Ovuliacija 

Kas yra fraktalų menas. Kas yra fraktalai

Skaitmeninių technologijų amžiuje kompiuterinė grafika nieko nenustebins. Tačiau ne visi yra girdėję apie tokią kryptį kaip fraktalinė grafika. Kas yra fraktalinė grafika? Kas yra fraktalas ir kaip jį nupiešti?

fraktalinis principas

Prieš atsakydami į šiuos klausimus, pažvelkime į istoriją. Terminas „fraktalas“ atsirado 1975 m. matematiko, fraktalinės geometrijos kūrėjo Benoit Mandelbroto dėka. Jis labai prisidėjo prie šio reiškinio supratimo gamtoje ir gyvenime. Daug įdomios informacijos šia tema galima rasti jo garsiojoje knygoje „Gamtos fraktalinė geometrija“.

Dabar pažiūrėkime, kas yra fraktalas? Trumpai tariant, fraktalas yra pasikartojantis savęs panašumas. Šis žodis kilęs iš lotyniško fractus – tai reiškia sutraiškytas, sulaužytas. Tai yra, figūra, susidedanti iš dalių, kurios yra panašios į ją - ir yra fraktalas.

Jei imtume pavyzdžius iš gamtos, tai snaigės, vingiuota pakrantė, medžių vainikai yra fraktalai. Fraktalo savybes labai gerai parodo snaigė. Mažiausi kristalai, iš kurių jis susideda, kartojasi ir sudaro tuos pačius kristalus, bet didesnio dydžio. Tą patį galima pastebėti ir medžiuose. Iš didelės šakos išauga ta pati šaka, bet jau mažesnė, o iš šios šakos išauga dar mažesnė šaka ir t. Ir tai yra fraktalas – pasikartojantis savęs panašumas.

Beje, jei norime padidinti paveikslėlį su fraktalų struktūra, tai bus „bėgimas ratu“, nes fraktalas didės neribotą laiką. Nepaisant priartinimo, pamatysime tą patį vaizdą. Begalybė didėjant ar mažėjant yra nuostabi fraktalų savybė.

Kaip kuriamas fraktalas?

Norėdami nupiešti fraktalą, naudosime Sierpinskio trikampį. 1915 metais lenkų matematiko Vaclovo Sierpinskio pasiūlytas šis fraktalas tapo plačiai žinomas ir puikiai iliustruoja fraktalų konstravimo principą. Čia yra jo konstrukcijos schema:

Lygiakraštis trikampis čia naudojamas kaip pagrindinė figūra. Kiekvienoje jo pusėje pažymime vidurį. Tada šiuos tris taškus sujungiame linijomis. Dėl to mūsų trikampio viduje susidaro dar trys trikampiai, bet mažesnio dydžio. Toliau pakartojame kiekvieno iš šių trijų trikampių smulkinimą. Jau gauname devynias naujas figūras, paskui dvidešimt septynias... Ir taip toliau iki begalybės. Ir visas šis rinkinys yra originalaus trikampio viduje. Todėl artėjant prie paveikslo elektronine forma apima begalybės jausmas.

fraktalinė grafika

Taigi, kas yra fraktalinė grafika? Neatsitiktinai mes svarstėme fraktalo esmę ir jo konstravimo principą, nes tuo ir remiasi fraktalinė grafika. Norėdami sukurti tokį grafinį vaizdą, menininkai naudoja specialius redaktorius. Fraktalinis vaizdas juose susidaro iš pirminių ir antrinių objektų ir apskaičiuojamas naudojant matematines formules. Todėl grafiniai failai šiose programose sveria šiek tiek (skirtingai nuo rastrinės grafikos). Fraktalinės grafikos rengyklės pavyzdys yra „ChaosPro“. Tai nemokamas realaus laiko fraktalų generatorius. Štai keletas įdomių „ChaosPro“ sukurtų vaizdų:

Naudodami fraktalinę geometriją galite sukurti vandens, debesų, kalnų paviršių. Sudėtingos formos paviršius galima apskaičiuoti naudojant kelis koeficientus. Tokiu būdu sukuriami nuostabūs abstraktūs paveikslai, kurie atrodo kaip fantastinis svetimas pasaulis. Fraktalų savybes galima panaudoti ir techninėje kompiuterinėje grafikoje. Tačiau jei nepaisysime praktinio pritaikymo ir sutelksime dėmesį į fraktalinės grafikos grožį, argi tai nėra fantastiškas kūrinys, vertas būti savarankiška vaizduojamojo meno kryptimi ir tiesiog malonus akiai?

Karoliukas – projektas skirtas karoliukams ir karoliukų rankdarbiams. Mūsų vartotojai yra pradedantieji karoliukų kūrėjai, kuriems reikia patarimų ir paramos, ir patyrę meistrai, kurie neįsivaizduoja savo gyvenimo be kūrybiškumo. Bendruomenė bus naudinga visiems, turintiems nenugalimą norą visą savo atlyginimą išleisti geidžiamų karoliukų, kalnų krištolų, gražių akmenėlių ir Swarovski komponentų maišeliams karoliukų parduotuvėje.

Išmokysime austi labai paprastus papuošalus, padėsime suprasti tikrų šedevrų kūrimo subtilybes. Čia rasite diagramas, meistriškumo klases, vaizdo pamokas, taip pat galite tiesiogiai paklausti žinomų karoliukų gamintojų patarimų.

Ar mokate kurti gražius daiktus iš karoliukų, karoliukų ir akmenėlių, ar turite solidžią mokinių mokyklą? Vakar nusipirkai pirmą maišelį karoliukų, o dabar nori pinti baublį? O gal esate geros reputacijos spausdinto leidinio, skirto karoliukams, vadovas? Mums visiems tavęs reikia!

Rašykite, pasakokite apie save ir savo darbus, komentuokite įrašus, išsakykite savo nuomonę, dalinkitės gudrybėmis ir gudrybėmis kuriant kitą šedevrą, dalinkitės įspūdžiais. Kartu rasime atsakymus į visus su karoliukais ir karoliukų menu susijusius klausimus.

Šerkšno raštai ant lango, įmantri ir nepakartojama snaigių forma, tviskantys žaibai naktiniame danguje žavi ir žavi nepaprastu grožiu. Tačiau nedaugelis žino, kad visa tai yra sudėtinga fraktalinė struktūra.

Be galo į save panašios figūros, kurių kiekvienas fragmentas atitolinus kartojasi, vadinamos fraktalais.. Žmogaus kraujagyslių sistema, gyvūnų alveolių sistema, jūros pakrančių vingiai, debesys danguje, medžių kontūrai, antenos ant namų stogų, ląstelių membrana ir žvaigždžių galaktikos – visa tai nuostabus chaotiško judėjimo produktas. pasaulis yra fraktalai.

Pirmieji į save panašių neįprastų savybių rinkinių pavyzdžiai pasirodė XIX a. Terminą „fraktalai“, kilusį iš lotyniško žodžio „fractus“ – trupmeninis, sulaužytas, įvedė Benoit Mandelbrot 1975 m. Taigi, fraktalas yra struktūra, susidedanti iš dalių, panašių į visumą. Būtent savęs panašumo savybė ryškiai skiria fraktalus nuo klasikinės geometrijos objektų.

Kartu su knygos „Gamtos fraktalų geometrija“ (1977) išleidimu fraktalai pelnė pasaulinę šlovę ir populiarumą.

T Terminas „fraktalas“ nėra matematinė sąvoka, todėl neturi griežto visuotinai priimto matematinio apibrėžimo. Be to, fraktalo terminas vartojamas kalbant apie visas figūras, turinčias bet kurią iš šių savybių:

    Netriviali struktūra visomis skalėmis. Ši savybė išskiria tokių taisyklingų figūrų fraktalus kaip apskritimas, elipsė, lygiosios funkcijos grafikas ir kt.

    Padidinti Fraktalo mastelis nesupaprastina jo struktūros, tai yra, visose mastelėse matome vienodai sudėtingą vaizdą, o vertinant įprastą figūrą dideliu mastu, ji tampa panaši į tiesios linijos fragmentą.

    Savęs panašumas arba apytikslis savęs panašumas.

    Metrinis arba trupmeninis metrinis matmuo, žymiai pranašesnis už topologinį.

    Konstravimas galimas tik rekursinės procedūros pagalba, tai yra objekto ar veiksmo apibrėžimas per save.

Taigi, fraktalus galima suskirstyti į reguliarius ir netaisyklingus. Pirmosios yra matematinės abstrakcijos, tai yra vaizduotės vaisius. Pavyzdžiui, Kocho snaigė arba Sierpinskio trikampis. Antroji fraktalų rūšis yra gamtos jėgų arba žmogaus veiklos rezultatas. H netaisyklingi fraktalai, skirtingai nei įprasti fraktalai, išlaiko gebėjimą į save panašus ribotose ribose.

Kiekvieną dieną fraktalai randa vis daugiau pritaikymų moksle ir technologijose - jie geriausiai apibūdina realų pasaulį. Fraktalinių objektų pavyzdžių galima pateikti be galo, jie mus supa visur. Fraktalas kaip natūralus objektas yra ryškus amžino nuolatinio judėjimo, formavimosi ir vystymosi pavyzdys.

Fraktalai plačiai naudojami kompiuterinėje grafikoje sukurti gamtos objektų, pavyzdžiui, medžių, krūmų, kalnų grandinių, jūros paviršių ir kt., vaizdą. Fraktalų naudojimas decentralizuotuose tinkluose tapo efektyvus ir sėkmingas. Pavyzdžiui, Netsukuku IP priskyrimo sistema naudoja fraktalinės informacijos glaudinimo principą, kad kompaktiškai saugotų informaciją apie tinklo mazgus. Dėl šios priežasties kiekvienas Netsukuku tinklo mazgas saugo tik 4 Kb informacijos apie gretimų mazgų būseną, be to, bet kuris naujas mazgas jungiasi prie bendro tinklo nereikalaujant centrinio IP adresų paskirstymo reguliavimo, kuris, pvz. , aktyviai naudojamas internete. Taigi, fraktalinės informacijos suspaudimo principas užtikrina stabiliausią viso tinklo veikimą.

Labai perspektyvus yra fraktalinės geometrijos panaudojimas kuriant „fraktalines antenas“.
Šiuo metu nanotechnologijose aktyviai naudojami fraktalai. Fraktalai ypač išpopuliarėjo tarp prekybininkų. Jų pagalba ekonomistai analizuoja biržų, bendrųjų ir prekybos rinkų eigą.Naftos chemijoje fraktalai naudojami porėtoms medžiagoms kurti. Biologijoje fraktalai naudojami populiacijų raidai modeliuoti, taip pat vidaus organų sistemoms apibūdinti.Net literatūroje fraktalai rado savo nišą. Tarp meno kūrinių rasta tekstinio, struktūrinio ir semantinio fraktalinio pobūdžio kūrinių.

/BDE matematika/

Julia set (prancūzų matematiko Gastono Julia (1893-1978) garbei, kuris kartu su Pierre'u Fatou pirmasis pradėjo studijuoti fraktalus.1970-aisiais jo kūrybą išpopuliarino Benoit Mandelbrotas.)

geometriniai fraktalai

Fraktalų istorija XIX amžiuje prasidėjo būtent nuo geometrinių fraktalų tyrimo. Fraktalai aiškiai atspindi savęs panašumo savybę. Ryškiausi geometrinių fraktalų pavyzdžiai:

Kocho kreivė yra savaime nesikertanti begalinio ilgio ištisinė kreivė. Ši kreivė neturi liestinės jokiame taške.
Kantoriaus rinkinysyra nesuskaičiuojamas tankus tobulas rinkinys.
Sponge Menger - tai yra Cantor rinkinio analogas, vienintelis skirtumas, kad šis fraktalas yra pastatytas trimatėje erdvėje.
Trikampis arba Sierpinski kilimastaip pat yra lėktuve esančio Cantor rinkinio analogas.
Weierstrass ir van der Waerden fraktalaiyra nediferencijuojama nuolatinė funkcija.
Brauno dalelių trajektorijataip pat nesiskiria.
Peano kreivė yra ištisinė kreivė, einanti per visus kvadrato taškus.
Pitagoro medis.

Apsvarstykite triadinę Kocho kreivę.
Norint sudaryti kreivę, yra paprasta rekursinė kreivės trupmenos generavimo procedūra plokštumoje. Visų pirma, reikia apibrėžti savavališką trūkinę liniją su baigtiniu skaičiumi nuorodų, vadinamąjį generatorių. Toliau kiekviena grandis pakeičiama generuojančiu elementu, tiksliau nutrūksta linija, panašia į generatorių. Dėl tokio pakeitimo susidaro naujos kartos Kocho kreivė. Pirmoje kartoje kreivė susideda iš keturių tiesių grandžių, kurių kiekvienos ilgis yra 1/3. Norint gauti trečią kreivės kartą, atliekamas tas pats algoritmas – kiekviena nuoroda pakeičiama sumažinta generatrix. Taigi, norint gauti kiekvieną paskesnę kartą, visos ankstesnės grandys pakeičiamos sumažintu generuojančiu elementu. Tada bet kurio baigtinio n n-osios kartos kreivė vadinama prefraktalu. Kai n linkusi į begalybę, Kocho kreivė tampa fraktaliniu objektu.

Pažvelkime į kitą fraktalinio objekto konstravimo būdą. Norėdami jį sukurti, turite pakeisti konstravimo taisykles: tegul generatrix yra du vienodi segmentai, sujungti stačiu kampu. Nulinėje kartoje vieneto segmentą pakeičiame generuojančiu elementu, kad kampas būtų viršuje. Tai yra, su tokiu pakeitimu, nuorodos vidurys pasislenka. Tolesnės kartos statomos pagal taisyklę: pirmoji grandis kairėje pakeičiama generuojančiu elementu taip, kad jungties vidurys pasislinktų į kairę nuo judėjimo krypties. Be to, nuorodos keičiamos pakaitomis. Pagal šią taisyklę sukonstruota ribinė fraktalinė kreivė vadinama Harter-Hateway drakonu.

Kompiuterinėje grafikoje geometriniai fraktalai naudojami medžių, krūmų, kalnų grandinių ir pakrančių vaizdams modeliuoti. 2D geometriniai fraktalai plačiai naudojami kuriant 3D tekstūras.



Baigęs universitetą, Mandelbrotas persikėlė į JAV, kur baigė Kalifornijos technologijos institutą. Grįžęs į Prancūziją, 1952 m. Paryžiaus universitete įgijo daktaro laipsnį. 1958 m. Mandelbrotas pagaliau apsigyveno JAV, kur pradėjo dirbti IBM tyrimų centre Jorko mieste.. Jis dirbo kalbotyros, žaidimų teorijos, ekonomikos, aeronautikos, geografijos, fiziologijos, astronomijos ir fizikos srityse.

Fraktalas (lot. fractus – susmulkintas) – terminą įvedė Benoit Mandelbrot 1975 m. Vis dar nėra griežto matematinio fraktalų aibių apibrėžimo. O jis sugebėjo apibendrinti ir susisteminti „nemalonius“ rinkinius ir sukurti gražią bei intuityvią teoriją. Jis atrado nuostabų fraktalų pasaulį, kurio grožis ir gylis kartais stebina vaizduotę, džiugina mokslininkus, menininkus, filosofus... Mandelbroto kūrybą paskatino pažangios kompiuterinės technologijos, kurios leido generuoti, vizualizuoti ir tyrinėti įvairius rinkinius.

Japonų fizikas Yasunari Watanaba sukūrė kompiuterinę programą, kuri piešia gražius fraktalų raštus. Suzdalyje vykusioje tarptautinėje konferencijoje „Matematika ir menas“ pristatytas 12 mėnesių kalendorius.

Fraktalai buvo žinomi beveik šimtmetį, yra gerai ištirti ir turi daugybę pritaikymų gyvenime. Šis reiškinys pagrįstas labai paprasta idėja: iš gana paprastų struktūrų galima gauti begalinį skaičių gražių ir įvairesnių figūrų, naudojant tik dvi operacijas – kopijavimą ir mastelio keitimą.

Ši sąvoka neturi griežto apibrėžimo. Todėl žodis „fraktalas“ nėra matematinis terminas. Paprastai tai yra geometrinės figūros, atitinkančios vieną ar kelias iš šių savybių, pavadinimas:

  • turi sudėtingą struktūrą esant bet kokiam padidinimui;
  • yra (apytiksliai) panašus į save;
  • turi trupmeninį Hausdorfo (fraktalinį) matmenį , kuris yra didesnis už topologinį;
  • galima sukurti rekursinėmis procedūromis.

19–20 amžių sandūroje fraktalų tyrimas buvo labiau epizodinis nei sisteminis, nes ankstesni matematikai daugiausia tyrinėjo „gerus“ objektus, kuriuos buvo galima tirti naudojant bendruosius metodus ir teorijas. 1872 m. vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas sukūrė niekur nesiskiriančios tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau jo konstrukcija buvo visiškai abstrakti ir sunkiai suprantama. Todėl 1904 metais švedas Helge von Koch sugalvojo ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės, ir ją nubrėžti gana paprasta. Paaiškėjo, kad jis turi fraktalo savybių. Vienas šios kreivės variantų vadinamas Kocho snaigė.

Figūrų panašumo idėjas perėmė prancūzas Paulas Pierre'as Levy, būsimasis Benoit Mandelbrot mentorius. 1938 m. buvo paskelbtas jo straipsnis „Plokštumos ir erdvinės kreivės bei paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“, kuriame aprašomas dar vienas fraktalas – Lévy C kreivė. Visus minėtus fraktalus sąlyginai galima priskirti vienai konstruktyviųjų (geometrinių) fraktalų klasei.

Kita klasė yra dinaminiai (algebriniai) fraktalai, kurie apima Mandelbroto rinkinį. Pirmieji tyrimai šia kryptimi datuojami XX amžiaus pradžioje ir siejami su prancūzų matematikų Gastono Julia ir Pierre'o Fatou vardais. 1918 m. buvo paskelbtas beveik du šimtai Julijos darbo puslapių, skirtų sudėtingų racionalių funkcijų iteracijoms, kuriose aprašytos Julijos aibės – visa šeima fraktalų, glaudžiai susijusių su Mandelbroto rinkiniu. Šis kūrinys buvo apdovanotas Prancūzų akademijos premija, tačiau jame nebuvo nė vienos iliustracijos, todėl aptiktų objektų grožio įvertinti buvo neįmanoma. Nepaisant to, kad šis darbas išgarsino Juliją tarp to meto matematikų, jis greitai buvo pamirštas.

Tik po pusės amžiaus, atsiradus kompiuteriams, dėmesys nukrypo į Julijos ir Fatou kūrybą: būtent jie padarė matomą fraktalų pasaulio turtingumą ir grožį. Galų gale, Fatou niekada negalėjo žiūrėti į vaizdus, ​​​​kuriuos dabar žinome kaip Mandelbroto rinkinio vaizdus, ​​nes reikiamo skaičiaus skaičiavimų negalima atlikti rankiniu būdu. Pirmasis asmuo, kuris tam panaudojo kompiuterį, buvo Benoit Mandelbrotas.

1982 metais buvo išleista Mandelbroto knyga „Gamtos fraktalų geometrija“, kurioje autorius surinko ir susistemino beveik visą tuo metu turimą informaciją apie fraktalus ir ją lengvai bei prieinamai pateikė. Mandelbrotas savo pristatyme daugiausia dėmesio skyrė ne sudėtingoms formulėms ir matematinėms konstrukcijoms, o geometrinei skaitytojų intuicijai. Kompiuteriu sukurtų iliustracijų ir istorinių istorijų, kuriomis autorius sumaniai atskiedė monografijos mokslinį komponentą, dėka knyga tapo bestseleriu, o fraktalai tapo žinomi plačiajai visuomenei. Jų sėkmę tarp ne matematikų daugiausia lemia tai, kad naudojant labai paprastas konstrukcijas ir formules, kurias gali suprasti net vidurinės mokyklos mokinys, gaunami nuostabaus sudėtingumo ir grožio vaizdai. Kai asmeniniai kompiuteriai tapo pakankamai galingi, atsirado net ištisa meno kryptis – fraktalų tapyba, ir tuo galėjo užsiimti kone bet kuris kompiuterio savininkas. Dabar internete galite lengvai rasti daugybę šiai temai skirtų svetainių.

Pristatymas tema: Fraktalai dailėje ir architektūroje Parengė 10 klasės mokinys Vadimas Valerjevičius Varčenkovas, vadovė - Savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „9 vidurinė mokykla“ Stiplina Galina Nikolajevna Tel.:, Safonovo, Smolensko sritis 2014 Nominacija: „Matematiniai modeliai realius procesus gamtoje ir visuomenėje“








Fraktalas yra matematinis terminas, turintis sudėtingus tikslius skaičiavimus ir pagrįstas tiksliais matematiniais principais, plačiai naudojamas kompiuterinėje grafikoje ir daugelio kompiuterinių procesų kūrime. Dabar fraktalas vartojamas nuo matematikos iki meno, tačiau nuostabiausia yra tai, kad pasigilinus prieiti prie išvados, kad jis atspindi pačius pagrindinius ezoterinius visatos principus.


Fraktalų termino kilmė yra struktūros, sudarytos iš dalių, panašių į visumą. Išvertus iš lotynų kalbos „fractus“ reiškia „sutraiškytas, sulaužytas, sulaužytas“. Kitaip tariant, tai yra visumos panašumas į konkretų geometrinių figūrų rėmuose. Yra tikslus fraktalų tyrimo ir sudarymo mokslas – fraktazmas.


Terminą „fraktalas“ į matematiką įvedė Benoit Maldenbrot 1975 m., kurie laikomi fraktazmo gimimo metais. Matematikoje fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį arba metrinį matmenį, kuris skiriasi nuo topologinio. Ir, žinoma, kaip ir bet kuris kitas matematikos mokslas, fraktasmas yra prisotintas daugybe sudėtingų teorinių tyrimų ir formulių.


Fraktalai vaizduojamajame mene Grįžtant į praeitį, žmonijos mene, taip pat gamtoje, nesunkiai galima rasti fraktalų panaudojimo pavyzdžių. Įspūdingi šios sistemos kūriniai – Leonardo da Vinci piešinys „Tvanas“, japonų menininko Katsushikos Hokusai graviūros ir E. Escher’io darbai – taip pat ryškus fraktališkumo pavyzdys, o šis sąrašas – begalinis.


Taigi fraktalumo pasireiškimas peržengė matematinės teorijos ribas ir rado savo namus daugelyje gyvenimo sričių, įskaitant ryškų XX amžiaus meną. atsiranda naujų meno formų, kurių pagrindas – fraktalinė grafika.


Fraktalų ekspresionizmas arba fraktažas, nuostabiuose D. Nielseno darbuose, fraktalų monotipijos iš L. Livshitso, fraktalinė abstrakcija – V. Ribas, fraktalinis realizmas – V. Useinovo ir A. Sundukovo. Fraktalų tapyba tapo neatsiejama vaizduojamojo meno dalimi, kuri eksponuojama visame pasaulyje.Fraktalas tapo vienu populiariausių ir geidžiamiausių mūsų amžiaus postmodernizmo reiškinių.




Fraktalų teorijos taikymas architektūroje Geometriniai fraktalai naudojami architektūroje. Pagrindiniai šios grupės atstovai yra tokie objektai kaip: Peano kreivė, Kocho snaigė, Sierpinskio trikampis, Kantoro dulkės, Harter-Hateway „drakonas“ ir kt. Visi jie gaunami kartojant tam tikrą geometrinių konstrukcijų seką, naudojant taškus ir linijas.


Šios grupės fraktalai yra ryškiausi. Jei analizuotume vaizdo duomenis, galime išskirti tokias geometrinių fraktalų savybes: begalinis skaičius geometrinių fraktalų apima ribotą paviršiaus plotą; begalinė aibė, sudaranti fraktalą, turi savęs panašumo savybę; vienų fraktalų ilgiai, plotai ir tūriai linkę į begalybę, kitų lygūs nuliui.




Sierpinskio trikampis Kitas būdas gauti Sierpinskio trikampį yra dar panašesnis į įprastą geometrinių fraktalų konstravimo schemą, pakeičiant kitos iteracijos dalis mastelio fragmentu. Čia kiekviename žingsnyje segmentai, sudarantys trūkinę liniją, pakeičiami laužta trijų nuorodų linija (ji pati gaunama per pirmąją iteraciją). Turite atidėti šią nutrūkusią liniją pakaitomis į dešinę, tada į kairę. Matyti, kad jau aštunta iteracija yra labai arti fraktalo, o kuo toliau, tuo linija prie jo priartės. Šį fraktalą 1915 metais aprašė lenkų matematikas Vaclavas Sierpinskis. Norėdami jį gauti, turite paimti (lygiakraščio) trikampį su interjeru, nubrėžti jame vidurines linijas ir iš keturių suformuotų mažų trikampių išmesti centrinę. Be to, tie patys veiksmai turi būti kartojami su kiekvienu iš likusių trijų trikampių ir pan.


Sierpinskio trikampio kilimo variantai (kvadratas, servetėlė) Sierpinski. Kvadratinę versiją Vaclavas Sierpinskis aprašė 1916 m. Jam pavyko įrodyti, kad bet kuri kreivė, kurią galima nubrėžti plokštumoje be susikirtimų, yra homeomorfinė tam tikram šios skylės kvadrato pogrupiui. Kaip ir trikampį, kvadratą galima gauti iš skirtingų dizainų. Klasikinis būdas parodytas dešinėje: kvadrato padalijimas į 9 dalis ir centrinės dalies išmetimas. Tada tas pats kartojamas likusiems 8 kvadratams ir pan.


Sierpinskio piramidė Vienas iš trimačių Sierpinskio trikampio analogų. Jis pastatytas panašiai, atsižvelgiant į tai, kas vyksta trimačiais: 5 pradinės piramidės kopijos, suspaustos du kartus, sudaro pirmąją iteraciją, 5 jos kopijos sudaro antrą iteraciją ir pan. Fraktalo matmuo yra lygus log25. Figūros tūris yra nulinis (pusė tūrio atmetama kiekviename žingsnyje), tačiau paviršiaus plotas išsaugomas nuo kartojimo iki iteracijos, o fraktalui jis yra toks pat, kaip ir pradinėje piramidėje.


Mengerio kempinė Sierpinskio kilimo apibendrinimas į trimatę erdvę. Norint sukurti kempinę, reikia be galo kartoti procedūrą: kiekvienas kubas, sudarantis iteraciją, yra padalintas į 27 tris kartus mažesnius kubelius, iš kurių atmetamas centrinis ir 6 jo kaimynai. Tai reiškia, kad kiekvienas kubas sukuria 20 naujų, tris kartus mažesnių. Todėl fraktalo matmuo yra lygus log320. Šis fraktalas yra universali kreivė: bet kuri kreivė trimatėje erdvėje yra homeomorfinė tam tikram kempinės pogrupiui. Kempinė turi nulinį tūrį (kadangi kiekviename žingsnyje ji dauginama iš 20/27), bet turi be galo didelį plotą.