Как найти вершины гиперболы. Разбираемся с магией гиперболы
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему « ».
Также очень советую научиться сперва строить , так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей.
Начнем с небольшой проверки:
Что такое обратная пропорциональность?
Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?
Как называется график такой функции?
Какие коэффициенты влияют на график функции, и как?
Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .
Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.
Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.
Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Определение
Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида, где.
График обратной зависимости - гипербола.
2. Коэффициенты, и.
Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:
- если, и смещение вниз, если .
Следовательно, - это горизонтальная асимптота .
3. Правило построения графика функции:
0) Определяем коэффициенты, и.
1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .
3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .
4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Занятие 10 . Кривые второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:
где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
Каноническое уравнение эллипса
:
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса
.
Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.
1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.
2) Затем вычисляется фокусное расстояние
(расстояние от фокусов до начала
координат).
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина:
(при
);
(при
).
У эллипса всегда
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
:
или
.
(3)
Такое уравнение получается, если
координатная ось
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы
.
Фокусы гиперболы находятся так.
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
Здесь
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина:
(для
);
(для
).
У гиперболы всегда
.
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые:
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы).
Каноническое уравнение параболы
:
,
(4)
где
- постоянная, называемаяпараметром
параболы.
Точка
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
Уравнение
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
Перейдем к примерам.
Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
Найдем фокусы.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.
Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
и
.
Теперь, уравнение кривой можно переписать так:
Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
Пример 3
. Дать название и привести
график линии
.
Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке
и полуосями
.
Поскольку,
,
делаем заключение: заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
Фокусное расстояние.
Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
Асимптоты гиперболы: .
Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).
Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.
Решение. Выделим полный квадрат по
слагаемым с переменной
:
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Домашнее задание .
1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.
Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная
Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F 1 F 2 пополам (рис. 30). Обозначим F 1 F 2 = 2c. Тогда F 1 (с; 0); F 2 (-c; 0)
MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокальные радиусы гиперболы.
Согласно определения гиперболы r 1 – r 2 = const.
Обозначим ее через 2а
Тогда r 2 - r 1 = ±2a итак:
=>
каноническое
уравнение гиперболы
Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М 0 (х 0 ; у 0) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М 1 (х 0 ; -у 0) М 2 (-х 0 ; -у 0) М 3 (-х 0 ; -у 0).
Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.
При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А 1 (а; 0); А 2 (-а; 0).
.
В силу симметрии исследование ведем в
I
четверти
1)
при
у имеет мнимое значение, следовательно,
точек гиперболы с абсциссами
не существует
2) при х = а; у = 0 А 1 (а; 0) принадлежит гиперболе
3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.
Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.
П 6. Асимптоты гиперболы
Рассмотрим
вместе с уравнением
уравнение прямой
К
ривая
будет лежать ниже прямой (рис. 31).
Рассмотрим точкиN
(x,
Y)
и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы,
а У - у = MN.
Рассмотрим
длину отрезка MN
Найдем
Итак,
если точка М, двигаясь по гиперболе в
первой четверти удаляется в бесконечность,
то ее расстояние от прямой
уменьшается и стремится к нулю.
В
силу симметрии таким же свойством
обладает прямая
.
Определение.
Прямые к которым при
кривая неограниченно приближается
называются асимптотами.
И
так,
уравнение асимптот гиперболы
.
Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).
П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
r 2 – r 1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы
знак – относится к левой ветви гиперболы
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.
.
Так как c
> a,
ε
> 1
Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:
Определение
.
Назовем прямые
,
перпендикулярные фокальной оси гиперболы
и расположенными на расстоянии
от ее центра директрисами гиперболы,
соответствующие правому и левому
фокусам.
Т
ак
как для гиперболы
следовательно, директрисы гиперболы,
располагаются между ее вершинами (рис.
33). Покажем, что отношение расстояний
любой точки гиперболы до фокуса и
соответствующей директрисы есть величина
постоянная и равная ε.
П. 8 Парабола и ее уравнение
О
пределение.
Парабола
есть геометрическое место точек
равностоящих от данной точки, называемой
фокусом и от данной прямой называемой
директрисой.
Чтобы
составить уравнение параболы примем
за ось х прямую, проходящую через фокус
F 1
перпендикулярную к директрисе и будем
считать ось х направленной от директрисы
к фокусу. За начало координат возьмем
середину О отрезка от точки F
до данной прямой, длину которого обозначим
через р (рис. 34). Величину р назовем
параметром параболы. Точка координат
фокуса
.
Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.
Согласно
определению
у 2 = 2рх – каноническое уравнение параболы
Для
определения вида параболы преобразуем
ее уравнение
отсюда следует
.
Следовательно, вершина параболы находится
в начале координат и осью симметрии
параболы является ох. Уравнение у 2
= -2рх при положительном р сводится к
уравнению у 2
= 2рх путем замены х на –х и ее график
имеет вид (рис. 35).
У
равнение
х 2
= 2ру является уравнением параболы с
вершиной в точке О (0; 0) ветви которой
направлены вверх.
х
2
= -2ру – уравнение параболы с центром в
начале координат симметричная относительно
оси у, ветви которой направлены вниз
(рис. 36).
У параболы одна ось симметрии .
Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.
Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.
Замечание
1.
Уравнение
директрисы параболы имеет вид
.
Замечание
2.
Так
как для параболы
,
то
ε
параболы равен 1.
ε
= 1
.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Гипербола
- это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются.
Формула гиперболы y = k/x
, при условии, что k
не равно 0
. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.
Гипербола - это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Свойства:
1. Оптическое свойство:
свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF2.
2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
3. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей , а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
4. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.
Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
42. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Эксцентриситет: 
Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
43.Случай сопряжённой,вырожденной гиперболы (НЕ ПОЛНОСТЬЮ)
Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.
Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .