribos apibrėžimą, kuris dabar parašytas prieš jus. Spustelėkite, verčiau pristabdykite ir pagalvokite, ir tebūna vienerių metų vaiko, išmokusio žodį „mama“, laimė. Jei bet kurio epsilono, didesnio už nulį, yra teigiamas sveikasis skaičius N, todėl visiems skaitinės sekos skaičiams, didesniems už N, nelygybė |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Bendra informacija

Sistema, kaip ir natūralios kalbos, išsivystė istoriškai (žr. matematinio žymėjimo istoriją) ir yra organizuota kaip natūralių kalbų rašymas, iš ten pasiskolinant ir daugybę simbolių (pirmiausia iš lotynų ir graikų abėcėlių). Simboliai, kaip ir įprastu raštu, vaizduojami kontrastingomis linijomis vienodame fone (juoda ant balto popieriaus, šviesi ant tamsios lentos, kontrastinga monitoriuje ir kt.), o jų reikšmę pirmiausia lemia forma ir santykinis. padėtis. Į spalvą neatsižvelgiama ir ji dažniausiai nenaudojama, tačiau naudojant raides, jų savybės, tokios kaip stilius ir net šriftas, neturinčios įtakos įprasto rašymo reikšmei, gali atlikti semantinį vaidmenį matematiniame žymėjime.

Struktūra

Įprastas matematinis žymėjimas (ypač vadinamasis matematines formules) yra rašomi paprastai eilutėje iš kairės į dešinę, bet nebūtinai sudaro nuoseklią simbolių eilutę. Atskiri simbolių blokai gali būti išdėstyti viršutinėje arba apatinėje eilutės pusėje, net ir tuo atveju, kai simboliai nesutampa vertikaliai. Be to, kai kurios dalys yra visiškai virš arba žemiau linijos. Kalbant apie gramatinę pusę, beveik bet kokia „formulė“ gali būti laikoma hierarchiškai organizuota medžio tipo struktūra.

Standartizavimas

Matematinis žymėjimas vaizduoja sistemą pagal jos komponentų ryšį, tačiau apskritai ne sudaro formalią sistemą (pačios matematikos supratimu). Bet kokiu sudėtingu atveju jų net negalima išardyti programiškai. Kaip ir bet kuri natūrali kalba, „matematikos kalba“ yra kupina nenuoseklių pavadinimų, homografų, skirtingų (tarp jos kalbėtojų) aiškinimų to, kas laikoma teisinga ir pan. Nėra net jokios numatomos matematinių simbolių abėcėlės, ypač todėl, kad ne visada vienareikšmiškai išsprendžiamas klausimas, ar laikyti du pavadinimus skirtingais simboliais, ar skirtingomis vieno simbolio rašybomis.

Dalis matematinio žymėjimo (daugiausia susijusių su matavimais) yra standartizuota pagal ISO 31 -11, tačiau apskritai žymėjimo standartizavimo nėra.

Matematinio žymėjimo elementai

Skaičiai

Jei reikia, taikoma skaičių sistema, kurios bazė yra mažesnė nei dešimt, bazė rašoma apatiniu indeksu: 20003 8 . Skaičių sistemos, kurių bazės didesnės nei dešimt, nenaudojamos visuotinai priimtame matematiniame žymėjime (nors, žinoma, jas tiria pats mokslas), nes joms nepakanka skaičių. Ryšium su kompiuterių mokslo raida, tapo aktuali šešioliktainė skaičių sistema, kurioje skaičiai nuo 10 iki 15 žymimi pirmomis šešiomis lotyniškomis raidėmis nuo A iki F. Informatikos moksle naudojami keli skirtingi metodai tokiems skaičiams žymėti. , bet jie neperkeliami į matematiką.

Viršutiniai ir apatiniai indeksai

Skliaustai, panašūs simboliai ir skyrikliai

Skliaustai „()“ naudojami:

Kvadratiniai skliaustai "" dažnai naudojami grupuojant reikšmes, kai reikia naudoti daug skliaustų porų. Šiuo atveju jie yra išorėje ir (su tvarkinga tipografija) yra didesni nei skliausteliuose, kurie yra viduje.

Kvadratiniai "" ir apvalūs "()" skliaustai naudojami atitinkamai uždaroms ir atviroms erdvėms žymėti.

Garbanoti skliaustai „()“ dažniausiai naudojami , nors jiems taikomas tas pats įspėjimas kaip ir laužtiniams skliaustams. Kairieji „(“ ir dešinieji „)“ skliaustai gali būti naudojami atskirai; aprašyta jų paskirtis.

Kampinių skliaustų simboliai " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» su tvarkinga tipografija turėtų turėti bukus kampus ir tuo skirtis nuo panašių, turinčių stačią arba smailią kampą. Praktikoje to tikėtis nereikėtų (ypač rankiniu būdu rašant formules) ir jas reikia atskirti pasitelkus intuiciją.

Simetriškų (vertikalios ašies atžvilgiu) simbolių poros, įskaitant tuos, kurie nėra išvardyti, dažnai naudojamos formulės daliai paryškinti. Aprašyta suporuotų skliaustų paskirtis.

Indeksai

Priklausomai nuo vietos, skiriami viršutiniai ir apatiniai indeksai. Viršutinis indeksas gali reikšti (bet nebūtinai) didinimą į , apie kitus naudojimo būdus.

Kintamieji

Moksluose yra dydžių rinkiniai, ir bet kuris iš jų gali paimti verčių rinkinį ir būti vadinamas kintamasis reikšmę (variantą), arba tik vieną reikšmę ir vadinti konstanta. Matematikoje dydžiai dažnai nukreipiami nuo fizinės reikšmės, o tada kintamasis virsta abstrakčiai(arba skaitmeninis) kintamasis, žymimas tam tikru simboliu, kurio neužima aukščiau minėtas specialus žymėjimas.

Kintamasis X laikomas duotu, jei nurodytas reikalingas reikšmių rinkinys (x). Patogu pastovią reikšmę laikyti kintamuoju, kuriam atitinkama aibė (x) susideda iš vieno elemento.

Funkcijos ir operatoriai

Matematiškai reikšmingo skirtumo tarp operatorius(vieninis), kartografavimas ir funkcija.

Tačiau numanoma, kad jei norint įrašyti atvaizdavimo reikšmę iš pateiktų argumentų, būtina nurodyti , tai šio atvaizdavimo simbolis žymi funkciją, kitais atvejais labiau tikėtina, kad kalbama apie operatorių. Kai kurių vieno argumento funkcijų simboliai naudojami su skliaustais ir be jų. Pavyzdžiui, daug elementarių funkcijų sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) arba sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), bet elementarios funkcijos visada vadinamos funkcijas.

Operatoriai ir ryšiai (vienarūšiai ir dvejetainiai)

Funkcijos

Funkcija gali būti vadinama dviem prasmėmis: kaip jos vertės išraiška su pateiktais argumentais (rašytiniais f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) ir tt) arba iš tikrųjų kaip funkcija. Pastaruoju atveju dedamas tik funkcijos simbolis, be skliaustų (nors dažnai rašo atsitiktinai).

Yra daug įprastų funkcijų žymėjimų, naudojamų matematiniame darbe be papildomo paaiškinimo. Priešingu atveju funkcija turi būti kažkaip aprašyta, o pagrindinėje matematikoje ji iš esmės nesiskiria ir yra lygiai tokia pati, pažymėta savavališka raide. Raidė f yra populiariausia kintamoms funkcijoms, g ir dauguma graikų taip pat dažnai vartojamos.

Iš anksto nustatyti (rezervuoti) pavadinimai

Tačiau vienos raidės žymenims, jei pageidaujama, gali būti suteikta kitokia reikšmė. Pavyzdžiui, raidė i dažnai naudojama kaip rodyklė kontekste, kuriame kompleksiniai skaičiai netaikomi, o raidė gali būti naudojama kaip kintamasis kai kuriose kombinatorikose. Be to, nustatykite teorijos simbolius (pvz., " ⊂ (\displaystyle \subset )"ir" ⊃ (\displaystyle \supset )“) ir teiginių skaičiavimas (pvz., „ ∧ (\displaystyle \pleištas )"ir" ∨ (\displaystyle\vee )”) gali būti naudojamas kita prasme, paprastai atitinkamai kaip eilės santykis ir dvejetainė operacija.

Indeksavimas

Indeksavimas brėžiamas (dažniausiai apačioje, kartais viršuje) ir tam tikra prasme yra būdas išplėsti kintamojo turinį. Tačiau jis naudojamas trimis šiek tiek skirtingomis (nors ir sutampančiomis) prasmėmis.

Tiesą sakant, skaičiai

Galite turėti kelis skirtingus kintamuosius, pažymėdami juos ta pačia raide, panašiai kaip naudojant . Pavyzdžiui: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Paprastai juos sieja koks nors bendrumas, tačiau apskritai tai nėra būtina.

Be to, kaip „indeksus“ galite naudoti ne tik skaičius, bet ir bet kokius simbolius. Tačiau kai kitas kintamasis ir išraiška įrašomi kaip indeksas, šis įrašas interpretuojamas kaip „kintamasis, kurio skaičius nustatomas pagal indekso išraiškos reikšmę“.

Tensorinėje analizėje

Tiesinėje algebroje rašoma tenzorinė analizė, diferencialinė geometrija su indeksais (kintamųjų pavidalu).

Abstrakčioje algebroje plačiai naudojami simboliai tekstui supaprastinti ir sutrumpinti, taip pat standartinis tam tikrų grupių žymėjimas. Toliau pateikiamas dažniausiai naudojamų algebrinių ženklų sąrašas, atitinkamos komandos ... Vikipedijoje

Matematiniai žymėjimai yra simboliai, naudojami matematinėms lygtims ir formulėms kompaktiškai parašyti. Be įvairių abėcėlių skaičių ir raidžių (lotynų, įskaitant gotikinę, graikų ir hebrajų), ... ... Vikipedija

Straipsnyje pateikiamas dažniausiai vartojamų matematinių funkcijų, operatorių ir kitų matematinių terminų santrumpos. Turinys 1 Santrumpos 1.1 Lotynų 1.2 Graikų abėcėlė ... Vikipedija

Unikodas, arba Unikodas (angl. Unicode) – simbolių kodavimo standartas, leidžiantis pavaizduoti beveik visų rašytinių kalbų ženklus. Standartą 1991 metais pasiūlė ne pelno siekianti organizacija „Unicode Consortium“ (Eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Konkrečių matematikoje naudojamų simbolių sąrašą galima pamatyti straipsnyje Matematinių simbolių lentelė Matematinis žymėjimas ("matematikos kalba") yra sudėtinga grafinių ženklų sistema, skirta pateikti abstrakčius ... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitų reikšmių, žr. Plius minusas (reikšmės). ± ∓ Pliuso minuso ženklas (±) yra matematinis simbolis, dedamas prieš kokią nors išraišką ir reiškia, kad šios išraiškos reikšmė gali būti ir teigiama, ir ... Vikipedija

Būtina patikrinti vertimo kokybę ir suderinti straipsnį su Vikipedijos stilistikos taisyklėmis. Jūs galite padėti ... Vikipedija

Arba matematiniai simboliai yra ženklai, kurie savo argumentais simbolizuoja tam tikras matematines operacijas. Dažniausi yra: Pliusas: + Minusas:, - Daugybos ženklas: ×, ∙ Dalybos ženklas::, ∕, ÷ Ekspozicijos ženklas į ... ... Vikipediją

Operacijų ženklai arba matematiniai simboliai yra ženklai, kurie savo argumentais simbolizuoja tam tikrus matematinius veiksmus. Dažniausi yra: Pliusas: + Minusas:, - Daugybos ženklas: ×, ∙ Dalybos ženklas::, ∕, ÷ Statybos ženklas ... ... Vikipedija

Kiekvienas iš mūsų mokyklos suolo (tiksliau, nuo 1 pradinės klasės) turėtume būti susipažinę su tokiais paprastais matematiniais simboliais kaip didesnis ženklas ir mažiau ženklas, taip pat lygybės ženklą.

Tačiau jei gana sunku ką nors supainioti su pastaruoju, tada apie kaip ir kokia kryptimi daugiau ir mažiau rašomi ženklai (mažiau ženklas ir pasirašyti, kaip jie kartais vadinami) daugelis iškart po to paties mokyklos suolo ir pamiršta, nes. kasdieniame gyvenime juos naudojame retai.

Tačiau beveik kiekvienam, anksčiau ar vėliau, vis tiek tenka su jais susidurti, o „prisiminti“, kuria kryptimi parašytas reikalingas personažas, gaunama tik pagalbos kreipiantis į mėgstamą paieškos sistemą. Tad kodėl gi neatsakius į šį klausimą išsamiai, tuo pačiu pasakant mūsų svetainės lankytojams, kaip ateičiai atsiminti teisingą šių ženklų rašybą?

Šioje trumpoje pastaboje norime jums priminti apie tai, kaip rašomi didesnio ir mažesnio nei ženklai. Taip pat nebus nereikalinga tai pasakyti kaip klaviatūra įvesti didesnius arba lygybės ženklus ir mažesnis arba lygus, nes Šis klausimas taip pat gana dažnai sukelia sunkumų vartotojams, kurie su tokia užduotimi susiduria labai retai.

Eikime tiesiai prie reikalo. Jeigu jums nelabai įdomu visa tai prisiminti ateičiai ir kitą kartą vėl lengviau „google“ paieškoti, o dabar tereikia atsakymo į klausimą „į kurią pusę rašyti ženklą“, tuomet parengėme trumpą atsakyk tau – taip rašomi ženklai vis mažiau, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

O dabar papasakosime šiek tiek daugiau apie tai, kaip tai suprasti ir prisiminti ateičiai.

Apskritai supratimo logika labai paprasta – į kurią pusę (didesnę ar mažesnę) rašymo kryptimi esantis ženklas žiūri į kairę – toks yra ženklas. Atitinkamai, ženklas, esantis labiau į kairę, atrodo su plačia puse - didesne.

Didesnio nei ženklo naudojimo pavyzdys:

• 50>10 - skaičius 50 yra didesnis už skaičių 10;
• studentų lankomumas šį semestrą buvo >90% pamokų.

Kaip parašyti mažiau nei ženklą, ko gero, neverta dar kartą aiškinti. Tai lygiai toks pat kaip didesnis už ženklą. Jei ženklas žiūri į kairę siaura puse – mažesne, tai ženklas yra mažesnis priešais jus.
Mažiau nei ženklo naudojimo pavyzdys:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• atvyko į susirinkimą<50% депутатов.

Kaip matote, viskas yra gana logiška ir paprasta, todėl dabar jums neturėtų kilti klausimų, kaip ateityje rašyti didesnį nei ženklą ir mažiau nei ženklą.

Didesnis arba lygus / mažesnis už arba lygybės ženklas

Jei jau prisiminėte, kaip parašytas jums reikalingas ženklas, tada jums nebus sunku pridėti vieną brūkšnį iš apačios, todėl gausite ženklą "mažiau arba lygus" arba pasirašyti "daugiau ar lygus".

Tačiau dėl šių ženklų kai kuriems kyla dar vienas klausimas – kaip įvesti tokią piktogramą kompiuterio klaviatūroje? Dėl to dauguma paprasčiausiai deda du ženklus iš eilės, pavyzdžiui, „didesnis arba lygus“, reiškiantis kaip ">=" , kuris iš principo dažnai yra gana priimtinas, bet gali būti gražesnis ir teisingesnis.

Tiesą sakant, norint įvesti šiuos simbolius, yra specialių simbolių, kuriuos galima įvesti bet kuria klaviatūra. Sutikite, ženklai "≤" ir "≥" atrodo daug geriau.

Didesnis arba lygybės ženklas klaviatūroje

Norint parašyti "didesnis nei arba lygus" klaviatūroje su vienu simboliu, net nereikia eiti į specialiųjų simbolių lentelę – tiesiog įdėkite didesnį nei ženklą laikydami nuspaudę klavišą "alt". Taigi, spartusis klavišas (įvestas angliškame išdėstyme) bus toks.

Arba galite tiesiog nukopijuoti piktogramą iš šio straipsnio, jei jums reikia ją naudoti vieną kartą. Štai jis, prašau.

≥

Mažiau nei arba lygybės ženklas klaviatūroje

Kaip tikriausiai jau atspėjote, klaviatūroje galite parašyti „mažiau nei arba lygus“ pagal analogiją su didesniu nei ženklu – tiesiog įdėkite mažesnį nei ženklą laikydami nuspaudę klavišą. "alt". Spartusis klavišas, kurį reikia įvesti anglų kalbos išdėstyme, bus toks.

Arba tiesiog nukopijuokite iš šio puslapio, jei jums taip lengviau, štai.

≤

Kaip matote, taisyklę rašyti didesnius ir mažesnius nei ženklus yra gana lengva įsiminti, o norint klaviatūra įvesti ženklą didesnis už arba lygus ir mažesnis už arba lygus, tiesiog paspauskite papildomą klavišą - viskas paprasta .

Matematiniai ženklai

Begalybė.J. Wallis (1655).

Pirmą kartą jis randamas anglų matematiko Johno Valiso traktate „Apie kūginius pjūvius“.

Natūralių logaritmų pagrindas. L. Euleris (1736).

Matematinė konstanta, transcendentinis skaičius. Šis numeris kartais vadinamas ne Perovasškotų mokslininko Napier, kūrinio „Nuostabiosios logaritmų lentelės aprašymas“ (1614 m.) autoriaus garbei. Pirmą kartą konstanta tyliai pateikiama minėto Napier kūrinio, išleisto 1618 m., vertimo į anglų kalbą priede. Tą pačią konstantą pirmasis apskaičiavo šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli, spręsdamas palūkanų pajamų ribinės vertės problemą.

2,71828182845904523…

Pirmasis žinomas šios konstantos panaudojimas, kur ji buvo pažymėta raide b, rastas Leibnizo laiškuose Huygensui, 1690–1691 m. laišką e pradėjo naudoti Euler 1727 m., o pirmoji publikacija su šiuo laišku buvo jo mechanika arba judėjimo mokslas, analitikai teigta, 1736 m. Atitinkamai, e paprastai vadinamas Eulerio numeris. Kodėl pasirinktas laiškas? e, nėra tiksliai žinomas. Galbūt taip yra dėl to, kad žodis prasideda juo eksponentinis(„eksponentinis“, „eksponentinis“). Dar viena prielaida, kad raidės a, b, c ir d jau plačiai naudojamas kitiems tikslams, ir e buvo pirmasis „nemokamas“ laiškas.

Apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. W. Jonesas (1706 m.), L. Eileris (1736 m.).

Matematinė konstanta, neracionalusis skaičius. Skaičius „pi“, senasis pavadinimas yra Ludolfo skaičius. Kaip ir bet kuris neracionalus skaičius, π vaizduojamas begaline neperiodine dešimtaine trupmena:

π = 3,141592653589793…

Pirmą kartą šio skaičiaus žymėjimą graikiška raide π panaudojo britų matematikas Williamas Jonesas knygoje „Naujas matematikos įvadas“ ir jis tapo visuotinai priimtas po Leonhardo Eulerio darbo. Šis pavadinimas kilęs iš pradinės graikų kalbos žodžių περιφερεια – apskritimas, periferija ir περιμετρος – perimetras. Johanas Heinrichas Lambertas 1761 metais įrodė π neracionalumą, o Adrienas Marie Legendre 1774 metais – π 2 neracionalumą. Legendre ir Euleris manė, kad π gali būti transcendentinė, t.y. negali patenkinti jokios algebrinės lygties su sveikųjų skaičių koeficientais, ką galiausiai 1882 m. įrodė Ferdinandas von Lindemannas.

įsivaizduojamas vienetas. L. Euleris (1777 m., spaudoje - 1794 m.).

Yra žinoma, kad lygtis x 2 \u003d 1 turi dvi šaknis: 1 ir –1 . Įsivaizduojamasis vienetas yra viena iš dviejų lygties šaknų x 2 \u003d -1, žymimas lotyniška raide i, kita šaknis: –i. Šį pavadinimą pasiūlė Leonhardas Euleris, paėmęs pirmąją lotyniško žodžio raidę įsivaizduojamas(įsivaizduojamas). Taip pat visas standartines funkcijas jis išplėtė į kompleksinį domeną, t.y. formoje pavaizduojamų skaičių rinkinys a+ib, kur a ir b yra realūs skaičiai. Terminą „sudėtinis skaičius“ plačiai pradėjo vartoti vokiečių matematikas Carlas Gaussas 1831 m., nors anksčiau ta pačia prasme terminą vartojo prancūzų matematikas Lazaras Carnot 1803 m.

Vienetų vektoriai. W. Hamiltonas (1853).

Vienetų vektoriai dažnai siejami su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies X, pažymėta i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies Y, pažymėta j, o vieneto vektorius nukreiptas išilgai ašies Z, pažymėta k. Vektoriai i, j, k yra vadinami ortais, jie turi tapatybės modulius. Terminą „ort“ įvedė anglų matematikas ir inžinierius Oliveris Heaviside'as (1892), o užrašas i, j, k airių matematikas Williamas Hamiltonas.

Sveikoji skaičiaus dalis, antie. K. Gaussas (1808).

Skaičiaus x skaičiaus [x] sveikoji dalis yra didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x. Taigi, =5, [–3,6]=–4. Funkcija [x] taip pat vadinama "antier of x". Sveikosios dalies funkcijos simbolį Carlas Gaussas pristatė 1808 m. Kai kurie matematikai nori naudoti žymėjimą E(x), kurį 1798 m. pasiūlė Legendre.

Lygiagretumo kampas. N.I. Lobačevskis (1835).

Lobačevskio plokštumoje kampas tarp linijos b einantis per tašką O lygiagreti tiesia linija a, kuriame nėra taško O, ir statmenai nuo O ant a. α yra šio statmens ilgis. Kadangi taškas pašalinamas O iš tiesios a lygiagretumo kampas sumažėja nuo 90° iki 0°. Lobačevskis pateikė lygiagretumo kampo formulę П(α)=2arctg e –α/q , kur q yra tam tikra konstanta, susijusi su Lobačevskio erdvės kreivumu.

Nežinomi arba kintantys kiekiai. R. Dekartas (1637).

Matematikoje kintamasis yra dydis, apibūdinamas reikšmių rinkiniu, kurį jis gali užimti. Tai gali reikšti ir realų fizinį dydį, laikinai vertinamą atskirai nuo jo fizinio konteksto, ir kokį nors abstraktų dydį, kuris neturi analogų realiame pasaulyje. Kintamojo samprata atsirado XVII a. iš pradžių veikiamas gamtos mokslo reikalavimų, kurie iškėlė į pirmą planą judėjimo, procesų, o ne tik būsenų, tyrinėjimus. Ši koncepcija reikalavo naujų jos išraiškos formų. Pažodinė René Descarteso algebra ir analitinė geometrija buvo tokios naujos formos. Pirmą kartą stačiakampę koordinačių sistemą ir žymėjimą x, y pristatė Rene Descartes savo veikale „Metodo diskursas“ 1637 m. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbas pirmą kartą buvo paskelbtas po jo mirties. Dekartas ir Ferma koordinačių metodą naudojo tik plokštumoje. Koordinačių metodą trimatei erdvei Leonhardas Euleris pirmą kartą taikė jau XVIII a.

Vektorius. O.Koshi (1853).

Nuo pat pradžių vektorius suprantamas kaip objektas, turintis dydį, kryptį ir (pasirinktinai) taikymo tašką. Vektorių skaičiavimo užuomazgos atsirado kartu su geometriniu kompleksinių skaičių modeliu Gauss (1831). Pažangias vektorių operacijas paskelbė Hamiltonas kaip savo ketvirčio skaičiavimo dalį (įsivaizduojami kvaterniono komponentai sudarė vektorių). Hamiltonas sugalvojo terminą vektorius(iš lotyniško žodžio vektorius, vežėjas) ir aprašė kai kurias vektorinės analizės operacijas. Šį formalizmą Maxwell naudojo savo darbuose apie elektromagnetizmą, taip atkreipdamas mokslininkų dėmesį į naująjį skaičiavimą. Netrukus atsirado Gibbso vektorinės analizės elementai (1880 m.), o paskui Heaviside (1903 m.) suteikė vektorinei analizei šiuolaikišką išvaizdą. Patį vektorinį ženklą 1853 metais pristatė prancūzų matematikas Augustinas Louisas Cauchy.

Sudėjimas, atėmimas. J. Widmanas (1489).

Pliuso ir minuso ženklai, matyt, buvo sugalvoti vokiečių matematinėje „kosistų“ (tai yra algebristų) mokykloje. Jie naudojami Jano (Johanneso) Widmanno vadovėlyje „Greitas ir malonus skaičiavimas visiems pirkliams“, išleistame 1489 m. Prieš tai papildymas buvo pažymėtas raide p(iš lotynų kalbos pliusas„daugiau“) arba lotyniškas žodis et(jungtukas „ir“), o atimtis – raidė m(iš lotynų kalbos minusas„mažiau, mažiau“). Widmane pliuso simbolis pakeičia ne tik pridėjimą, bet ir sąjungą „ir“. Šių simbolių kilmė neaiški, tačiau greičiausiai jie anksčiau buvo naudojami prekyboje kaip pelno ir nuostolio ženklai. Abu simboliai greitai tapo įprasti Europoje – išskyrus Italiją, kuri senuosius pavadinimus naudojo apie šimtmetį.

Daugyba. W. Outredas (1631 m.), G. Leibnicas (1698 m.).

Daugybos ženklą įstrižo kryžiaus pavidalu 1631 m. įvedė anglas Williamas Outredas. Prieš jį dažniausiai naudojamas laiškas M, nors buvo pasiūlyti ir kiti pavadinimai: stačiakampio simbolis (prancūzų matematikas Erigon, 1634), žvaigždutė (šveicarų matematikas Johannas Rahnas, 1659). Vėliau Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas kryžių pakeitė tašku (XVII a. pabaiga), kad nebūtų painiojamas su raide x; prieš jį tokią simboliką aptiko vokiečių astronomas ir matematikas Regiomontanas (XV a.) ir anglų mokslininkas Thomas Harriot (1560–1621).

Padalinys. I.Ranas (1659), G.Leibnicas (1684).

William Outred naudojo pasvirąjį brūkšnį / kaip padalijimo ženklą. Dvitaškių skyrimas pradėjo žymėti Gottfriedą Leibnizą. Prieš juos laiškas taip pat dažnai buvo naudojamas D. Pradedant nuo Fibonačio, naudojama ir horizontali trupmenos linija, kurią naudojo Heronas, Diofantas ir arabų raštuose. Anglijoje ir JAV paplito simbolis ÷ (obelus), kurį 1659 m. pasiūlė Johanas Rahnas (galbūt dalyvaujant Johnui Pellui). Amerikos nacionalinio matematinių standartų komiteto bandymas ( Nacionalinis matematinių reikalavimų komitetas) pašalinti obelus iš praktikos (1923 m.) buvo neįtikinamas.

proc. P. de la Porte (1685).

Šimtoji visumos dalis, paimta kaip vienetas. Pats žodis „procentas“ kilęs iš lotyniško „pro centum“, reiškiančio „šimtas“. 1685 m. Paryžiuje buvo išleista Mathieu de la Porte knyga „Komercinės aritmetikos vadovas“. Vienoje vietoje buvo kalbama apie procentus, kurie tada reiškė „cto“ (sutrumpinimas iš cento). Tačiau rinkėjas klaidingai suprato, kad „cto“ yra trupmena ir įvedė „%“. Taigi dėl rašybos klaidos šis ženklas buvo pradėtas naudoti.

Laipsniai. R. Dekartas (1637), I. Niutonas (1676).

Šiuolaikinį eksponento žymėjimą įvedė René Descartes savo knygoje " geometrijos"(1637 m.), tačiau tik natūralioms galioms, kurių rodikliai yra didesni nei 2. Vėliau Izaokas Niutonas išplėtė šią žymėjimo formą neigiamiems ir trupmeniniams rodikliams (1676), kurių interpretaciją iki tol jau buvo pasiūlyta: flamandų matematikas ir inžinierius Simonas Stevinas, anglų matematikas Johnas Vallisas ir prancūzų matematikas Albertas Girardas.

Šaknys. K. Rudolfas (1525), R. Dekartas (1637), A. Girardas (1629).

aritmetinė šaknis n tikrojo skaičiaus laipsnis a≥0 yra neneigiamas skaičius n-kurio laipsnis lygus a. 2-ojo laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kvadratine ir gali būti užrašoma nenurodant laipsnio: √. 3 laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kubo šaknimi. Viduramžių matematikai (pavyzdžiui, Cardano) kvadratinę šaknį žymėjo simboliu R x (iš lot. Radix, šaknis). Šiuolaikinį pavadinimą pirmą kartą panaudojo vokiečių matematikas Christophas Rudolfas iš Cossist mokyklos 1525 m. Šis simbolis kilęs iš stilizuotos pirmosios to paties žodžio raidės radix. Virš radikalios išraiškos linijos iš pradžių nebuvo; vėliau jį kitokiu tikslu (vietoj skliaustų) įvedė Dekartas (1637), ir ši savybė netrukus susiliejo su šaknies ženklu. Kubinė šaknis XVI amžiuje buvo žymima taip: R x .u.cu (iš lat. Radix universalis cubica). Albertas Girardas (1629) pradėjo naudoti įprastą savavališko laipsnio šaknį. Šis formatas buvo sukurtas Isaac Newton ir Gottfried Leibniz dėka.

Logaritmas, dešimtainis logaritmas, natūralusis logaritmas. I. Kepleris (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheimas (1893).

Terminas „logaritmas“ priklauso škotų matematikui Johnui Napieriui ( "Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas", 1614); jis atsirado sujungus graikiškų žodžių λογος (žodis, santykis) ir αριθμος (skaičius). J. Napier logaritmas yra pagalbinis skaičius dviejų skaičių santykiui matuoti. Šiuolaikinį logaritmo apibrėžimą pirmasis pateikė anglų matematikas Williamas Gardineris (1742). Pagal apibrėžimą – skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a (a ≠ 1, a > 0) yra eksponentas m, iki kurio skaičius turėtų būti padidintas a(vadinamas logaritmo pagrindu) gauti b. Žymima log a b. Taigi, m =log a b, jeigu a m = b.

Pirmąsias dešimtainių logaritmų lenteles 1617 m. paskelbė Oksfordo matematikos profesorius Henry Briggsas. Todėl užsienyje dešimtainiai logaritmai dažnai vadinami brigais. Terminą „natūralus logaritmas“ įvedė Pietro Mengoli (1659 m.) ir Nicholas Mercator (1668 m.), nors Londono matematikos mokytojas Johnas Spidellas natūraliųjų logaritmų lentelę sudarė dar 1619 m.

Iki XIX amžiaus pabaigos nebuvo visuotinai priimto logaritmo žymėjimo, pagrindo. a nurodyta kairėje ir virš simbolio žurnalas, tada per jį. Galiausiai matematikai padarė išvadą, kad patogiausia vieta bazei yra žemiau linijos, po simbolio žurnalas. Logaritmo ženklas - žodžio "logaritmas" sutrumpinimo rezultatas - atsiranda įvairiomis formomis beveik tuo pačiu metu, kai, pavyzdžiui, atsiranda pirmosios logaritmų lentelės. Žurnalas- I. Kepleris (1624 m.) ir G. Briggsas (1631 m.), žurnalas- B. Cavalieri (1632). Paskyrimas ln nes natūralųjį logaritmą įvedė vokiečių matematikas Alfredas Pringsheimas (1893).

Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas. W. Outred (XVII a. vidurys), I. Bernoulli (XVIII a.), L. Euleris (1748, 1753).

Trumpąjį sinuso ir kosinuso žymėjimą XVII amžiaus viduryje įvedė William Outred. Tangento ir kotangento santrumpos: tg, ctg XVIII amžiuje įvedė Johanas Bernullis, jos paplito Vokietijoje ir Rusijoje. Kitose šalyse naudojami šių funkcijų pavadinimai. įdegis, lovytė Albertas Girardas pasiūlė dar anksčiau, XVII amžiaus pradžioje. Leonardas Euleris (1748, 1753) perkėlė trigonometrinių funkcijų teoriją į šiuolaikinę formą, o mes jam taip pat skolingi už tikrosios simbolikos įtvirtinimą. Terminą „trigonometrinės funkcijos“ 1770 metais įvedė vokiečių matematikas ir fizikas Georgas Simonas Klugelis.

Iš pradžių buvo vadinama Indijos matematikų sinuso linija "arha dživa"(„pusei styga“, tai yra, pusė akordo), tada žodis "archa" buvo išmestas ir sinuso linija pradėta vadinti paprastai "dživa". Arabų kalbos vertėjai šio žodžio neišvertė "dživa" Arabiškas žodis "vataras", reiškiantis strypo stygą ir akordą, ir perrašytas arabiškomis raidėmis ir pradėtas vadinti sinusine linija "džiba". Kadangi trumpos balsės nėra nurodytos arabų kalboje, o ilgos „ir“ žodyje "džiba"žymimas taip pat kaip pusbalsis „y“, arabai pradėjo tarti sinusinės linijos pavadinimą "jibe", kuris pažodžiui reiškia „tuščiaviduris“, „gėlė“. Versdami arabiškus kūrinius į lotynų kalbą, Europos vertėjai išvertė šį žodį "jibe" Lotyniškas žodis sinusas turintis tą pačią vertę. Terminas „tangentas“ (iš lot. liestinės- liesti) pristatė danų matematikas Thomas Fincke savo knygoje „Apvalaus geometrija“ (1583).

Arčinas. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos pavadinimas sudaromas iš atitinkamos trigonometrinės funkcijos pavadinimo pridedant priešdėlį „lankas“ (iš lat. lankas- lankas). Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos paprastai apima šešias funkcijas: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arccotangent (arcsec) ir arccosecant (arccosec). Pirmą kartą specialius atvirkštinių trigonometrinių funkcijų simbolius panaudojo Daniel Bernoulli (1729, 1736). Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų žymėjimo priešdėliu būdas lankas(iš lat. arcus, lankas) pasirodė pas austrų matematiką Karlą Scherferį ir įsitvirtino prancūzų matematiko, astronomo ir mechaniko Joseph Louis Lagrange dėka. Turėta galvoje, kad, pavyzdžiui, įprastas sinusas leidžia rasti jį išilgai apskritimo lanko jungiančią stygą, o atvirkštinė funkcija išsprendžia priešingą problemą. Iki XIX amžiaus pabaigos anglų ir vokiečių matematikos mokyklos siūlė kitus žymėjimus: sin -1 ir 1 / sin, tačiau jie nebuvo plačiai naudojami.

Hiperbolinis sinusas, hiperbolinis kosinusas. W. Riccati (1757).

Pirmą kartą hiperbolinių funkcijų atsiradimą istorikai atrado anglų matematiko Abraomo de Moivre'o (1707, 1722) raštuose. Šiuolaikinį apibrėžimą ir išsamų jų tyrimą atliko italas Vincenzo Riccati 1757 m. darbe „Opusculorum“, jis taip pat pasiūlė jų pavadinimus: sh,sk. Riccati rėmėsi vienos hiperbolės svarstymu. Nepriklausomą hiperbolinių funkcijų savybių atradimą ir tolesnį tyrimą atliko vokiečių matematikas, fizikas ir filosofas Johannas Lambertas (1768), nustatęs platų įprastos ir hiperbolinės trigonometrijos formulių paraleliškumą. N.I. Vėliau Lobačevskis panaudojo šį paralelizmą, bandydamas įrodyti neeuklido geometrijos nuoseklumą, kai įprasta trigonometrija pakeičiama hiperboline.

Kaip trigonometrinis sinusas ir kosinusas yra taško koordinačių apskritime koordinatės, hiperbolinis sinusas ir kosinusas yra taško, esančio hiperbolėje, koordinatės. Hiperbolinės funkcijos išreiškiamos eksponentu ir yra glaudžiai susijusios su trigonometrinėmis funkcijomis: sh(x)=0,5(ex-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e –x). Analogiškai su trigonometrinėmis funkcijomis, hiperbolinis tangentas ir kotangentas apibrėžiami kaip atitinkamai hiperbolinio sinuso ir kosinuso, kosinuso ir sinuso santykiai.

Diferencialinis. G. Leibnicas (1675, spaudoje 1684).

Pagrindinė, tiesinė funkcijos prieaugio dalis. Jei funkcija y=f(x) vieno kintamojo x turi x=x0 išvestinė ir prieaugis Δy \u003d f (x 0 +? x) - f (x 0) funkcijas f(x) gali būti pavaizduotas kaip Δy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kur narys R be galo mažas, palyginti su Δx. Pirmasis narys dy=f"(x 0)ΔxŠiame išplėtimas vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taške x0. Gottfriedo Leibnizo, Jokūbo ir Johano Bernoulli darbuose žodis "skirtumas" buvo vartojamas „prieaugio“ reikšme, I. Bernoulli jį žymėjo per Δ. G. Leibnicas (1675 m., išleistas 1684 m.) vartojo užrašą „be galo mažas skirtumas“ d- pirmoji žodžio raidė "diferencinis", suformuotas jo iš "skirtumas".

Neapibrėžtas integralas. G. Leibnicas (1675, spaudoje 1686).

Žodį „integralus“ pirmasis spaudoje pavartojo Jacobas Bernoulli (1690). Galbūt šis terminas kilęs iš lotynų kalbos sveikasis skaičius- visas. Remiantis kita prielaida, pagrindas buvo lotyniškas žodis integro- atkurti, atkurti. Ženklas ∫ naudojamas matematikos integralui žymėti ir yra stilizuotas lotyniško žodžio pirmosios raidės vaizdas. suma- suma. Pirmą kartą jį panaudojo vokiečių matematikas Gottfriedas Leibnicas, diferencialinio ir integralinio skaičiavimo įkūrėjas, XVII amžiaus pabaigoje. Kitas diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pradininkų Isaacas Newtonas savo darbuose nepasiūlė alternatyvios integralo simbolikos, nors išbandė įvairius variantus: vertikalią juostą virš funkcijos arba kvadratinį simbolį, kuris stovi prieš funkciją arba ribojasi su juo. Neapibrėžtas funkcijos integralas y=f(x) yra visų nurodytos funkcijos antidarinių rinkinys.

Apibrėžiamasis integralas. J. Furjė (1819–1822).

Apibrėžtinis funkcijos integralas f(x) su apatine riba a ir viršutinė riba b galima apibrėžti kaip skirtumą F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx, kur F(x) yra tam tikras funkcijos antidarinys f(x). Apibrėžiamasis integralas a ∫ b f(x)dx skaičiais lygus figūros plotui, kurį riboja x ašis, tiesios linijos x=a ir x=b ir funkcijų grafikas f(x). Prancūzų matematikas ir fizikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier pasiūlė sukurti apibrėžtą integralą tokia forma, prie kurios esame įpratę XIX amžiaus pradžioje.

Darinys. G. Leibnicas (1675), J. Lagranžas (1770, 1779).

Išvestinė yra pagrindinė diferencialinio skaičiavimo sąvoka, apibūdinanti funkcijos kitimo greitį f(x) pasikeitus argumentui x. Jis apibrėžiamas kaip funkcijos padidėjimo santykio su jos argumento prieaugio riba, nes argumento padidėjimas linkęs į nulį, jei tokia riba yra. Funkcija, kuri tam tikru momentu turi baigtinę išvestinę, tame taške vadinama diferencijuojama. Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija. Atvirkštinis procesas yra integracija. Klasikiniame diferencialiniame skaičiavime išvestinė dažniausiai apibrėžiama per ribų teorijos sąvokas, tačiau istoriškai ribų teorija atsirado vėliau nei diferencialinis skaičiavimas.

Terminą „darinys“ 1797 m. įvedė Joseph Louis Lagrange; dy/dx– Gotfrydas Leibnicas 1675 m. Išvestinio žymėjimo laiko atžvilgiu būdas su tašku virš raidės kilęs iš Niutono (1691). Rusišką terminą „funkcijos darinys“ pirmasis pavartojo rusų matematikas Vasilijus Ivanovičius Viskovatovas (1779–1812).

Privatus darinys. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Daugelio kintamųjų funkcijoms apibrėžiamos dalinės išvestinės – išvestinės vieno iš argumentų atžvilgiu, apskaičiuojamos darant prielaidą, kad likę argumentai yra pastovūs. Žymėjimas ∂f/∂x,∂z/∂y 1786 m. pristatė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre; fx',zx'- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂2z/∂x2,∂ 2 z/∂x∂y- antros eilės daliniai vediniai - vokiečių matematikas Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Skirtumas, prieaugis. I. Bernoulli (XVII a. pabaiga – XVIII a. pirmoji pusė), L. Euleris (1755).

Prieaugio žymėjimą raide Δ pirmasis panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli. Simbolis „delta“ į bendrą simbolio naudojimo praktiką pateko po Leonhardo Eulerio darbo 1755 m.

Suma. L. Euleris (1755).

Suma yra sudėjus dydžius (skaičius, funkcijas, vektorius, matricas ir kt.). n skaičių sumai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Sumos ženklą Σ įvedė Leonhardas Euleris 1755 m.

Darbas. K. Gaussas (1812).

Produktas yra daugybos rezultatas. n skaičių sandaugai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė "pi" Π: a 1 a 2 ... ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Pavyzdžiui, 1 3 5 … 97 99 = ? 50 1 (2i–1). Gaminio simbolį Π 1812 m. įvedė vokiečių matematikas Carlas Gaussas. Rusų matematinėje literatūroje su terminu „darbas“ pirmą kartą susidūrė Leonty Filippovich Magnitsky 1703 m.

Faktorinis. K.Krumpas (1808).

Skaičiaus n faktorialas (žymimas n!, tariamas "en faktorialas") yra visų natūraliųjų skaičių sandauga iki n imtinai: n! = 1 2 3 .. n. Pavyzdžiui, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Pagal apibrėžimą 0! = 1. Faktorius apibrėžiamas tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams. Skaičiaus n faktorialas yra lygus n elementų permutacijų skaičiui. Pavyzdžiui, 3! = 6, tikrai

- visi šeši ir tik šeši trijų elementų permutacijų variantai.

Terminą „faktorialus“ įvedė prancūzų matematikas ir politikas Louisas Francois Antoine'as Arbogastas (1800), pavadinimu n! – prancūzų matematikas Kristianas Krampas (1808).

Modulis, absoliuti vertė. K. Weierstrassas (1841).

Modulis, absoliuti tikrojo skaičiaus x reikšmė yra neneigiamas skaičius, apibrėžtas taip: |x| = x, kai x ≥ 0, ir |x| = –x, kai x ≤ 0. Pavyzdžiui, |7| = 7, |– 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleksinio skaičiaus z = a + ib modulis yra tikrasis skaičius, lygus √(a 2 + b 2).

Manoma, kad terminą „modulis“ pasiūlė vartoti anglų matematikas ir filosofas, Niutono mokinys Rogeris Cotesas. Gottfriedas Leibnicas taip pat naudojo šią funkciją, kurią pavadino „moduliu“ ir pažymėjo: mol x. Visuotinai priimtą absoliučios vertės žymėjimą 1841 m. įvedė vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas. Šią sąvoką kompleksiniams skaičiams XIX amžiaus pradžioje įvedė prancūzų matematikai Augustinas Koši ir Jeanas Robertas Arganas. 1903 m. austrų mokslininkas Konradas Lorenzas naudojo tą pačią simboliką vektoriaus ilgiui.

Norm. E. Schmidtas (1908).

Norma yra vektoriaus erdvėje apibrėžta funkcija, apibendrinanti vektoriaus ilgio arba skaičiaus modulio sampratą. Ženklą „norma“ (iš lotyniško žodžio „norma“ – „taisyklė“, „pavyzdys“) įvedė vokiečių matematikas Erhardas Schmidtas 1908 m.

Riba. S. Luillier (1786), W. Hamiltonas (1853), daugelis matematikų (iki XX a. pradžios)

Riba yra viena iš pagrindinių matematinės analizės sąvokų, reiškianti, kad tam tikra kintamoji reikšmė nagrinėjamo jos kitimo procese artėja prie tam tikros pastovios vertės neribotą laiką. Ribos sąvoką jau XVII amžiaus antroje pusėje intuityviai vartojo Isaacas Newtonas, taip pat XVIII amžiaus matematikai, tokie kaip Leonhardas Euleris ir Josephas Louisas Lagrange'as. Pirmuosius griežtus sekos ribos apibrėžimus pateikė Bernardas Bolzano 1816 m. ir Augustinas Cauchy 1821 m. Simbolis lim (pirmosios 3 raidės iš lotyniško žodžio limes – kraštelis) atsirado 1787 metais pas šveicarų matematiką Simoną Antoine'ą Jeaną Lhuillier, tačiau jo vartojimas dar nepriminė šiuolaikinio. Išraišką lim mums labiau pažįstama forma pirmą kartą pavartojo airių matematikas Williamas Hamiltonas 1853 m. Weierstrassas įvedė pavadinimą, artimą šiuolaikiniam, tačiau vietoj įprastos rodyklės naudojo lygybės ženklą. Rodyklė pasirodė XX amžiaus pradžioje kartu su keliais matematikais vienu metu – pavyzdžiui, su anglų matematiku Godfriedu Hardy 1908 m.

Zeta funkcija, Riemann zeta funkcija. B. Riemannas (1857).

Sudėtinio kintamojo s = σ + it analitinė funkcija, kai σ > 1, nustatoma pagal absoliučiai ir tolygiai konvergencines Dirichlet eilutes:

ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … .

Jei σ > 1, galioja Eulerio produkto forma:

ζ(s) = Π p (1–p –s) –s ,

kur sandauga perimama per visus pirminius p. Zeta funkcija vaidina svarbų vaidmenį skaičių teorijoje. Kaip realaus kintamojo funkciją 1737 m. (paskelbta 1744 m.) dzeta funkciją įvedė L. Euleris, nurodęs jos skilimą į sandaugą. Tada šią funkciją svarstė vokiečių matematikas L. Dirichlet ir ypač sėkmingai rusų matematikas ir mechanikas P.L. Čebyševas tyrinėdamas pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį. Tačiau giliausios zeta funkcijos savybės buvo atrastos vėliau, po vokiečių matematiko Georgo Friedricho Bernhardo Riemanno (1859 m.) darbų, kur zeta funkcija buvo laikoma kompleksinio kintamojo funkcija; 1857 m. jis taip pat pristatė pavadinimą „zeta funkcija“ ir žymėjimą ζ(s).

Gama funkcija, Eulerio Γ funkcija. A. Legendre (1814).

Gama funkcija yra matematinė funkcija, kuri išplečia faktorialo sąvoką į kompleksinių skaičių lauką. Paprastai žymimas Γ(z). Pirmą kartą z funkciją 1729 m. pristatė Leonhardas Euleris; jis apibrėžiamas pagal formulę:

Γ(z) = lim n →∞ n!n z /z(z+1)…(z+n).

Daug integralų, begalinių sandaugų ir eilučių sumų išreiškiami naudojant G funkciją. Plačiai naudojamas analitinėje skaičių teorijoje. Pavadinimą „gama funkcija“ ir žymėjimą Γ(z) 1814 m. pasiūlė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre.

Beta funkcija, B funkcija, Eulerio B funkcija. J. Binet (1839).

Dviejų kintamųjų p ir q funkcija, apibrėžta p>0, q>0 lygybe:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p–1 (1–x) q–1 dx.

Beta funkcija gali būti išreikšta Γ funkcija: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Kaip sveikųjų skaičių gama funkcija yra faktorialo apibendrinimas, beta funkcija tam tikra prasme yra dvejetainių koeficientų apibendrinimas.

Beta funkcijos pagalba aprašoma daug elementariųjų dalelių, dalyvaujančių stiprioje sąveikoje, savybių. Šią savybę 1968 metais pastebėjo italų fizikas teoretikas Gabriele Veneziano. Tai pažymėjo stygų teorijos pradžią.

Pavadinimą „beta funkcija“ ir žymėjimą B(p, q) 1839 m. įvedė prancūzų matematikas, mechanikas ir astronomas Jacques'as Philippe'as Marie Binet.

Laplaso operatorius Laplasas. R. Merfis (1833).

Tiesinis diferencialinis operatorius Δ, kuris veikia φ (x 1, x 2, ..., x n) iš n kintamųjų x 1, x 2, ..., x n, susieja funkciją:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

Visų pirma, vieno kintamojo funkcijai φ(x), Laplaso operatorius sutampa su 2-osios išvestinės operatoriumi: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Lygtis Δφ = 0 paprastai vadinama Laplaso lygtimi; iš čia kilo pavadinimai „Laplaso operatorius“ arba „laplasietis“. Žymėjimą Δ įvedė anglų fizikas ir matematikas Robertas Murphy 1833 m.

Hamiltono operatorius, nabla operatorius, Hamiltonas. O. Heaviside (1892).

Formos vektorinis diferencialinis operatorius

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂m j+ ∂/∂z k,

kur i, j, ir k yra koordinačių vektoriai. Per nabla operatorių natūraliai išreiškiamos pagrindinės vektorinės analizės operacijos, taip pat ir Laplaso operatorius.

1853 m. airių matematikas Williamas Rowanas Hamiltonas pristatė šį operatorių ir sukūrė jam simbolį ∇ apverstos graikiškos raidės Δ (delta) pavidalu. Hamiltone simbolio taškas buvo nukreiptas į kairę; vėliau škotų matematiko ir fiziko Peterio Guthrie Tate darbuose simbolis įgavo šiuolaikišką išvaizdą. Hamiltonas pavadino šį simbolį žodžiu „atled“ (žodis „delta“ skaitomas atgal). Vėliau anglų mokslininkai, tarp jų ir Oliveris Heaviside'as, ėmė vadinti šį simbolį „nabla“ pagal finikiečių abėcėlės raidės ∇ pavadinimą, kur jis pasitaiko. Raidės kilmė siejama su tokiu muzikos instrumentu kaip arfa, ναβλα (nabla) senovės graikų kalboje reiškia „arfa“. Operatorius buvo vadinamas Hamiltono operatoriumi arba nabla operatoriumi.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematinė sąvoka, atspindinti aibių elementų santykį. Galima sakyti, kad funkcija yra „dėsnis“, „taisyklė“, pagal kurią kiekvienam vienos aibės elementui (vadinama apibrėžimo sritimi) priskiriamas koks nors kitos aibės elementas (vadinamas reikšmių sritimi). Matematinė funkcijos samprata išreiškia intuityvią idėją, kaip vienas dydis visiškai lemia kito dydžio vertę. Dažnai terminas „funkcija“ reiškia skaitinę funkciją; tai yra funkcija, kuri vienus skaičius sulygina su kitais. Ilgą laiką matematikai argumentus išdėstė be skliaustų, pavyzdžiui, taip - φх. Pirmą kartą šį žymėjimą panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli 1718 m. Skliaustai buvo naudojami tik tuo atveju, jei buvo daug argumentų arba jei argumentas buvo sudėtingas posakis. Tų laikų aidai dažni, o dabar – rekordai sin x, lg x ir tt Tačiau pamažu skliaustų naudojimas f(x) tapo bendra taisykle. Ir pagrindinis nuopelnas čia priklauso Leonhardui Euleriui.

Lygybė. R. Įrašas (1557).

Lygybės ženklą pasiūlė Velso gydytojas ir matematikas Robertas Recordas 1557 m.; veikėjo kontūras buvo daug ilgesnis nei dabartinis, nes imitavo dviejų lygiagrečių segmentų vaizdą. Autorius paaiškino, kad pasaulyje nėra nieko lygesnio už du lygiagrečius vienodo ilgio segmentus. Prieš tai senovės ir viduramžių matematikoje lygybė buvo žymima žodžiu (pvz. est egale). Rene Descartes XVII amžiuje pradėjo vartoti æ (iš lot. aequalis), ir jis naudojo šiuolaikinį lygybės ženklą, nurodydamas, kad koeficientas gali būti neigiamas. François Viète atimtį pažymėjo lygybės ženklu. Rekordo simbolis išplito ne iš karto. Rekordo simboliui plisti trukdė tai, kad nuo senų laikų tas pats simbolis buvo naudojamas linijų lygiagretumui nurodyti; pabaigoje buvo nuspręsta paralelizmo simbolį padaryti vertikalų. Žemyninėje Europoje ženklą „=“ Gottfriedas Leibnicas įvedė tik XVII–XVIII amžių sandūroje, tai yra, praėjus daugiau nei 100 metų po Roberto Recordo mirties, kuris pirmą kartą jį panaudojo.

Maždaug tas pats, maždaug tas pats. A. Güntheris (1882).

Ženklą „≈“ kaip santykio „maždaug lygus“ simbolį pristatė vokiečių matematikas ir fizikas Adamas Vilhelmas Sigmundas Güntheris 1882 m.

Daugiau mažiau. T. Hariotas (1631).

Šiuos du ženklus 1631 m. pradėjo vartoti anglų astronomas, matematikas, etnografas ir vertėjas Thomas Harriot, prieš tai buvo naudojami žodžiai „daugiau“ ir „mažiau“.

Palyginamumas. K. Gaussas (1801).

Palyginimas – dviejų sveikųjų skaičių n ir m santykis, reiškiantis, kad šių skaičių skirtumas n-m dalijamas iš duoto sveikojo skaičiaus a, vadinamo palyginimo moduliu; rašoma: n≡m(mod a) ir rašoma "skaičiai n ir m yra palyginami modulo a". Pavyzdžiui, 3≡11(mod 4), nes 3–11 dalijasi iš 4; skaičiai 3 ir 11 yra suderinti modulio 4. Palyginimai turi daug savybių, panašių į lygybes. Taigi, vienoje palyginimo dalyje esantis terminas gali būti perkeltas su priešingu ženklu į kitą dalį, o palyginimus su tuo pačiu moduliu galima sudėti, atimti, dauginti, abi palyginimo dalis padauginti iš to paties skaičiaus ir pan. Pavyzdžiui,

3≡9+2 (4 mod.) ir 3–2≡9 (4 mod.)

yra tinkami palyginimai. Ir iš tikrųjų palyginimų poros 3≡11 (mod 4) ir 1≡5 (mod 4) teisingumas yra toks:

3+1≡11+5 (4 mod.)

3–1≡11–5 (4 mod.)

3 1≡11 5 (4 mod.)

3 2 ≡ 11 2 (4 mod.)

3 23≡ 11 23 (4 mod.)

Skaičių teorijoje nagrinėjami įvairių palyginimų sprendimo būdai, t.y. sveikųjų skaičių, atitinkančių vienokius ar kitokius palyginimus, radimo metodai. Modulo palyginimus pirmasis panaudojo vokiečių matematikas Carlas Gaussas savo 1801 m. knygoje Aritmetiniai tyrimai. Palyginimui jis pasiūlė ir matematikoje nusistovėjusią simboliką.

Tapatybė. B. Riemannas (1857).

Tapatybė yra dviejų analitinių posakių lygybė, galiojanti bet kokioms leistinoms į jį įtrauktų raidžių reikšmėms. Lygybė a+b = b+a galioja visoms a ir b skaitinėms reikšmėms, todėl yra tapatybė. Tapatybėms įrašyti kai kuriais atvejais nuo 1857 m. buvo naudojamas ženklas „≡“ (skaityti „identiškai lygus“), kurio autorius šiuo vartojimu yra vokiečių matematikas Georgas Friedrichas Bernhardas Riemannas. Galite parašyti a+b ≡ b+a.

Statmenumas. P.Erigonas (1634).

Statmenumas – dviejų tiesių, plokštumų arba tiesės ir plokštumos tarpusavio išdėstymas, kuriame šios figūros sudaro stačią kampą. Ženklą ⊥, reiškiantį statmenumą, 1634 m. įvedė prancūzų matematikas ir astronomas Pierre'as Erigonas. Statmenumo sąvoka turi nemažai apibendrinimų, tačiau prie visų, kaip taisyklė, yra ženklas ⊥.

Lygiagretumas. W. Outredas (1677 m. pomirtinis leidimas).

Lygiagretumas – santykis tarp kai kurių geometrinių figūrų; pavyzdžiui, tiesios linijos. Apibrėžiamas skirtingai, priklausomai nuo skirtingų geometrijų; pavyzdžiui, Euklido geometrijoje ir Lobačevskio geometrijoje. Lygiagretumo ženklas žinomas nuo senų laikų, jį naudojo Aleksandrijos Heronas ir Pappas. Iš pradžių simbolis buvo panašus į dabartinį lygybės ženklą (tik labiau išplėstas), tačiau atsiradus pastarajam, kad būtų išvengta painiavos, simbolis buvo pasuktas vertikaliai ||. Tokia forma jis pirmą kartą pasirodė pomirtiniame anglų matematiko Williamo Outredo darbų leidime 1677 m.

Sankryža, sąjunga. J. Peano (1888).

Aibių sankirta yra aibė, kurioje yra tie ir tik tie elementai, kurie vienu metu priklauso visoms duotoms aibėms. Aibių sąjunga yra rinkinys, kuriame yra visi pradinių rinkinių elementai. Sankirta ir sąjunga taip pat vadinamos operacijomis su aibėmis, kurios pagal aukščiau pateiktas taisykles tam tikroms aibėms priskiria naujas aibes. Žymimos atitinkamai ∩ ir ∪. Pavyzdžiui, jei

A=(♠ ♣ ) ir B=(♣ ♦),

Yra, yra. E. Schroederis (1890).

Jei A ir B yra dvi aibės ir A nėra elementų, nepriklausančių B, tada jie sako, kad A yra B. Jie rašo A⊂B arba B⊃A (B yra A). Pavyzdžiui,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦}

{♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦}

Simboliai „sudėtyje yra“ ir „yra“ atsirado 1890 m. kartu su vokiečių matematiku ir logiku Ernstu Schroederiu.

Priklausymas. J. Peano (1895).

Jei a yra aibės A elementas, tada parašykite a∈A ir skaitykite "a priklauso A". Jei a nėra aibės A elementas, parašykite a∉A ir perskaitykite „a nepriklauso A“. Iš pradžių santykiai „sudėtyje“ ir „priklauso“ („yra elementas“) nebuvo skiriami, tačiau laikui bėgant šias sąvokas reikėjo skirti. Narystės ženklą ∈ pirmą kartą panaudojo italų matematikas Giuseppe Peano 1895 m. Simbolis ∈ kilęs iš pirmosios graikų kalbos žodžio εστι raidės – būti.

Visuotinis kvantorius, egzistencinis kvantorius. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikatorius yra bendras loginių operacijų, nurodančių predikato (matematinio teiginio) tiesos sritį, pavadinimas. Filosofai jau seniai atkreipė dėmesį į loginius veiksmus, apribojančius predikato tiesos apimtį, tačiau neišskyrė jų kaip atskiros operacijų klasės. Nors kiekybinės-loginės konstrukcijos plačiai naudojamos tiek mokslinėje, tiek kasdienėje kalboje, tačiau jų formalizavimas įvyko tik 1879 m., vokiečių logiko, matematiko ir filosofo Friedricho Ludwigo Gottlobo Frege knygoje „Sąvokų skaičiavimas“. Fregės užrašas atrodė kaip sudėtingos grafinės konstrukcijos ir nebuvo priimtas. Vėliau buvo pasiūlyta daug sėkmingesnių simbolių, tačiau egzistencinio kvantoriaus žymėjimas ∃ (skaitykite „egzistuoja“, „yra“), kurį 1885 m. pasiūlė amerikiečių filosofas, logikas ir matematikas Charlesas Pierce'as, ir ∀ universaliajam kvantoriui ( skaitykite „bet kuris“, „kiekvienas“, „visi“, kurį 1935 m. sukūrė vokiečių matematikas ir logikas Gerhardas Karlas Erichas Gentzenas pagal analogiją su egzistencinio kvantoriaus simboliu (apverstos pirmosios angliškų žodžių egzistencija (egzistencija) ir Any () raidės. bet koks)). Pavyzdžiui, įrašas

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε)

rašoma taip: „bet kuriam ε>0 egzistuoja δ>0, kad visiems x nelygus x 0 ir tenkinantis nelygybę |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Tuščias komplektas. N. Bourbaki (1939).

Rinkinys, kuriame nėra jokių elementų. Tuščias ženklas buvo pristatytas Nicolas Bourbaki knygose 1939 m. Bourbaki yra kolektyvinis prancūzų matematikų grupės, įkurtos 1935 m., pseudonimas. Vienas iš Bourbaki grupės narių buvo Andre Weilas, Ø simbolio autorius.

Q.E.D. D. Knuthas (1978).

Matematikoje įrodymas suprantamas kaip tam tikromis taisyklėmis pagrįsta samprotavimų seka, parodanti, kad tam tikras teiginys yra teisingas. Nuo Renesanso laikų įrodinėjimo pabaigą matematikai vadino „Q.E.D. 1978 metais kurdamas kompiuterinę maketavimo sistemą ΤΕΧ, amerikiečių informatikos profesorius Donaldas Edwinas Knuthas panaudojo simbolį: užpildytą kvadratą, vadinamąjį „Halmoso simbolį“, pavadintą vengrų kilmės amerikiečių matematiko Paulo Richardo Halmoso vardu. Šiandien įrodymo užbaigimas paprastai žymimas Halmos simboliu. Kaip alternatyva naudojami kiti ženklai: tuščias kvadratas, stačiakampis trikampis, // (du pasvirieji brūkšniai), taip pat rusiška santrumpa „ch.t.d.“.