Der goldene Schnitt im menschlichen Körper. Forschungsarbeit „Goldener Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers“

Der goldene Schnitt ist die Unterteilung eines Segments in ungleiche Teile, wobei das gesamte Segment (A) mit dem größeren Teil (B) in Beziehung steht, wie dieser größere Teil (B) mit dem kleineren Teil (C) in Beziehung steht, oder A:B=B:C, oder C:B=B:A.

Segmente Goldener Schnitt korrelieren miteinander durch eine unendliche irrationale Zahl Ф = 0,618 ... If C dann als Einheit nehmen EIN= 0,382. Die Zahlen 0,618 und 0,382 sind die Koeffizienten der Fibonacci-Folge, auf der die wichtigsten geometrischen Figuren aufgebaut sind.

Menschliche Knochen sind in einem Verhältnis nahe dem Goldenen Schnitt konstruiert. Und je näher die Proportionen an der Formel des Goldenen Schnitts liegen, desto idealer sieht das Aussehen einer Person aus.

Wenn der Abstand zwischen den Füßen einer Person und dem Nabelpunkt = 1 ist, dann ist die Größe der Person = 1,618.

Der Abstand von der Höhe der Schulter bis zum Scheitel und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618.

Der Abstand von der Nabelspitze zum Scheitel und von der Schulterhöhe zum Scheitel beträgt 1:1,618.

Der Abstand vom Bauchnabel bis zu den Knien und von den Knien bis zu den Füßen beträgt 1:1,618.

Der Abstand von der Kinnspitze zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618.

Der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie bis zum Scheitel beträgt 1:1,618.

Andere Proportionsverhältnisse:

Gesichtshöhe / Gesichtsbreite; der zentrale Verbindungspunkt der Lippen zum Nasenansatz / Nasenlänge; Gesichtshöhe / Abstand von der Kinnspitze zum Mittelpunkt des Lippenübergangs; Mundbreite / Nasenbreite; Breite der Nase / Abstand zwischen den Nasenlöchern; Pupillenabstand / Augenbrauenabstand.

Das exakte Vorhandensein des goldenen Anteils im Gesicht eines Menschen ist das Schönheitsideal für das menschliche Auge.

Beim Blick auf den Zeigefinger ist die Formel des Goldenen Schnitts sichtbar. Jeder Finger der Hand besteht aus drei Fingergliedern. Die Summe der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur gesamten Fingerlänge = Goldener Schnitt (mit Ausnahme des Daumens). Verhältnis Mittelfinger/kleiner Finger = goldener Schnitt.

Eine Person hat 2 Hände, die Finger an jeder Hand bestehen aus 3 Fingergliedern (mit Ausnahme des Daumens). Es gibt 5 Finger an jeder Hand, also nur 10, aber mit Ausnahme von zwei Daumen mit zwei Fingergliedern werden nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts nur 8 Finger erstellt (die Zahlen 2, 3, 5 und 8 sind die Zahlen der Fibonacci-Folge).

Bereits im Mittelalter wurden die Maße von Körperteilen des Menschen als Maßstab verwendet. Beim Bau von Kathedralen in Frankreich wurde ein Gerät verwendet, das aus 5 Stangen bestand, die die Länge der Handfläche, der großen und kleinen Spannweite, des Fußes und des Ellbogens hatten. Alle diese Längen waren Vielfache einer kleineren Längeneinheit, die man nannte Linie und war gleich 1/12 Zoll, d.h. etwa 2,5 mm. Wenn wir diese Zahlen in das metrische System übersetzen, sehen wir, dass die Mengen Linien sind Zahlen aus der Fibonacci-Reihe. Das Verhältnis von jedem zum vorherigen ist F, was noch überraschender ist, weil diese Einheiten willkürlichen Teilen des menschlichen Körpers entsprechen.

Von Freiflächen zu Bildungszwecken)

Lassen Sie uns herausfinden, was die altägyptischen Pyramiden, das Gemälde von Leonardo da Vinci „Mona Lisa“, eine Sonnenblume, eine Schnecke, ein Tannenzapfen und menschliche Finger gemeinsam haben?

Die Antwort auf diese Frage verbirgt sich in den erstaunlichen Zahlen, die entdeckt wurden. Italienischer mittelalterlicher Mathematiker Leonardo von Pisa, besser bekannt unter dem Namen Fibonacci (geboren um 1170 - gestorben nach 1228), Italienischer Mathematiker . Auf Reisen in den Osten lernte er die Errungenschaften der arabischen Mathematik kennen; trugen zu ihrem Transfer in den Westen bei.

Nach seiner Entdeckung wurden diese Zahlen als Name des berühmten Mathematikers bezeichnet. Das ist die erstaunliche Essenz der Fibonacci-Folge dass sich jede Zahl in dieser Folge aus der Summe der beiden vorangegangenen Zahlen ergibt.

Die Zahlen bilden also die Folge:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

werden "Fibonacci-Zahlen" genannt, und die Folge selbst wird als Fibonacci-Folge bezeichnet. Es gibt ein sehr interessantes Merkmal der Fibonacci-Zahlen. Wenn man eine beliebige Zahl aus der Folge durch die Zahl davor in der Reihe dividiert, wird das Ergebnis immer ein Wert sein, der um den irrationalen Wert von 1,61803398875 ... schwankt und ihn manchmal überschreitet, manchmal nicht erreicht. (Beachten Sie eine irrationale Zahl, dh eine Zahl, deren Dezimaldarstellung unendlich und nicht periodisch ist.)

Außerdem wird dieses Divisionsergebnis nach der 13. Zahl in der Folge bis zur Unendlichkeit der Reihe konstant ... Diese konstante Teilungszahl wurde im Mittelalter als Göttliche Proportion bezeichnet und wird heute als Goldener Schnitt, Goldener Mittelwert oder Goldener Anteil bezeichnet. . In der Algebra wird diese Zahl mit dem griechischen Buchstaben Phi (Ф) bezeichnet.

Also, Goldener Schnitt = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Der menschliche Körper und der Goldene Schnitt.

Künstler, Wissenschaftler, Modedesigner, Designer machen ihre Berechnungen, Zeichnungen oder Skizzen auf der Grundlage des Goldenen Schnitts. Sie verwenden Messungen des menschlichen Körpers, die ebenfalls nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts erstellt wurden. Leonardo Da Vinci und Le Corbusier haben, bevor sie ihre Meisterwerke schufen, die Parameter des menschlichen Körpers genommen, die nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts geschaffen wurden.

Das wichtigste Buch aller modernen Architekten, das Nachschlagewerk von E. Neufert „Building Design“, enthält die grundlegenden Berechnungen der Parameter des menschlichen Körpers, zu denen auch der Goldene Schnitt gehört.

Die Proportionen der verschiedenen Teile unseres Körpers ergeben eine Zahl, die dem goldenen Schnitt sehr nahe kommt. Wenn diese Proportionen mit der Formel des Goldenen Schnitts übereinstimmen, gilt das Aussehen oder der Körper einer Person als ideal gebaut. Das Prinzip der Berechnung des goldenen Maßes am menschlichen Körper lässt sich als Diagramm darstellen:

M/m = 1,618

Das erste Beispiel für den Goldenen Schnitt in der Struktur des menschlichen Körpers:
Nimmt man den Nabelpunkt als Mittelpunkt des menschlichen Körpers und den Abstand des menschlichen Fußes zum Nabelpunkt als Maßeinheit, dann entspricht die Körpergröße eines Menschen der Zahl 1,618.

Darüber hinaus gibt es einige weitere grundlegende goldene Proportionen unseres Körpers:

* der Abstand von den Fingerspitzen über das Handgelenk bis zum Ellbogen beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Höhe der Schulter bis zum Scheitel und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Nabelspitze bis zum Scheitel und von der Schulterhöhe zum Scheitel beträgt 1:1,618;

* der Abstand vom Nabelpunkt zu den Knien und von den Knien zu den Füßen beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Kinnspitze zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie bis zum Scheitel beträgt 1:1,618;

* Der Abstand von der Kinnspitze zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie zum Scheitel beträgt 1:1.618:

Der goldene Schnitt menschlicher Gesichtszüge als Kriterium vollendeter Schönheit.

Auch in der Struktur menschlicher Gesichtszüge gibt es viele Beispiele, die der Formel des Goldenen Schnitts nahe kommen. Laufen Sie jedoch nicht sofort hinter dem Lineal her, um die Gesichter aller Menschen zu vermessen. Denn exakte Entsprechungen zum Goldenen Schnitt gibt es laut Wissenschaftlern und Künstlern, Künstlern und Bildhauern nur bei Menschen mit vollkommener Schönheit. Eigentlich ist das exakte Vorhandensein des Goldenen Schnitts im Gesicht eines Menschen das Schönheitsideal für das menschliche Auge.

Wenn wir zum Beispiel die Breite der beiden oberen Vorderzähne zusammenzählen und diese Summe durch die Höhe der Zähne dividieren, dann können wir nach dem Goldenen Schnitt sagen, dass die Struktur dieser Zähne ideal ist.

Auf dem menschlichen Gesicht gibt es andere Verkörperungen der Regel des Goldenen Schnitts. Hier sind einige dieser Beziehungen:

* Gesichtshöhe / Gesichtsbreite;

* Zentraler Verbindungspunkt der Lippen zum Nasenansatz / Nasenlänge;

* Gesichtshöhe / Abstand von der Kinnspitze zum Mittelpunkt des Lippenübergangs;

* Mundbreite / Nasenbreite;

* Breite der Nase / Abstand zwischen den Nasenlöchern;

* Pupillenabstand / Augenbrauenabstand.

Menschliche Hand.

Es reicht aus, jetzt nur Ihre Handfläche näher an sich zu bringen und Ihren Zeigefinger genau zu betrachten, und Sie werden sofort die Formel des Goldenen Schnitts darin finden. Jeder Finger unserer Hand besteht aus drei Fingergliedern.

* Die Summe der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur gesamten Fingerlänge und ergibt die Nummer des goldenen Schnitts (mit Ausnahme des Daumens);

* Außerdem entspricht das Verhältnis zwischen Mittelfinger und kleinem Finger auch dem Goldenen Schnitt;

* Eine Person hat 2 Hände, die Finger jeder Hand bestehen aus 3 Fingergliedern (mit Ausnahme des Daumens). Es gibt 5 Finger an jeder Hand, also insgesamt 10, aber mit Ausnahme von zwei zweiphalangealen Daumen werden nur 8 Finger nach dem Prinzip des goldenen Schnitts erstellt. Während all diese Zahlen 2, 3, 5 und 8 die Zahlen der Fibonacci-Folge sind:

Der goldene Schnitt im Aufbau der menschlichen Lunge.

Der amerikanische Physiker B.D. West und Dr. A.L. Goldberger fand bei physikalischen und anatomischen Studien heraus, dass der Goldene Schnitt auch in der Struktur der menschlichen Lunge existiert.

Die Besonderheit der Bronchien, aus denen die Lunge eines Menschen besteht, liegt in ihrer Asymmetrie. Die Bronchien bestehen aus zwei Hauptluftwegen, einer (links) ist länger und der andere (rechts) kürzer.

* Es wurde festgestellt, dass sich diese Asymmetrie in den Ästen der Bronchien fortsetzt, in allen kleineren Atemwegen. Außerdem ist das Verhältnis der Länge der kurzen und langen Bronchien auch der Goldene Schnitt und beträgt 1:1,618.

Die Struktur des goldenen orthogonalen Vierecks und der Spirale.

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Teilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment zum größeren Teil in derselben Weise verhält wie der größere Teil selbst zum kleineren; oder mit anderen Worten, der kleinere Abschnitt verhält sich zum größeren wie der größere zu allem.

In der Geometrie wurde ein Rechteck mit diesem Seitenverhältnis als goldenes Rechteck bezeichnet. Seine langen Seiten stehen in einem Verhältnis von 1,168:1 zu den kurzen Seiten.

Das goldene Rechteck hat auch viele erstaunliche Eigenschaften. Das goldene Rechteck hat viele ungewöhnliche Eigenschaften. Indem wir vom goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden, dessen Seite gleich der kleineren Seite des Rechtecks ist, erhalten wir wieder ein kleineres goldenes Rechteck. Dieser Prozess kann unendlich fortgesetzt werden. Wenn wir die Quadrate weiter abschneiden, erhalten wir immer kleinere goldene Rechtecke. Außerdem werden sie in einer logarithmischen Spirale angeordnet sein, was für mathematische Modelle natürlicher Objekte (zB Schneckenhäuser) wichtig ist.

Der Pol der Spirale liegt am Schnittpunkt der Diagonalen des anfänglichen Rechtecks und der ersten abgeschnittenen Vertikalen. Außerdem liegen die Diagonalen aller nachfolgenden abnehmenden goldenen Rechtecke auf diesen Diagonalen. Natürlich gibt es auch ein goldenes Dreieck.

Der englische Designer und Kosmetiker William Charlton erklärte, dass die Menschen Spiralformen für das Auge angenehm finden und sie seit Jahrtausenden verwenden, und erklärte dies wie folgt:

"Wir mögen das Aussehen einer Spirale, weil wir sie visuell leicht erkennen können."

In der Natur.

* Die der Spiralstruktur zugrunde liegende Regel des Goldenen Schnitts findet sich in der Natur sehr oft in Kreationen von unvergleichlicher Schönheit. Die offensichtlichsten Beispiele - eine Spiralform kann in der Anordnung von Sonnenblumenkernen und in Tannenzapfen, in Ananas, Kakteen, der Struktur von Rosenblättern usw. gesehen werden;

* Botaniker haben festgestellt, dass sich bei der Anordnung von Blättern auf einem Ast, Sonnenblumenkernen oder Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe deutlich manifestiert und daher das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert wird;

Der allmächtige Herr hat für jede seiner Schöpfungen ein besonderes Maß festgelegt und eine Verhältnismäßigkeit gegeben, die durch Beispiele in der Natur bestätigt wird. Man kann viele Beispiele anführen, wenn der Wachstumsprozess lebender Organismen streng nach der Form einer logarithmischen Spirale abläuft.

Alle Federn in einer Spirale haben die gleiche Form. Mathematiker haben herausgefunden, dass selbst bei einer Vergrößerung der Federn die Form der Spirale unverändert bleibt. Es gibt keine andere Form in der Mathematik, die die gleichen einzigartigen Eigenschaften wie eine Spirale hat.

Die Struktur von Muscheln.

Wissenschaftler, die die innere und äußere Struktur der Schalen von Weichtieren untersuchten, die auf dem Meeresgrund leben, erklärten:

„Die Innenfläche der Schalen ist makellos glatt, und die Außenfläche ist ganz mit Rauheit und Unregelmäßigkeiten bedeckt. Die Molluske befand sich in der Schale und dafür musste die Innenfläche der Schale perfekt glatt sein. Die äußeren Ecken – Biegungen von Die Schale erhöht ihre Festigkeit, Härte und erhöht somit ihre Festigkeit. Perfektion und die auffallende Rationalität der Struktur der Schale (Schnecke) begeistern. Die Spiralidee der Muscheln ist eine perfekte geometrische Form und verblüfft in ihrer polierten Schönheit ."

Bei den meisten Schnecken mit Gehäuse wächst das Gehäuse in einer logarithmischen Spirale. Es besteht jedoch kein Zweifel, dass diese unvernünftigen Kreaturen nicht nur keine Ahnung von der logarithmischen Spirale haben, sondern nicht einmal die einfachsten mathematischen Kenntnisse haben, um sich eine Spiralhülle zu erstellen..

Aber wie konnten diese unintelligenten Wesen dann die ideale Wachstums- und Existenzform in Form einer Spiralhülle bestimmen und für sich selbst wählen? Könnten diese Lebewesen, die von der Wissenschaft primitive Lebensformen genannt werden, errechnen, dass die logarithmische Schalenform ideal für ihre Existenz wäre?

Natürlich nicht, denn ohne Vernunft und Wissen lässt sich ein solcher Plan nicht realisieren. Aber weder primitive Mollusken noch die unbewusste Natur, die jedoch einige Wissenschaftler als Schöpfer des Lebens auf der Erde (?!)

Der Versuch, den Ursprung solch primitivster Lebensformen durch ein zufälliges Zusammentreffen irgendwelcher natürlicher Umstände zu erklären, ist zumindest absurd. Es ist klar, dass dieses Projekt eine bewusste Schöpfung ist.

Der Biologe Sir D'Arkey Thompson nennt diese Art von Muschelwachstum "Gnomenwachstumsform".

Sir Thompson macht diesen Kommentar:

„Es gibt kein einfacheres System als das Wachstum von Muscheln, die proportional wachsen und sich ausdehnen und dabei die gleiche Form behalten. Das Erstaunlichste ist, dass die Muschel wächst, aber niemals ihre Form ändert.“

Der wenige Zentimeter im Durchmesser messende Nautilus ist das auffälligste Beispiel für den gnomartigen Wuchs. S. Morrison beschreibt diesen Prozess des Nautilus-Wachstums, der selbst für den menschlichen Verstand ziemlich schwer planbar zu sein scheint:

„Im Inneren der Nautilus-Muschel gibt es viele Abteilungen – Räume mit Perlmutt-Trennwänden, und die Muschel selbst im Inneren ist eine Spirale, die sich von der Mitte aus ausdehnt. Wenn die Nautilus wächst, wächst ein weiterer Raum vor der Muschel, aber bereits größer als der vorherige und die Trennwände des restlichen Raums sind mit einer Perlmuttschicht bedeckt, sodass sich die Spirale ständig proportional ausdehnt.

Hier sind nur einige Arten von Spiralhüllen, die entsprechend ihrer wissenschaftlichen Bezeichnung eine logarithmische Wachstumsform haben:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Alle entdeckten fossilen Muschelreste hatten auch eine entwickelte Spiralform.

Die logarithmische Wachstumsform findet sich in der Tierwelt aber nicht nur bei Weichtieren. Auch die Hörner von Antilopen, Wildziegen, Widdern und anderen ähnlichen Tieren entwickeln sich spiralförmig nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts.

Der Goldene Schnitt im menschlichen Ohr.

Im menschlichen Innenohr befindet sich ein Organ Cochlea ("Schnecke"), das die Funktion der Übertragung von Schallschwingungen erfüllt. Diese knochenähnliche Struktur ist mit Flüssigkeit gefüllt und ebenfalls in Form einer Schnecke angelegt, die eine stabile logarithmische Spiralform = 73º 43' enthält.

Hörner und Stoßzähne von Tieren, die sich in Form einer Spirale entwickeln.

Die Stoßzähne von Elefanten und ausgestorbenen Mammuts, die Krallen von Löwen und die Schnäbel von Papageien sind logarithmische Formen und ähneln der Form einer Achse, die dazu neigt, sich in eine Spirale zu verwandeln. Spinnen spinnen ihre Netze immer in einer logarithmischen Spirale. Die Struktur von Mikroorganismen wie Plankton (Spezies Globigerinae, Planorbis, Vortex, Terebra, Turitellae und Trochida) hat ebenfalls eine Spiralform.

Der Goldene Schnitt im Aufbau von Mikrowelten.

Geometrische Formen sind nicht nur auf ein Dreieck, Quadrat, Fünf- oder Sechseck beschränkt. Kombinieren wir diese Figuren auf verschiedene Weise miteinander, dann erhalten wir neue dreidimensionale geometrische Formen. Beispiele hierfür sind Figuren wie ein Würfel oder eine Pyramide. Daneben gibt es aber auch andere dreidimensionale Figuren, denen wir im Alltag nicht begegnet sind und deren Namen wir vielleicht zum ersten Mal hören. Unter solchen dreidimensionalen Figuren kann man ein Tetraeder (eine regelmäßige vierseitige Figur), ein Oktaeder, ein Dodekaeder, ein Ikosaeder usw. nennen. Der Dodekaeder besteht aus 13 Fünfecken, der Ikosaeder aus 20 Dreiecken. Mathematiker bemerken, dass diese Zahlen mathematisch sehr einfach zu transformieren sind und ihre Transformation gemäß der Formel der logarithmischen Spirale des Goldenen Schnitts erfolgt.

Im Mikrokosmos sind nach goldenen Proportionen gebaute dreidimensionale logarithmische Formen allgegenwärtig. . Beispielsweise haben viele Viren eine dreidimensionale geometrische Form eines Ikosaeders. Der vielleicht bekannteste dieser Viren ist der Adeno-Virus. Die Proteinhülle des Adenovirus besteht aus 252 Einheiten von Proteinzellen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. In jeder Ecke des Ikosaeders befinden sich 12 Einheiten von Proteinzellen in Form eines fünfeckigen Prismas, und von diesen Ecken gehen stachelartige Strukturen aus.

Der Goldene Schnitt in der Struktur von Viren wurde erstmals in den 1950er Jahren entdeckt. Wissenschaftler des Londoner Birkbeck College A.Klug und D.Kaspar. 13 Der Polyo-Virus war der erste, der eine logarithmische Form zeigte. Es wurde festgestellt, dass die Form dieses Virus der des Rhino 14-Virus ähnlich ist.

Es stellt sich die Frage, wie bilden Viren solch komplexe dreidimensionale Formen, deren Struktur den goldenen Schnitt enthält, der selbst mit unserem menschlichen Verstand ziemlich schwer zu konstruieren ist? Der Entdecker dieser Virenformen, der Virologe A. Klug, kommentiert:

„Dr. Kaspar und ich haben gezeigt, dass für eine kugelförmige Hülle eines Virus die Ikosaeder-Symmetrie die optimalste Form ist.“ und ein detailliertes Erklärungsschema, während unbewusste Viren selbst eine so komplexe Hülle aus elastischen, flexiblen Protein-Zelleinheiten konstruieren. "

Diese Harmonie ist beeindruckend in ihrer Größenordnung ...

Hallo Freunde!

Haben Sie schon einmal etwas über Göttliche Harmonie oder den Goldenen Schnitt gehört? Haben Sie schon einmal darüber nachgedacht, warum uns etwas perfekt und schön erscheint, aber etwas abstößt?

Wenn nicht, dann sind Sie erfolgreich bei diesem Artikel gelandet, denn darin werden wir den Goldenen Schnitt besprechen, herausfinden, was er ist, wie er in der Natur und beim Menschen aussieht. Lassen Sie uns über ihre Prinzipien sprechen, herausfinden, was die Fibonacci-Reihe ist und vieles mehr, einschließlich des Konzepts eines goldenen Rechtecks und einer goldenen Spirale.

Ja, es gibt viele Bilder, Formeln in dem Artikel, schließlich ist der Goldene Schnitt auch Mathematik. Aber alles ist in einer ziemlich einfachen Sprache klar beschrieben. Und am Ende des Artikels erfahren Sie auch, warum alle Katzen so sehr lieben =)

Was ist der Goldene Schnitt?

Wenn auf einfache Weise, dann ist der Goldene Schnitt eine bestimmte Proportionsregel, die Harmonie schafft?. Das heißt, wenn wir die Regeln dieser Proportionen nicht verletzen, erhalten wir eine sehr harmonische Komposition.

Die umfassendste Definition des Goldenen Schnitts besagt, dass der kleinere Teil mit dem größeren zusammenhängt, wie der größere mit dem Ganzen.

Aber ansonsten ist der Goldene Schnitt Mathematik: Er hat eine bestimmte Formel und eine bestimmte Zahl. Viele Mathematiker betrachten es im Allgemeinen als eine Formel göttlicher Harmonie und nennen es „asymmetrische Symmetrie“.

Der Goldene Schnitt hat unsere Zeitgenossen seit den Zeiten des antiken Griechenlands erreicht, es gibt jedoch die Meinung, dass die Griechen selbst den Goldenen Schnitt bereits von den Ägyptern ausspioniert haben. Denn viele Kunstwerke des alten Ägypten sind eindeutig nach den Kanonen dieser Proportion gebaut.

Es wird angenommen, dass Pythagoras der Erste war, der das Konzept des Goldenen Schnitts eingeführt hat. Die Werke von Euklid sind bis heute erhalten (er baute regelmäßige Fünfecke mit dem Goldenen Schnitt, weshalb ein solches Fünfeck „golden“ genannt wird), und die Zahl des Goldenen Schnitts ist nach dem antiken griechischen Architekten Phidias benannt. Das heißt, dies ist unsere Zahl "phi" (bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben φ) und sie ist gleich 1,6180339887498948482 ... Natürlich wird dieser Wert gerundet: φ \u003d 1,618 oder φ \u003d 1,62 und in Prozent , der Goldene Schnitt sieht aus wie 62 % und 38 %.

Was ist die Einzigartigkeit dieses Anteils (und glauben Sie mir, es existiert)? Versuchen wir zunächst, das Beispiel eines Segments zu verstehen. Wir nehmen also ein Segment und teilen es so in ungleiche Teile, dass sein kleinerer Teil mit dem größeren zusammenhängt, wie der größere mit dem Ganzen. Ich verstehe, es ist noch nicht ganz klar, was was ist, ich werde versuchen, es am Beispiel von Segmenten klarer zu veranschaulichen:

Wir nehmen also ein Segment und teilen es in zwei andere, sodass sich das kleinere Segment a auf das größere Segment b bezieht, genauso wie sich das Segment b auf das Ganze bezieht, also auf die gesamte Linie (a + b). Mathematisch sieht das so aus:

Diese Regel funktioniert auf unbestimmte Zeit, Sie können die Segmente beliebig lange aufteilen. Und sehen Sie, wie einfach es ist. Hauptsache einmal verstanden und fertig.

Aber jetzt schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an, das sehr oft vorkommt, da der Goldene Schnitt auch als goldenes Rechteck dargestellt wird (dessen Seitenverhältnis φ \u003d 1,62 ist). Dies ist ein sehr interessantes Rechteck: Wenn wir ein Quadrat davon „abschneiden“, erhalten wir wieder ein goldenes Rechteck. Und so unendlich oft. Sehen:

Aber Mathematik wäre nicht Mathematik, wenn es keine Formeln in ihr gäbe. So, Freunde, jetzt wird es etwas "schmerzhaft". Ich habe die Lösung des Goldenen Schnitts unter dem Spoiler versteckt, es gibt viele Formeln, aber ich möchte den Artikel nicht ohne sie verlassen.

Fibonacci-Reihe und Goldener Schnitt

Wir erschaffen und beobachten weiterhin die Magie der Mathematik und des Goldenen Schnitts. Im Mittelalter gab es einen solchen Freund - Fibonacci (oder Fibonacci, sie schreiben überall anders). Er liebte Mathe und Probleme, er hatte auch ein interessantes Problem mit der Fortpflanzung von Kaninchen =) Aber darum geht es nicht. Er entdeckte eine Zahlenfolge, die Zahlen darin heißen „Fibonacci-Zahlen“.

Die Sequenz selbst sieht so aus:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... und so weiter bis ins Unendliche.

In Worten, die Fibonacci-Folge ist eine solche Folge von Zahlen, bei der jede nachfolgende Zahl gleich der Summe der beiden vorherigen ist.

Und was ist mit dem Goldenen Schnitt? Jetzt werden Sie sehen.

Fibonacci-Spirale

Um die ganze Verbindung zwischen der Fibonacci-Zahlenreihe und dem Goldenen Schnitt zu sehen und zu fühlen, müssen Sie sich die Formeln noch einmal ansehen.

Mit anderen Worten, ab dem 9. Glied der Fibonacci-Folge beginnen wir, die Werte des Goldenen Schnitts zu erhalten. Und wenn wir uns dieses ganze Bild vorstellen, werden wir sehen, wie die Fibonacci-Folge Rechtecke erzeugt, die dem goldenen Rechteck immer näher kommen. Hier ist eine solche Verbindung.

Kommen wir nun zur Fibonacci-Spirale, sie wird auch „Goldene Spirale“ genannt.

Die goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale, deren Wachstumsfaktor φ4 ist, wobei φ der goldene Schnitt ist.

Im Allgemeinen ist der Goldene Schnitt aus mathematischer Sicht ein ideales Verhältnis. Aber da fangen ihre Wunder gerade erst an. Fast die ganze Welt unterliegt den Prinzipien des Goldenen Schnitts, diese Proportion wurde von der Natur selbst geschaffen. Sogar Esoteriker und solche sehen darin eine zahlenmäßige Macht. Aber wir werden in diesem Artikel definitiv nicht darüber sprechen. Um also nichts zu verpassen, können Sie Site-Updates abonnieren.

Der Goldene Schnitt in Natur, Mensch, Kunst

Bevor wir beginnen, möchte ich einige Ungenauigkeiten klären. Erstens ist die Definition des Goldenen Schnitts in diesem Zusammenhang nicht ganz korrekt. Tatsache ist, dass der eigentliche Begriff „Schnitt“ ein geometrischer Begriff ist, der immer eine Ebene bezeichnet, nicht aber eine Folge von Fibonacci-Zahlen.

Und zweitens haben sich die Zahlenreihen und das Verhältnis zueinander natürlich zu einer Art Schablone entwickelt, die auf alles angewendet werden kann, was verdächtig erscheint, und sich sehr freuen, wenn es Zufälle gibt, aber der gesunde Menschenverstand sollte es trotzdem nicht verloren sein.

Doch „in unserem Reich war alles durcheinander“ und das eine wurde zum Synonym für das andere. Im Allgemeinen geht die Bedeutung davon also nicht verloren. Und jetzt zum Geschäft.

Sie werden überrascht sein, aber der goldene Schnitt, oder besser gesagt die Proportionen, die ihm möglichst nahe kommen, ist fast überall zu sehen, sogar im Spiegel. Glauben Sie nicht? Beginnen wir damit.

Wissen Sie, als ich zeichnen lernte, erklärten sie uns, wie einfach es ist, das Gesicht, den Körper und so weiter einer Person zu gestalten. Alles muss relativ zu etwas anderem berechnet werden.

Alles, absolut alles ist proportional: Knochen, unsere Finger, Handflächen, Abstände im Gesicht, der Abstand ausgestreckter Arme zum Körper und so weiter. Aber auch das ist noch nicht alles, der innere Aufbau unseres Körpers, auch er, wird gleichgesetzt oder fast gleichgesetzt mit der Formel des Goldenen Schnitts. Hier sind die Abstände und Proportionen:

von Schultern über Scheitel bis Kopfgröße = 1:1.618

vom Nabel bis zum Scheitel bis zum Segment von den Schultern bis zum Scheitel = 1: 1,618

vom Bauchnabel bis zu den Knien und von den Knien bis zu den Füßen = 1:1,618

vom Kinn bis zum äußersten Punkt der Oberlippe und von dort bis zur Nase = 1:1,618

Ist das nicht erstaunlich!? Harmonie in ihrer reinsten Form, innen wie außen. Und deshalb erscheinen uns manche Menschen auf einer unbewussten Ebene nicht schön, selbst wenn sie einen kräftigen Körper, samtige Haut, schöne Haare, schöne Augen und so weiter und so fort haben. Aber wie auch immer, die geringste Verletzung der Proportionen des Körpers, und das Aussehen „schneidet die Augen schon leicht“.

Kurz gesagt, je schöner uns ein Mensch erscheint, desto näher kommen seine Proportionen dem Ideal. Und das kann übrigens nicht nur dem menschlichen Körper zugeschrieben werden.

Der Goldene Schnitt in der Natur und seine Phänomene

Ein klassisches Beispiel für den Goldenen Schnitt in der Natur ist die Schale der Molluske Nautilus pompilius und der Ammonit. Aber das ist noch nicht alles, es gibt noch viele weitere Beispiele:

in den Locken des menschlichen Ohrs können wir eine goldene Spirale sehen;

seine eigene (oder nahe bei ihr) in den Spiralen, entlang derer sich die Galaxien drehen;

und im DNA-Molekül;

Das Zentrum einer Sonnenblume ist entlang der Fibonacci-Reihe angeordnet, Zapfen, die Mitte von Blumen, Ananas und viele andere Früchte wachsen.

Freunde, es gibt so viele Beispiele, dass ich das Video einfach hier lasse (es ist etwas niedriger), um den Artikel nicht mit Text zu überladen. Denn wenn Sie dieses Thema ausgraben, können Sie in einen solchen Dschungel eintauchen: Schon die alten Griechen haben bewiesen, dass das Universum und im Allgemeinen der gesamte Weltraum nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts geplant wurde.

Sie werden überrascht sein, aber diese Regeln finden sich sogar im Ton wieder. Sehen:

Der höchste Schallpunkt, der Schmerzen und Unbehagen in unseren Ohren verursacht, liegt bei 130 Dezibel.

Wir teilen den Anteil 130 durch den Goldenen Schnitt φ = 1,62 und erhalten 80 Dezibel – der Klang eines menschlichen Schreis.

Wir dividieren weiter proportional und erhalten, sagen wir, die normale Lautstärke der menschlichen Sprache: 80 / φ = 50 Dezibel.

Nun, das letzte Geräusch, das wir dank der Formel erhalten, ist das angenehme Geräusch eines Flüsterns = 2,618.

Nach diesem Prinzip ist es möglich, die optimal-behagliche, minimale und maximale Anzahl von Temperatur, Druck, Feuchtigkeit zu bestimmen. Ich habe es nicht überprüft, und ich weiß nicht, wie wahr diese Theorie ist, aber sie klingt beeindruckend.

Absolut in allem Lebendigen und Nichtlebenden kann man die höchste Schönheit und Harmonie ablesen.

Die Hauptsache ist, sich nicht davon hinreißen zu lassen, denn wenn wir etwas in etwas sehen wollen, werden wir es sehen, auch wenn es nicht da ist. Ich habe zum Beispiel auf das Design der PS4 geachtet und dort den goldenen Schnitt gesehen =) Allerdings ist diese Konsole so cool, dass es mich nicht wundern würde, wenn der Designer da wirklich schlau wäre.

Der Goldene Schnitt in der Kunst

Es ist auch ein sehr großes und umfangreiches Thema, das gesondert betrachtet werden sollte. Hier möchte ich nur einige grundlegende Punkte hervorheben. Das Bemerkenswerteste ist, dass viele Kunstwerke und architektonische Meisterwerke der Antike (und nicht nur) nach den Prinzipien des Goldenen Schnitts hergestellt werden.

Ägyptische und Maya-Pyramiden, Notre Dame de Paris, griechischer Parthenon und so weiter.

In den musikalischen Werken von Mozart, Chopin, Schubert, Bach und anderen.

In der Malerei (es ist dort deutlich zu sehen): Alle berühmtesten Gemälde berühmter Künstler werden unter Berücksichtigung der Regeln des Goldenen Schnitts hergestellt.

Diese Prinzipien finden sich in Puschkins Gedichten und in der Büste der schönen Nofretete wieder.

Auch heute noch werden die Regeln des Goldenen Schnitts zum Beispiel in der Fotografie angewendet. Nun, natürlich in allen anderen Künsten, einschließlich Kinematographie und Design.

Goldene Katzen von Fibonacci

Und schließlich, über Katzen! Haben Sie sich jemals gefragt, warum alle Katzen so sehr lieben? Sie haben das Internet übernommen! Katzen sind überall und es ist wunderbar =)

Und die Sache ist, dass Katzen perfekt sind! Glauben Sie nicht? Jetzt werde ich es Ihnen mathematisch beweisen!

Sehen? Das Geheimnis ist gelüftet! Kätzchen sind perfekt in Bezug auf Mathematik, Natur und das Universum =)

*Ich scherze natürlich. Nein, Katzen sind wirklich ideal) Aber niemand hat sie mathematisch gemessen, denke ich.

Darauf im Allgemeinen alles, Freunde! Wir sehen uns in den nächsten Artikeln. Viel Erfolg!

P.S. Bilder von medium.com.

EINLEITUNG

Die großartigen Kreationen griechischer Bildhauer: Phidias, Poliktetas, Myron, Praxiteles gelten seit langem als Maßstäbe für die Schönheit des menschlichen Körpers, Beispiele für harmonischen Körperbau. Kann man die Schönheit eines Menschen mit Formeln und Gleichungen ausdrücken? Die Mathematik gibt eine bejahende Antwort. Bei der Erstellung ihrer Kreationen verwendeten griechische Meister das Prinzip des Goldenen Schnitts. Der Goldene Schnitt ist seit vielen Jahrhunderten ein Maß für Harmonie in der Natur und in Kunstwerken. Es wurde von Menschen der Antike und der Renaissance studiert. B XichIm 10. und 20. Jahrhundert erwachte das Interesse am Goldenen Schnitt mit neuer Kraft.

Entsprechen moderne Menschen jenen idealen Proportionen der Struktur des menschlichen Körpers, die uns seit der Antike überliefert sind? Diese Frage versuchen wir in der Forschungsarbeit „Der Goldene Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers“ zu beantworten.

Zielsetzung : das Studium des Goldenen Schnitts als idealer Anteil der Struktur des menschlichen Körpers.

Aufgaben:

Literatur zum Thema Forschungsarbeit studieren;

den goldenen Schnitt definieren, sich mit seiner Konstruktion, Anwendung und Geschichte vertraut machen;

mathematische Muster in den Proportionen des menschlichen Körpers lernen;

lernen, den goldenen Schnitt in den Proportionen von Menschen zu finden;

Bestimmen Sie die Übereinstimmung der Proportionen des menschlichen Körpers mit dem Goldenen Schnitt.

Hypothese : Die Proportionen jedes menschlichen Körpers entsprechen dem Goldenen Schnitt.

Studienobjekt: Mensch.

Gegenstand der Studie : der goldene Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers.

Forschungsmethoden : Messen der Größe und Körperteile des Menschen, Verarbeitung der mit mathematischen Methoden erhaltenen Ergebnisse mit Microsoft Office Excel 2007, vergleichende Analyse der erhaltenen Messungen mit dem Wert des Goldenen Schnitts.

Kapitel 1 Der Goldene Schnitt

Pythagoras zeigte, dass ein Segment der Einheitslänge AB (Abbildung 1.1). kann in zwei Teile geteilt werden, so dass das Verhältnis des größeren Teils (AC=x) zum kleineren Teil (CB=1-x) gleich dem Verhältnis des gesamten Segments (AB=1) zum größeren Teil ist ( AC=x):

Abbildung 1.1 - Die Aufteilung des Segments in das extreme und durchschnittliche Verhältnis

Durch die Eigenschaft der Proportion .. x 2=1-x,

x2 + x-1 = 0. (ein)

Die positive Wurzel dieser Gleichung ist, also sind die Verhältnisse im reduzierten Anteil: =≈1.61803 jeweils.

Eine solche Unterteilung (Punkt C) nennt PythagorasGoldene Teilung , oder Goldener Schnitt , Euklid - Unterteilung in extremes und durchschnittliches Verhältnis , und Leonardo da Vinci - der heute allgemein akzeptierte Begriff"goldener Schnitt" .

Solo dieser Abschnitt - es ist so proportionalist die Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, mitin der das ganze Segment mit dem größeren Teil in Beziehung steht wie der größere Teil mit dem kleineren; oder mit anderen Worten, der kleinere Abschnitt verhält sich zum größeren wie der größere zu allem.

Der Wert des Goldenen Schnitts wird normalerweise mit dem Buchstaben F bezeichnet. Dies geschieht zu Ehren von Phidias, dem Schöpfer unsterblicher skulpturaler Werke.

Ф=1.618033988749894. Das ist der Wert des Goldenen Schnitts mit 15 Nachkommastellen. Ein genauerer Wert von F ist in Anhang A zu sehen.

Da die Lösung von Gleichung (1) das Verhältnis zwischen den Längen der Teile des Segments ist, hängt sie nicht von der Länge des Segments selbst ab. Mit anderen Worten, der Wert des Goldenen Schnitts hängt nicht von der ursprünglichen Länge ab.

1.2 Konstruktion und Anwendung des Goldenen Schnitts

Betrachten Sie die geometrische Konstruktion des Goldenen Schnitts (Abbildung 1.2) anhand eines rechtwinkligen Dreiecks DAB, in dem die Seiten AB undAChaben folgende Längen: AB = 1, AC= 1/2. Lassen Sie uns einen Bogen vom Mittelpunkt des Kreises C durch Punkt A ziehen, bis er sich mit dem Segment CB schneidet, wir erhalten den PunktD. Dann passieren wir den PunktDein Bogen mit dem Mittelpunkt des Kreises B bis zum Schnittpunkt mit der Strecke AB. Wir haben den gewünschten Punkt E erhalten, indem wir die Strecke AB im Goldenen Schnitt teilen.

Abbildung 1.2 - Geometrischer Aufbau des Goldenen Schnitts

Sogar Pythagoras und die Pythagoräer verwendeten den Goldenen Schnitt, um einige regelmäßige Polyeder zu bauen - einen Tetraeder, einen Würfel, einen Oktaeder, einen Dodekaeder, einen Ikosaeder.

Euklid im 3. Jahrhundert BC e. verwendet in Anlehnung an die Pythagoreer in seinen „Prinzipien“ den goldenen Schnitt, um regelmäßige (goldene) Fünfecke zu konstruieren, deren Diagonalen ein Pentagramm bilden.

Im Pentagramm in Abbildung 1.3 teilen die Schnittpunkte der Diagonalen diese im Goldenen Schnitt, also AB / CB =CB/ DB = DB/ CD .

Abbildung 1.3 - Pentagramm

Arithmetisch werden die Segmente des Goldenen Schnitts als unendlicher irrationaler Bruch ausgedrückt. AC=0,618…, CB=0,382…. In der Praxis wird gerundet: 0,62 und 0,38. Wenn das Segment AB als 100 Teile angenommen wird (Abbildung 1.4), dann beträgt der größere Teil des Segments 62 und der kleinere 38 Teile.

Diese Methode zur Konstruktion des Goldenen Schnitts wird von Künstlern verwendet. Wenn die Höhe oder Breite des Bildes in 100 Teile geteilt wird, beträgt das größere Segment des Goldenen Schnitts 62 und das kleinere 38 Teile. Diese drei Größen erlauben es uns, eine Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts zu konstruieren. 100, 62, 38, 24, 14, 10 - das ist eine arithmetisch ausgedrückte Reihe von Werten des Goldenen Schnitts.

Abbildung 1.4 - Goldene Schnittlinien und Diagonalen im Bild

Die Proportionen des Goldenen Schnitts wurden von Künstlern oft nicht nur beim Zeichnen der Horizontlinie, sondern auch bei den Verhältnissen zwischen anderen Bildelementen verwendet.

Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer fanden den Goldenen Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers. Der antike griechische Bildhauer Phidias verwendete es nicht nur in seinen Statuen, sondern auch bei der Gestaltung des Parthenon-Tempels. Stradivari verwendete dieses Verhältnis bei der Herstellung seiner berühmten Geigen.

Die Form, organisiert nach den Proportionen des Goldenen Schnitts, erweckt den Eindruck von Schönheit, Anmut, Konsistenz, Proportionalität, Harmonie..

Die Lehre vom Goldenen Schnitt wurde in Mathematik, Physik, Chemie, Malerei, Ästhetik, Biologie, Musik und Technologie weit verbreitet.

1.3 Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (VIin. BC.). Doch lange vor der Geburt von Pythagoras verwendeten die alten Ägypter und Babylonier die Prinzipien des Goldenen Schnitts in Architektur und Kunst. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten.

Auch Platon (427 ... 347 v. Chr.) wusste um die Goldene Teilung. Sein Dialog „Timaeus“ widmet sich den mathematisch-ästhetischen Anschauungen der Schule des Pythagoras und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.

Antike Bildhauer und Architekten verwendeten in ihren Kunstwerken häufig die Zahl 1,62 oder Zahlenverhältnisse in ihrer Nähe. Zum Beispiel gibt es in der Fassade des antiken griechischen Tempels des Parthenon goldene Proportionen.

In der uns überlieferten antiken Literatur wird der Goldene Schnitt erstmals in den „Anfängen“ von Euklid (325 ... 265 v. Chr.) im zweiten Buch erwähnt, und im sechsten Buch die Definition und Konstruktion der Teilung es ist das segment im extremen und mittleren verhältnis gegeben.

Im Zeitalter der italienischen Renaissance entsteht eine neue Welle der Leidenschaft für den Goldenen Schnitt. Der Goldene Schnitt wird in den Rang des ästhetischen Hauptprinzips erhoben. Leonardo da Vinci nennt sie "Abschnittaute“, woher der Begriff „Goldener Schnitt“ oder „Goldene Zahl“ stammt. Luca Pacioli schreibt 1509 den ersten Aufsatz über den Goldenen Schnitt mit dem Titel „DeGöttlichkeitProportioniert“, was „Über die göttliche Proportion“ bedeutet.“ Johannes Kepler, der als erster die Bedeutung dieser Proportion in der Botanik erwähnte, spricht von einem „unschätzbaren Schatz, als einem der beiden Schätze der Geometrie“ und nennt es „AbschnittGöttlichkeit" (Göttlicher Schnitt). Der niederländische Komponist Jacob Obrecht (1430-1505) macht in seinen musikalischen Kompositionen, die mit "einer von einem brillanten Architekten geschaffenen Kathedrale" verglichen werden, ausgiebig Gebrauch vom Goldenen Schnitt.

Nach der Renaissance geriet der Goldene Schnitt fast zwei Jahrhunderte lang in Vergessenheit. Mitte des 19. Jahrhunderts. Der deutsche Wissenschaftler Zeising unternimmt den Versuch, das universelle Gesetz der Proportionalität zu formulieren und entdeckt gleichzeitig den Goldenen Schnitt wieder. In seinen Ästhetischen Untersuchungen (1855) zeigt er, dass sich dieses Gesetz in den Proportionen des menschlichen Körpers (Abb. 1.5) und in den Körpern jener Tiere manifestiert, deren Formen sich durch Anmut auszeichnen. Im Körper antiker Statuen und gut gebauter Menschen ist der Nabel der Punkt, an dem die Körpergröße im Goldenen Schnitt geteilt wird.

Abbildung 1.5 - Zahlenverhältnisse im menschlichen Körper (nach Zeising)

Zeising findet in einigen Tempeln (insbesondere im Parthenon), in den Anordnungen von Mineralien, Pflanzen und in den Klangakkorden der Musik proportionale Beziehungen nahe dem Goldenen Schnitt.

Ende des 19. Jahrhunderts. Der deutsche Psychologe Fechner führt eine Reihe von psychologischen Experimenten durch, um den ästhetischen Eindruck von Rechtecken mit unterschiedlichen Seitenverhältnissen zu bestimmen. Die Experimente erwiesen sich als äußerst günstig für den Goldenen Schnitt.

Im XX Jahrhundert. Das Interesse am Goldenen Schnitt wird mit neuer Kraft wiedergeboren. In der ersten Hälfte des Jahrhunderts formulierte der Komponist L. Sabaneev das allgemeine Gesetz des rhythmischen Gleichgewichts und begründete gleichzeitig den Goldenen Schnitt als eine bestimmte Norm der Kreativität, als Norm der ästhetischen Konstruktion eines musikalischen Werks. G. E. Timerding, M. Gika, G. D. Grimm schreiben über die Bedeutung des Goldenen Schnitts in Natur und Kunst.

Die Ursprünge der mathematischen Theorie biologischer Populationen gehen auf das „Kaninchenproblem“ zurück, das mit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen verbunden ist. Muster, die durch Fibonacci-Zahlen und den Goldenen Schnitt beschrieben werden, finden sich in vielen Phänomenen der physikalischen und biologischen Welt ("magische" Kerne in der Physik, Gehirnrhythmen usw.).

Der sowjetische Mathematiker Yu.V. Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mit Hilfe von Fibonacci-Zahlen. Akademiker GV Tsereteli entdeckt den Goldenen Schnitt in Shota Rustavelis Gedicht „Der Ritter im Pantherfell“. Es gibt elegante Methoden zur Lösung von Problemen in der Suchtheorie und Programmiertheorie, die auf Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt basieren.

In den letzten Jahrzehnten haben sich die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt unerwartet als Grundlage der digitalen Technologie erwiesen.

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wenden sich Vertreter fast aller Wissenschaften und Künste den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt zu (Mathematik, Physik, Chemie, Botanik, Biologie, Psychologie, Poesie, Architektur, Malerei, Musik), weil der Goldene Schnitt gilt ist der Schlüssel zum Verständnis der Geheimnisse der Perfektion in Natur und Kunst.

Kapitel 2 Ideale Proportionen des menschlichen Körpers

Seit Tausenden von Jahren versuchen Menschen, mathematische Muster in den Proportionen des menschlichen Körpers zu finden, insbesondere eines gut gebauten, harmonischen Menschen.

Die alten Griechen, die den Goldenen Schnitt als Ausdruck der Harmonie in der Natur betrachteten, schufen Statuen von Menschen in Übereinstimmung mit der Regel des Goldenen Schnitts. INXIXJahrhunderts bestätigte Professor Zeising dies durch Vermessung der bis heute erhaltenen antiken griechischen Statuen. Zeising identifizierte sogar Teile des menschlichen Körpers, die seiner Meinung nach dem Goldenen Schnitt am ehesten entsprechen. Wenn Sie den menschlichen Körper nach der Regel des goldenen Schnitts teilen, verläuft die Linie im Nabel. Die Schulterlänge bezieht sich auf die Gesamtlänge des Arms, ebenfalls nach dem Goldenen Schnitt. Das Verhältnis von Gesichtsteilen, die Länge der Fingerglieder und viele andere Körperteile fallen unter die Regel des Goldenen Schnitts (Abbildung 2.1).

Abbildung 2.1 - Der goldene Schnitt in der Struktur des menschlichen Körpers

Der Goldene Schnitt nimmt einen führenden Platz in den künstlerischen Kanons von Leonardo da Vinci und Dürer ein. In Übereinstimmung mit diesen Kanons entspricht der Goldene Schnitt der Teilung des Körpers in zwei ungleiche Teile durch die Taillenlinie.

Die Höhe des Gesichts (bis zu den Haarwurzeln) hängt mit dem vertikalen Abstand zwischen den Bögen der Augenbrauen und der Unterseite des Kinns zusammen, ebenso wie der Abstand zwischen der Unterseite der Nase und der Unterseite des Kinns der Abstand zwischen den Lippenwinkeln und der Unterseite des Kinns, dieses Verhältnis entspricht dem Goldenen Schnitt.

Menschliche Finger bestehen aus drei Fingergliedern: Haupt-, Mittel- und Nagel. Die Länge der Hauptglieder aller Finger mit Ausnahme des Daumens ist gleich der Summe der Längen der anderen beiden Glieder, und die Längen aller Glieder jedes Fingers sind nach der goldenen Regel miteinander verbunden Verhältnis.

Leonardo wandte wissenschaftliche Erkenntnisse über die Proportionen des menschlichen Körpers auf die Schönheitstheorien von Pacioli und Vitruv an. In der Zeichnung von Leonardo „Der vitruvianische Mensch“ ist eine männliche Figur in einen Kreis und ein Quadrat eingeschrieben (Abbildung 2.2).

Abbildung 2.2 – „Vitruvianischer Mensch“ von Leonardo da Vinci

Ein Quadrat und ein Kreis haben unterschiedliche Mittelpunkte. Die menschlichen Genitalien sind das Zentrum des Quadrats, und der Nabel ist das Zentrum des Kreises. Die idealen Proportionen des menschlichen Körpers in einem solchen Bild entsprechen dem Verhältnis zwischen der Seite eines Quadrats und dem Radius eines Kreises: dem Goldenen Schnitt.

„Vitruvian Man“ stellt die ungefähren Proportionen des Körpers eines gewöhnlichen Erwachsenen dar, was seit der Zeit des antiken Griechenlands als künstlerischer Kanon für die Darstellung einer Person verwendet wurde. Die Anteile werden wie folgt formuliert:

Menschliche Größe \u003d Armspannweite (der Abstand zwischen den Fingerspitzen der gespreizten Arme) \u003d 8 Handflächen \u003d 6 Fuß \u003d 8 Gesichter \u003d 1,618 multipliziert mit der Höhe des Nabels (Abstand vom Nabel zum Boden).

Eine der höchsten Errungenschaften der klassischen griechischen Kunst kann die von Poliktetom geschaffene Statue „Dorifor“ („Speerträger“) sein (Abbildung 2.3).

Abbildung 2.3 – Die Statue von „Dorifor“ des griechischen Bildhauers Polyktetos

Die Figur eines jungen Mannes drückt die Einheit des Schönen und des Tapferen aus, die den griechischen Kunstprinzipien zugrunde liegt. Breite Schultern entsprechen fast der Körperhöhe, die halbe Körperhöhe fällt auf die Schambeinfuge, die Kopfhöhe ist achtmal so hoch wie die Körperhöhe und die Position des Nabels am Körper des Athleten entspricht dem Goldenen Schnitt.

Mitte des 19. Jahrhunderts fand der deutsche Wissenschaftler Zeising heraus, dass der gesamte menschliche Körper als Ganzes und jedes seiner einzelnen Glieder durch ein mathematisch strenges System proportionaler Beziehungen verbunden sind, unter denen der Goldene Schnitt den wichtigsten Platz einnimmt. Nachdem er Tausende von menschlichen Körpern vermessen hatte, fand er heraus, dass der Goldene Schnitt der Durchschnittswert ist, der für alle gut entwickelten Körper charakteristisch ist. Der durchschnittliche Anteil des männlichen Körpers liegt bei 13/8 = 1,625 und der weibliche bei 8/5 = 1,60, bei einem Neugeborenen beträgt der Anteil 2, im Alter von 13 Jahren 1,6 und im Alter von 21 ist es dem Männchen gleich (Abbildung 2.4).

Abbildung 2.4 - Vergleich der Proportionen von Kopf und Körper einer Person verschiedene Entwicklungsstadien

Belgischer Mathematiker L. QueteletXIXJahrhundert stellte fest, dass ein Mensch nur dann ideal ist, wenn er das arithmetische Mittel berechnet. 1871 seine Studien über die Proportionen der Körper der Bewohner Europas bestätigten die idealen Proportionen voll und ganz.

Kapitel 3 Der goldene Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers. Lernen

Wir haben die Hypothese getestet, dass die Proportionen jedes menschlichen Körpers dem Goldenen Schnitt entsprechen.

Für die Studie waren Schüler der 1., 5., 9. und 11. Klasse sowie Lehrer unterschiedlichen Alters (von 25 bis 53 Jahren) beteiligt.

Im menschlichen Körper ist der Nabel der Punkt, an dem die Körpergröße im goldenen Schnitt geteilt wird. Daher haben wir die Körpergröße von Menschen gemessen (ein), Nabelhöhe ( B) und der Abstand vom Kopf zum Bauchnabel (C). Dann wurden im Programm Microsoft Office Excel 2007 die Verhältnisse dieser Mengen gefunden (ein/ B, B/ C) für jede Person separat,Cmittlerer Wertdh für eine Gruppe gleichaltriger Personen (ein/ B), verglich die Verhältnisse mit dem Wert des Goldenen Schnitts (1,618) und wählte Personen mit dem Goldenen Schnitt aus (Anhang B).

Wir haben die Ergebnisse der Studie in Form einer Tabelle dargestellt (Tabelle 3.1).

Tabelle 3.1 - Übereinstimmung der Proportionen des menschlichen Körpers mit dem Goldenen Schnitt bei Menschen unterschiedlichen Alters.

Klasse

Personenzahl

Das resultierende arithmetische Mittel

Einstellung

Die Anzahl der Menschen mit dem Goldenen Schnitt

1,701

1,652

1,640

1,622

Lehrer

1,630

11. Klasse und Lehrer

1,626

Visuell können diese Daten in Form von Diagrammen dargestellt werden (Anlagen C und D).

Basierend auf den Ergebnissen der Studie kann Folgendes getan werdenSchlussfolgerungen:

Daher ist der Goldene Schnitt in den Proportionen des menschlichen Körpers der Durchschnittswert, dem sich die Proportionen des Körpers eines Erwachsenen annähern. Nur bei manchen Menschen entsprechen die Körperproportionen dem Goldenen Schnitt.

FAZIT

Der Goldene Schnitt ist seit vielen Jahrhunderten ein Maß für Harmonie in der Natur und in Kunstwerken. Die Lehre vom Goldenen Schnitt wurde in Mathematik, Physik, Chemie, Malerei, Ästhetik, Biologie, Musik und Technologie weit verbreitet.

Ziel der Forschungsarbeit war es, den Goldenen Schnitt als idealen Anteil der Struktur des menschlichen Körpers zu untersuchen.

Um das Ziel zu erreichen, haben wir die Literatur zum Thema Forschungsarbeit studiert, uns mit dem Goldenen Schnitt, seiner Konstruktion, Anwendung und Geschichte vertraut gemacht; erlernte mathematische Muster in den Proportionen des menschlichen Körpers; gelernt, den goldenen Schnitt in den Proportionen von Menschen zu finden (Anhang E).

Im praktischen Teil haben wir die Entsprechung der Proportionen des menschlichen Körpers zum Goldenen Schnitt ermittelt, folgende Hypothese getestet: Die Proportionen jedes menschlichen Körpers entsprechen dem Goldenen Schnitt.

Um die Hypothese zu testen, haben wir die Größe von Personen und einigen Körperteilen von Schülern der Klassen 1, 5, 9, 11 und Lehrern unterschiedlichen Alters gemessen.Cmittlerer Wertdh für eine Gruppe gleichaltriger Personen, die erhaltenen Verhältnisse mit dem Wert des Goldenen Schnitts verglichen und Personen mit dem Goldenen Schnitt ausgewählt.

Basierend auf den Ergebnissen der Studie können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:

mit zunehmendem Alter verändern sich die Proportionen des Körpers;

die Proportionen des menschlichen Körpers unterscheiden sich sogar bei Menschen gleichen Alters;

bei Erwachsenen nähern sich die Körperproportionen dem Goldenen Schnitt, entsprechen ihm aber selten;

Die idealen Proportionen des Goldenen Schnitts gelten nicht für alle Menschen.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

Vasyutinskiy, N.A. Goldener Anteil / N.A. Vasyutinskiy - M.: Mol. Wächter, 1990. - 238 S.

Kovalev, F. V. Goldener Schnitt in der Malerei: Lehrbuch. Zulage / F.V. Kovalev. - K.: Gymnasium. Hauptverlag, 1989.-143 S.

Lukaschewitsch, I.G. Mathematik in der Natur / I.G. Lukaschewitsch. -Minsk, Weißrussland. assoziiert. "Wettbewerb", 2013. - 48s.

Welt der Mathematik: in 40 Bänden. T.1: Fernando Corbalan. Goldener Schnitt. Mathematische Sprache der Schönheit / Übersetzung aus dem Englischen. - M.: De Agostini, 2014. - 160er.

Stakhov, A.P. Codes des Goldenen Schnitts / A.P. Stachow. - M.: "Radio und Kommunikation", 1984. - 152s.

Timerding, G.E. Goldener Schnitt / G. E. Timerding; ed. G. M. Fikhtengolts; pro. aus dem Deutschen - Petrograd: Wissenschaftlicher Buchverlag, 1924. - 86p.

Urmantsev, Yu.A. Symmetrie der Natur und die Natur der Symmetrie / Yu.A. Urmantsev. - M., Gedanken, 1974. - 229s.

Ich kenne die Welt: Kinderlexikon: Mathematik / Hrsg.-comp. A. P. Savin und andere; Künstler A. V. Kardashuk und andere - M .: AST: Astrel, 2002. - 475 p.

ANHANG A

DIE BEDEUTUNG DES GOLDENEN VERHÄLTNISSES

Abbildung A.1 - Genauerer Wert von Ф

ANHANG B

ÜBEREINSTIMMUNG DER PROPORTIONEN DES MENSCHLICHEN KÖRPERS AUF DEN GOLDENEN SCHNITT

Tabelle B.1 - Ergebnisse der Vermessung von Personen und Berechnung der arithmetischen Mittelwerte der Körperproportionen für Schüler der Klassen 1, 5, 9, 11 und Lehrer

Klasse

Höhe(n)

Höhe der Bauchlinie (b)

Abstand vom Bauchnabel zum Kopf (s)

a/b

b/c

Arithmetisches Mittel (ein/ B)

Goldener Schnitt

1,618

Andrejew Wladislav

130

1,688

1,453

Grabzewitsch Daria

125

1,760

1,315

Wawanowa Daria

127

1,716

1,396

Sacharenko Rodion

124

1,676

1,480

1 Klasse

Kaporikow Daniel

133

1,684

1,463

1,701

Karsakow Sachar

120

1,690

1,449

Lazowy Maxim

128

1,707

1,415

Lasotskaja Anna

125

1,645

1,551

Morgunova Maria

116

1,758

1,320

Pawljuschtschenko Egor

129

1,675

1,481

Rakowski Alexander

128

1,707

1,415

Bakhareva Ksenia

146

1,678

1,475

Bytkovsky Maxim

145

1,706

1,417

Shdanovich Victoria

146

1,698

1,433

5. Klasse

Klimova Xenia

155

1,632

1,583

1,652

Lärchenko Evgeniya

158

1,681

1,469

Listwjagov Sergej

143

1,644

1,554

Muchina Anastasia

144

1,636

1,571

Paderina Anastasia

151

1,659

1,517

Protschukanow Denis

151

1,641

1,559

Savkina Anastasia

140

1,609

1,642

Simakowitsch Alevtina

137

1,631

1,585

Surganova Daria

150

1,630

1,586

Smoljarow Vladislav

142

1,651

1,536

Tichinski Alexander

144

1,636

1,571

Awerkow Alexej

171

104

1,644

1,552

Fortsetzung von Tabelle B.1

Lehrer

Bulai E.I.

unterrichtet.

163

101

1,614

1,629

1,630

Volkova O. V.

unterrichtet.

1,64

1,563

Grinevskaya N.A.

unterrichtet.

1,644

1,554

Grinchenko E.B.

unterrichtet.

1,636

1,571

Kireenko A.S.

unterrichtet.

175

108

1,62 0

1,612

Stukalov D.M.

unterrichtet.

1,634

1,578

11. Klasse und Lehrer

Tsedrik N.E.

unterrichtet.

1,646

1,548

Shkorkina N. N.

unterrichtet.

1,602

1,661

1,626

Jazenko W. N.

unterrichtet.

1,604

1,656

ANHANG B

ERGEBNISSE DER BERECHNUNG DER KÖRPERPROPORTIONEN BEI MENSCHEN VERSCHIEDENEN ALTERS

Abbildung B.1 - Die Ergebnisse der Berechnung der Körperproportionen der Schüler der 1. Klasse

Abbildung B.2 - Die Ergebnisse der Berechnung der Körperproportionen für Schüler der 5. Klasse

Abbildung B.3 - Die Ergebnisse der Berechnung der Körperproportionen von Schülern der 9. Klasse

Abbildung B.4 - Die Ergebnisse der Berechnung der Körperproportionen für Schüler der 11. Klasse

Abbildung B.5 – Die Ergebnisse der Berechnung der Körperproportionen für Lehrer

ANHANG D

VERGLEICH DER KÖRPERPROPORTIONEN VON MENSCHEN VERSCHIEDENEN ALTERS

MIT DEM WERT DES GOLDENEN VERHÄLTNISSES

Abbildung D.1 - Vergleich der durchschnittlichen Körperproportionen von Menschen unterschiedlichen Alters mit dem Wert des Goldenen Schnitts

ANHANG D

Phasen der Arbeit an der Forschung

ein BC)

Abbildung E.1 – Literaturstudie

ein BC)

d) e)

Abbildung D.2 – Messung von Schülern und Lehrern

Abbildung D.3 - Eingabe und Verarbeitung empfangener Daten

Der goldene Schnitt in der menschlichen Anatomie / Forens.Ru - 2008.

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A:B=B:C,

C:B=B:A.

Segmente Goldener Schnitt korrelieren miteinander unter Verwendung eines unendlichen irrationalen Bruchs 0,618 ... wenn C als Einheit nehmen EIN= 0,382. Die Zahlen 0,618 und 0,382 sind die Koeffizienten der Fibonacci-Folge, auf der die wichtigsten geometrischen Figuren aufgebaut sind.

Beispielsweise ist ein Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 0,618 und 0,382 ein goldenes Rechteck. Schneidet man davon ein Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck übrig. Dieser Prozess kann unendlich fortgesetzt werden.

Ein weiteres bekanntes Beispiel ist der fünfzackige Stern, bei dem jede der fünf Linien die andere an der Stelle des Goldenen Schnitts teilt und die Enden des Sterns goldene Dreiecke sind.

Der goldene Schnitt und der menschliche Körper

Wenn der Abstand zwischen den Füßen einer Person und dem Nabelpunkt = 1 ist, dann ist die Größe der Person = 1,618.

Der Abstand von der Höhe der Schulter bis zum Scheitel und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618

Der Abstand von der Nabelspitze zum Scheitel und von der Schulterhöhe zum Scheitel beträgt 1:1,618

Der Abstand vom Nabelpunkt zu den Knien und von den Knien zu den Füßen beträgt 1:1,618

Der Abstand von der Kinnspitze zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618

Der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie bis zum Scheitel beträgt 1:1,618

Gesichtshöhe / Gesichtsbreite

Der Mittelpunkt der Verbindung der Lippen zum Nasenansatz / Länge der Nase.

Gesichtshöhe / Abstand von der Kinnspitze zum Mittelpunkt des Lippenübergangs

Mundbreite / Nasenbreite

Nasenbreite / Abstand zwischen den Nasenlöchern

Pupillenabstand / Augenbrauenabstand

Das exakte Vorhandensein des goldenen Anteils im Gesicht eines Menschen ist das Schönheitsideal für das menschliche Auge.

Verhältnis Mittelfinger/kleiner Finger = Goldener Schnitt

Es sollte auch beachtet werden, dass bei den meisten Menschen der Abstand zwischen den Enden der gespreizten Arme gleich der Körpergröße ist.