Der goldene Schnitt der Meister der Malerei. Göttliche Harmonie: Was ist der goldene Schnitt in einfachen Worten

Tibaykina Julia Vitalievna

(Ich bin Forscher. Entdeckungsgeschichte)

Tibaykina Julia Vitalievna

Stawropol-Territorium, dankbar

MKOU "Sekundarschule Nr. 9", Klasse 9

Der Goldene Schnitt in der Malerei

Projektübersicht.

Projektpass.

1. Titel: „Goldener Schnitt in der Malerei“.

2. Projektleiter: Tibaikina N.A.

3. Das Projekt wird im Rahmen des Wahlpflichtfachs „Lösung von Problemen erhöhter Komplexität in Algebra und Geometrie“ durchgeführt.

4. Das Projekt berührt die Fragestellungen der Geschichte der Mathematik, Psychologie, Philosophie, Soziologie.

5. Entworfen für 14–15-Jährige, Klassen 9–11.

6. Projekttyp: Forschung und Information. Innen ist kühl, kurzfristig.

7. Zweck des Projekts: Untersuchung der Bedeutung der Mathematik im menschlichen Leben, ihrer Auswirkungen auf menschliche Qualitäten, Steigerung des Interesses an Mathematik und ihrem Studium. Entwickeln Sie allgemeine Lernfähigkeiten.

8. Projektziele:

1. Studieren Sie die Ziele des Mathematikunterrichts.

2. Machen Sie sich mit den Grundlagen der mathematischen Bildung vertraut.

3. Beantworten Sie die Fragen: Warum brauchen wir Mathematik? was kann mathematik jedem einzelnen geben?

4. Studieren Sie die Aussagen von Wissenschaftlern, Politikern, Philosophen über die Bedeutung der Mathematik.

5. Entwicklung der Fähigkeiten zur unabhängigen Arbeit mit dem Text, mit dem Fragebogen, Kommunikationsfähigkeiten, die Fähigkeit, die erhaltenen Daten zu analysieren und zu systematisieren.

6. Bilden Sie die Techniken des kritischen Denkens, die Fähigkeit zur Bewertung und Selbsteinschätzung, um Schlussfolgerungen zu ziehen.

9. Angestrebte Produkte des Projekts: Studentenprojekt „Goldener Schnitt“, Erstellung einer Präsentation.

10. Arbeitsschritte:

1. Definition der Arbeitszwecke und Wege ihrer Verwirklichung, Arbeitsformen und -methoden.

2. Sammlung von Informationen zum Thema.

3. Arbeit in kreativen Gruppen, Ergebnisaufbereitung, Zwischenergebnisse.

4. Vorbereitung und Durchführung des Runden Tisches.

5. Diskussion der Ergebnisse, Vorbereitung einer Präsentation.

Dieses Projekt veranschaulicht die Anwendung der Mathematik in der Praxis, führt historische Informationen ein, zeigt die Verbindung zu anderen Wissensgebieten auf und betont die ästhetischen Aspekte der zu untersuchenden Themen.

Das Projekt bildet Kompetenzen im Bereich des selbstständigen Handelns, basierend auf der Assimilation von Möglichkeiten, sich Wissen aus verschiedenen Informationsquellen anzueignen. Im Bereich der bürgerlichen und sozialen Aktivitäten, im Bereich der sozialen und arbeitsbezogenen Aktivitäten, im häuslichen Bereich, im Bereich der kulturellen und Freizeitaktivitäten.

Das Projekt erweitert den Umfang des mathematischen Wissens der Schüler: führt die Schüler in den Goldenen Schnitt und die damit verbundenen Zusammenhänge ein, entwickelt eine ästhetische Wahrnehmung mathematischer Fakten. Zeigt die Anwendung der Mathematik nicht nur in den Naturwissenschaften, sondern auch in einem Bereich der humanitären Sphäre wie der Kunst. Helfen, den Grad des eigenen Interesses an dem Fach zu erkennen und die Möglichkeiten seiner Bewältigung unter dem Gesichtspunkt der Zukunft einzuschätzen (Möglichkeiten aufzeigen, das erworbene Wissen im zukünftigen Beruf als Künstler, Architekt, Biologe, Bauingenieur anzuwenden) .

Die grundlegende Frage: "Kann Algebra Harmonie messen?" Problemfragen: Was ist eines der Grundprinzipien der Natur? Gibt es einen goldenen Schnitt? Welches Verhältnis ist der „Goldene Schnitt“? Was ist der ungefähre Wert des Goldenen Schnitts? Erfüllen Dinge, die dem Auge gefallen, den Goldenen Schnitt? Wo findet man den Goldenen Schnitt?

Der „Goldene Schnitt“ zielt auf die Integration von Wissen, die Bildung allgemeiner kultureller Kompetenz, die Schaffung von Ideen über die Mathematik als Wissenschaft, die aus den Bedürfnissen der menschlichen Praxis entstanden ist und sich aus ihnen entwickelt. Im Grundkurs Mathematik wird dem Goldenen Schnitt wenig Zeit gewidmet, nur die mathematische Komponente vorgestellt und der allgemeine kulturelle Aspekt am Rande erwähnt. Daher wird darin die Mathematik sowohl als Element der allgemeinen Kultur der Menschheit, die die theoretische Grundlage der Kunst darstellt, als auch als Element der allgemeinen Kultur eines Individuums dargestellt. Gleichzeitig ist der Studiengang auf ein Grundwissen mit sehr begrenzten mathematischen Inhalten ausgelegt. Der Leitansatz, der bei der Entwicklung des Studiengangs verfolgt wurde: auf dem umfangreichen Material von der Antike bis zur Gegenwart die Wege der Wechselwirkung und gegenseitigen Bereicherung zweier großer Bereiche der menschlichen Kultur - Wissenschaft und Kunst - aufzuzeigen; Vorstellungen über die Anwendungsgebiete der Mathematik erweitern; zeigen, dass die Grundgesetze der Mathematik in Architektur, Musik, Malerei etc. prägend sind. Dieses Projekt soll Schülern helfen, Mathematik im Kontext von Kultur und Geschichte darzustellen. Dieses Projekt kann ein zusätzlicher Faktor bei der Bildung einer positiven Motivation für das Studium der Mathematik sowie beim Verständnis der Schüler für das philosophische Postulat über die Einheit der Welt und das Bewusstsein für die Position zur Universalität mathematischen Wissens werden. Es wird davon ausgegangen, dass die folgenden Fähigkeiten zu Ergebnissen der Bewältigung dieser Lehrveranstaltung durch die Studierenden werden können: 1) Anwendung mathematischer Kenntnisse, algebraischer und geometrischer Materialien zur Beschreibung und Lösung von Problemen der zukünftigen beruflichen Tätigkeit; 2) Anwendung erworbener geometrischer Darstellungen, algebraischer Transformationen zur Beschreibung und die Muster zu analysieren, die auf der ganzen Welt existieren; 3) Verallgemeinerungen vorzunehmen und Muster zu entdecken, die auf der Analyse bestimmter Beispiele basieren, zu experimentieren, Hypothesen aufzustellen und die notwendigen Überprüfungen vorzunehmen.

Es wird erwartet, dass die Studierenden als Ergebnis dieses Kurses die folgenden Fähigkeiten erwerben:

1) mathematisches Wissen, algebraisches und geometrisches Material verwenden, um Probleme der zukünftigen beruflichen Tätigkeit zu beschreiben und zu lösen;

2) die erworbenen geometrischen Darstellungen und algebraischen Transformationen anwenden, um die Muster zu beschreiben und zu analysieren, die in der umgebenden Welt existieren;

3) auf der Grundlage der Analyse bestimmter Beispiele Verallgemeinerungen anstellen und Muster entdecken, experimentieren, Hypothesen aufstellen und die notwendigen Überprüfungen vornehmen.

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Vorschau:

Geometrie hat zwei Schätze, einer davon ist

der Satz des Pythagoras, und der andere ist die Teilung des Segments in den Mittelwert und

extreme Haltung. Die erste kann durch das Maß dargestellt werden

Gold; der zweite ähnelt schmerzlich einem Edelstein.

Johannes Kepler

1. Einleitung.

Die Relevanz der Forschung.

Beim Studium von Schulfächern ist es möglich, die Beziehung zwischen den in verschiedenen Wissensgebieten angenommenen Konzepten und den in der natürlichen Umwelt stattfindenden Prozessen zu berücksichtigen; den Zusammenhang zwischen mathematischen Gesetzen und Eigenschaften und Entwicklungsmustern der Natur herausfinden. Seit jeher suchen die Menschen bei der Beobachtung der umgebenden Natur und der Schaffung von Kunstwerken nach Mustern, die es ihnen ermöglichen, Schönheit zu definieren. Aber ein Mensch hat nicht nur schöne Gegenstände geschaffen, sie nicht nur bewundert, er hat sich zunehmend die Frage gestellt: Warum ist dieser Gegenstand schön, er mag ihn, und ein anderer, sehr ähnlicher, er mag ihn nicht, er kann nicht schön genannt werden? Dann wurde er vom Schöpfer des Schönen zu seinem Forscher. Bereits im antiken Griechenland wurde das Studium der Essenz der Schönheit, des Schönen, zu einem eigenen Wissenschaftszweig - der Ästhetik - geformt. Das Studium der Schönheit ist Teil des Studiums der Harmonie der Natur geworden, ihrer grundlegenden Organisationsgesetze.

Die Große Sowjetische Enzyklopädie gibt die folgende Definition des Begriffs "Harmonie":

„Harmonie ist die Proportionalität der Teile und des Ganzen, die Verschmelzung der verschiedenen Bestandteile eines Objekts zu einem einzigen organischen Ganzen. In der Harmonie offenbaren sich innere Ordnung und Maß des Seins nach außen.“

Von den vielen Proportionen, die Menschen seit langem verwenden, um harmonische Werke zu schaffen, gibt es eine, die einzige und unnachahmliche, die einzigartige Eigenschaften hat. Dieser Anteil wurde anders genannt - "golden", "göttlich", "goldener Schnitt", "goldene Zahl". Die klassischen Erscheinungsformen des Goldenen Schnitts sind Haushaltsgegenstände, Bildhauerei und Architektur, Mathematik, Musik und Ästhetik. Im vorigen Jahrhundert hat sich mit der Erweiterung des Wissensgebietes der Menschheit die Zahl der Gebiete, in denen das Phänomen des Goldenen Schnitts beobachtet wird, dramatisch erhöht. Dies sind Biologie und Zoologie, Wirtschaftswissenschaften, Psychologie, Kybernetik, Theorie komplexer Systeme und sogar Geologie und Astronomie.

Das Prinzip des „Goldenen Schnitts“ hat bei mir und meinen Kollegen großes Interesse geweckt. Das Interesse an diesem alten Anteil lässt entweder nach oder flammt mit neuer Kraft auf. Aber tatsächlich treffen wir jeden Tag auf den Goldenen Schnitt, aber wir bemerken es nicht immer. Im Schulkurs Geometrie haben wir den Begriff der Proportionen kennengelernt. Ich wollte mehr über die Anwendung dieses Konzepts nicht nur in der Mathematik, sondern auch in unserem täglichen Leben erfahren.

Gegenstand der Studie:

Darstellung des „Goldenen Schnitts“ in Aspekten menschlicher Aktivität:

1.Geometrie; 2. Malerei; 3. Architektur; 4. Wildtiere (Organismen); 5. Musik und Poesie.

Hypothese:

Ein Mensch begegnet in seiner Tätigkeit ständig Objekten, die den Goldenen Schnitt als Grundlage verwenden.

Aufgaben:

1. Betrachten Sie das Konzept des "Goldenen Schnitts" (ein wenig über die Geschichte), die algebraische Feststellung des "Goldenen Schnitts", die geometrische Konstruktion des "Goldenen Schnitts".

2. Betrachten Sie den "goldenen Schnitt" als harmonische Proportion.

3. Die Anwendung dieser Konzepte in der Welt um mich herum zu sehen.

Ziele :

1. zeigen auf dem Material von der Antike bis zur Gegenwart den WegInteraktion und gegenseitige Bereicherung zweier großer Bereiche der menschlichen Kultur - Wissenschaft und Kunst;

2. das Verständnis für die Anwendungsgebiete der Mathematik erweitern;

3. zeigen, dass die Grundgesetze der Mathematik in Architektur, Musik, Malerei etc. prägend sind.

Arbeitsmethoden:

Sammlung und Analyse von Informationen.

Eigenständiges Forschen (einzeln und in der Gruppe).

Verarbeitung der erhaltenen Informationen und deren visuelle Darstellung in Form von Tabellen und Diagrammen.

2.Goldener Schnitt. Anwendung des Goldenen Schnitts in der Mathematik.

2.1 Goldener Schnitt. Allgemeine Information.

In Mathematik Anteil (lat. Anteil)heißt die Gleichheit zweier Relationen: a:b = c:d.

Betrachten wir ein Segment. Es kann auf unendlich viele Arten durch einen Punkt in zwei Teile geteilt werden, aber nur in einem Fall erhält man den Goldenen Schnitt.

Goldener Schnitt - dies ist eine solche proportionale Teilung des Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment zum größeren Teil in der gleichen Weise verhält wie der größere Teil selbst zum kleineren; oder anders gesagt, das kleinere Segment verhält sich zum größeren wie das größere zu allem:

a:b = b:c oder c:b = b:a. (Abb.1)

Lassen Sie uns herausfinden, wie der Goldene Schnitt ausgedrückt wird. Dazu wählen wir ein beliebiges Segment und nehmen dessen Länge als eins. (Abb.2)

Lassen Sie uns dieses Segment in zwei ungleiche Teile aufteilen. Lassen Sie uns die meisten von ihnen mit "x" bezeichnen. Dann ist der kleinere Teil gleich 1.

Wie Sie wissen, ist bei einer Proportion das Produkt der äußersten Terme gleich dem Produkt der mittleren und wir schreiben diese Proportion in die Form: x um 2 = (1-x)∙1

Die Lösung des Problems wird auf die Gleichung reduziert x2 + x-1 = 0 , die Länge des Segments wird als positive Zahl ausgedrückt, also aus den beiden Wurzeln x 1 = und x 2 = sollte eine positive Wurzel ziehen.
= 0,6180339.. ist eine irrationale Zahl.

Daher das Verhältnis der Länge des kleineren Segments zur Länge des größeren

Segment und das Verhältnis des größeren zur Länge des gesamten Segments beträgt 0,62. So ein Verhältnis

Nähen und wird golden sein.

Die resultierende Zahl wird durch den Buchstaben gekennzeichnet J . Dies ist der erste Buchstabe im Namen des großen antiken griechischen Bildhauers Phidias (geboren zu Beginn des 5. Jahrhunderts v. Chr.), der in seinen Werken häufig den goldenen Schnitt verwendete. Wenn ≈ 0,62, dann 1-x ≈ 0,38, also sind die Teile des "goldenen Schnitts" ungefähr 62 % und 38 % des gesamten Segments.

2.2. Geschichte des „Goldenen Schnitts“

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde Pythagoras , altgriechischer Philosoph und Mathematiker (6. Jh. v. Chr.). Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts legten Archäologen in Saqqara (Ägypten) eine Krypta frei, in der die Überreste eines altägyptischen Architekten namens Khesi-Ra begraben waren. In der Literatur findet sich dieser Name oft als Khesira. Es wird angenommen, dass Khesi-Ra ein Zeitgenosse von Imhotep war, der während der Regierungszeit von Pharao Djoser (27. Jahrhundert v. Chr.) lebte, da die Siegel des Pharaos in der Krypta gefunden wurden. Aus der Krypta wurden neben verschiedenen materiellen Werten Holzbretter mit prächtigen Schnitzereien entnommen.(Abb.5)

In der uns überlieferten antiken Literatur wird die goldene Teilung erstmals in den „Anfängen“ erwähnt. Euklid . Im 2. Buch der „Anfänge“ wird die geometrische Konstruktion der Goldenen Teilung angegeben. Nach Euklid beschäftigten sich Hypsicles (2. Jh. v. Chr.), Pappus (3. Jh. n. Chr.) und andere mit der Goldenen Teilung, die sie im mittelalterlichen Europa aus arabischen Übersetzungen von Euklids „Anfängen“ kennenlernten. Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Golden Division wurden eifersüchtig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt. Während der Renaissance stieg das Interesse an der goldenen Teilung unter Wissenschaftlern und Künstlern im Zusammenhang mit ihrer Verwendung, sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur.Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, sah, dass italienische Künstler viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen hatten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, aber zu dieser Zeit erschien ein Mönchsbuch Luca Pacioli , und Leonardo gab sein Unternehmen auf. Luca Pacioli war KünstlerschülerPiero del la Francesca, der zwei Bücher geschrieben hat, von denen eines "Über die Perspektive in der Malerei" hieß. Er gilt als Begründer der darstellenden Geometrie. 1509 in Venedig wurde Luca Paciolis Divine Proportion mit brillant ausgeführten Illustrationen veröffentlicht, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt.

2.4. Goldener Schnitt und verwandte Verhältnisse.

Berechnen wir die Zahl, die invers zur Zahl φ ist:

1:()== ∙=

Der Kehrwert wird normalerweise als bezeichnet F \u003d \u003d 1,6180339 .. ≈ 1,618.

Nummer j ist die einzige positive Zahl, die sich umkehrt, wenn man sie addiert.

Achten wir auf die erstaunliche Invarianz des Goldenen Schnitts:

F 2 =() 2 ==== und F+1=

Solch signifikante Transformationen wie die Potenzierung konnten die Essenz dieses einzigartigen Anteils, seine "Seele", nicht zerstören.

2.4.1. Goldenes Rechteck.

Ein Rechteck, dessen Seiten im Goldenen Schnitt liegen, d.h.

das Verhältnis von Breite zu Länge ergibt die Zahl φ, genanntgoldenes Rechteck-

niemand.

Die Objekte um uns herum geben Beispiele für das goldene Rechteck:

Löffel vieler Bücher, Zeitschriften, Notizbücher, Postkarten, Gemälde, Tischdecken,

Fernsehbildschirme usw. annähernd so groß wie ein goldenes Rechteck.

Eigenschaften des Goldenen Rechtecks.

Wenn aus einem goldenen Rechteck mit Seiten a und b (wobei a > b ) schneide ein Quadrat mit einer Seite ab in , dann bekommst du ein Rechteck mit Seiten in und a-in das ist auch Gold. Wenn wir diesen Vorgang fortsetzen, erhalten wir jedes Mal ein kleineres Rechteck, aber wieder golden.
Der oben beschriebene Prozess führt zu einer Folge sogenannter rotierender Quadrate. Wenn wir die gegenüberliegenden Ecken dieser Quadrate mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir eine Kurve, die „goldene Spirale“ genannt wird. Der Punkt, an dem es sich abzuwickeln beginnt, wird Pol genannt. (Abb.7 und Abb.8)

2.4.2. "Goldenes Dreieck".

Dies sind gleichschenklige Dreiecke, bei denen das Verhältnis der Länge der Seitenfläche zur Länge der Basis F ist. Eine der bemerkenswerten Eigenschaften eines solchen Dreiecks ist, dass die Längen der Winkelhalbierenden an seiner Basis gleich der Länge von sind die Basis selbst. (Abb.9)

2.4.3. Pentagramm.

Ein wunderbares Beispiel für den "Goldenen Schnitt" ist ein regelmäßiges Fünfeck - konvex und sternförmig: (Abb. 10 und Abb. 11)

Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks teilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Ihre Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt sie proportional zum goldenen Schnitt. Das Sternfünfeck wird Pentagramm genannt (vom Wort "pente" - fünf).

Regelmäßige Polygone erregten lange vor Archimedes die Aufmerksamkeit der antiken griechischen Wissenschaftler. Die Pythagoräer wählten den fünfzackigen Stern als Talisman, er galt als Symbol der Gesundheit und diente als Erkennungszeichen.

4.2. Der Goldene Schnitt und die Bildwahrnehmung.

Die Fähigkeit des menschlichen visuellen Analysators, Objekte, die nach dem Algorithmus des Goldenen Schnitts gebaut wurden, als schön, attraktiv und harmonisch zu unterscheiden, ist seit langem bekannt. Der goldene Schnitt vermittelt das Gefühl des vollkommensten einheitlichen Ganzen. Das Format vieler Bücher folgt dem Goldenen Schnitt. Es wird für Fenster, Gemälde und Umschläge, Briefmarken, Visitenkarten gewählt. Eine Person weiß vielleicht nichts über die Zahl Ф, aber in der Struktur von Objekten sowie in der Abfolge von Ereignissen findet sie unbewusst Elemente des Goldenen Schnitts.

1. Die Teilnehmer der Studie waren meine Klassenkameraden, die gebeten wurden, Rechtecke mit verschiedenen Proportionen auszuwählen und zu kopieren. (Abb.12)

Aus einer Reihe von Rechtecken wurde vorgeschlagen, diejenigen auszuwählen, die die Probanden in ihrer Form für die schönste hielten. Die Mehrheit der Befragten (23 %) verwies auf eine Figur, deren Seiten im Verhältnis 21:34 zueinander stehen. Benachbarte Figuren (1:2 und 2:3) wurden ebenfalls hoch bewertet, jeweils 15 Prozent der oberen Figur und 17 Prozent der unteren Figur, die Figur von 13:23 - 15%. Alle anderen Rechtecke erhielten jeweils nicht mehr als 10 Prozent der Stimmen. Dieser Test ist nicht nur ein rein statistisches Experiment, sondern spiegelt ein Muster wider, das tatsächlich in der Natur existiert. (Abb.13 und Abb.14)

2. Beim Zeichnen eigener Zeichnungen herrschen Proportionen nahe dem goldenen Schnitt (3:5), sowie in Relation zu 1:2 und 3:4.

5. Goldener Schnitt in der Malerei.

Bereits in der Renaissance entdeckten Künstler, dass jedes Bild bestimmte Punkte hat, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich auf sich ziehen, die sogenannten visuellen Zentren. In diesem Fall spielt es keine Rolle, welches Format das Bild hat - horizontal oder vertikal. Es gibt nur vier solcher Punkte, sie teilen die Größe des Bildes horizontal und vertikal im goldenen Schnitt, d.h. sie befinden sich in einem Abstand von etwa 3/8 und 5/8 von den entsprechenden Rändern der Ebene. (Abb.15)

Diese Entdeckung unter den Künstlern dieser Zeit wurde der "Goldene Schnitt" des Bildes genannt. Um die Aufmerksamkeit auf das Hauptelement des Fotos zu lenken, muss das Bild daher dieses Element mit einem der visuellen Zentren kombinieren.

Nachfolgend finden Sie verschiedene Versionen der nach der Regel des Goldenen Schnitts erstellten Gitter für verschiedene Kompositionsmöglichkeiten.

Grundraster sehen wie in Abb.16 aus.

Die Meister des antiken Griechenlands, die es verstanden, den goldenen Schnitt, der eigentlich sehr einfach ist, bewusst einzusetzen, wandten seine harmonischen Werte geschickt in allen Arten von Kunst an und erreichten eine solche Perfektion in der Struktur der Formen, die ihre sozialen Ideale ausdrücken , die in der Praxis der Weltkunst selten zu finden ist. Die gesamte antike Kultur ging unter dem Zeichen des Goldenen Schnitts vorüber. Dieser Anteil war auch im alten Ägypten bekannt. Ich werde dies am Beispiel solcher Maler zeigen wie: Raphael, Leonardo da Vinci, Shishkin.

LEONARDO von VINCI (1452 - 1519)

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Seine Identität ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, soll es wagen, meine Werke zu lesen.“ Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste Beispiel für Spiegelschrift, das es gibt.Porträt von Monna Lisa (Mona Lisa) Abb.17zog viele Jahre lang die Aufmerksamkeit von Forschern auf sich, die herausfanden, dass die Komposition des Bildes auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind.

„Das letzte Abendmahl“ (Abb. 18)

- das reifste und vollständigste Werk von Leonardo. In diesem Gemälde vermeidet der Meister alles, was den Hauptablauf der von ihm dargestellten Handlung verdecken könnte, er erreicht eine selten überzeugende kompositorische Lösung. In der Mitte platziert er die Christusfigur und hebt sie durch die Öffnung der Tür hervor. Er bewegt die Apostel bewusst von Christus weg, um seinen Platz in der Komposition weiter zu betonen. Schließlich lässt er zum gleichen Zweck alle perspektivischen Linien an einem Punkt direkt über dem Haupt Christi zusammenlaufen. Leonardo teilt seine Schüler in vier symmetrische Gruppen voller Leben und Bewegung ein. Er macht den Tisch klein und das Refektorium - streng und einfach. Dies gibt ihm die Möglichkeit, die Aufmerksamkeit des Betrachters auf Figuren zu lenken, die eine enorme plastische Kraft besitzen. In all diesen Techniken spiegelt sich die tiefe Zielstrebigkeit des kreativen Plans wider, in dem alles abgewogen und berücksichtigt wird ... "

RAPHAEL (1483 - 1520)

Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt ist das Gefühl von Dynamik, Aufregung, vielleicht am ausgeprägtesten in einer anderen einfachen geometrischen Figur - einer Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich nur durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Raphael brachte seine Idee nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von einem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze den Stich Massacre of the Innocents schuf.

Auf Raffaels vorbereitender Skizze sind rote Linien gezeichnet, die vom semantischen Zentrum der Komposition – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen – entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es an sich drückt, des Kriegers mit erhobenem Schwert verlaufen und dann entlang der Figuren der gleichen Gruppe auf der rechten Seite skizzieren. Wenn Sie diese Kurvenstücke auf natürliche Weise mit einer gestrichelten Linie verbinden, erhalten Sie mit sehr hoher Genauigkeit ... eine goldene Spirale!

„Massaker an den Unschuldigen“ Raffael. (Abb.19)

Fazit .

Der Stellenwert des Goldenen Schnitts in der modernen Wissenschaft ist sehr hoch. Dieser Anteil wird in fast allen Wissensgebieten verwendet. Viele berühmte Wissenschaftler und Genies versuchten, es zu studieren: Aristoteles, Herodot, Leonardo Da Vinci, aber niemandem gelang dies vollständig. Dieser Beitrag diskutiert Wege zum Auffinden des "Goldenen Schnitts", zeigt Beispiele aus Wissenschaft und Kunst auf, in denen sich diese Proportion widerspiegelt: Architektur, Musik, Malerei, Skulptur, Natur. In meiner Arbeit wollte ich die Schönheit und Breite des Goldenen Schnitts im wirklichen Leben demonstrieren. Mir wurde klar, dass mir die Welt der Mathematik eines der erstaunlichen Geheimnisse offenbarte, die ich in meiner Arbeit zu enthüllen versuchte, außerdem gehen diese Fragen über den Rahmen des Schulkurses hinaus, sie tragen zur Verbesserung und Entwicklung der wichtigsten Mathematik bei Fähigkeiten.Ich werde meine Forschungen weiter fortsetzen und nach noch mehr interessanten und überraschenden Fakten suchen. Beim Studium des Gesetzes des Goldenen Schnitts ist es jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass es nicht bei allem, was uns in der Natur begegnet, obligatorisch ist, sondern das Ideal des Bauens symbolisiert. Kleine Abweichungen vom Ideal – das macht unsere Welt so vielfältig.

Literaturverzeichnis:

Enzyklopädie für Kinder.- "Avanta +".-Mathematik.-685str.-Moskau.-1998.
Yu.V. Keldysch. – Musikenzyklopädie. - Verlag "Sowjetische Enzyklopädie". - Moskau. – 1974 – S.958.
Kovalev F.V. Goldener Schnitt in der Malerei. K.: Vyscha-Schule, 1989.
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http://sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/zolsech/zolsech2.htm
http://imagemaster.ru/articles/gold_sec.html
Vasyutinsky N. Goldener Anteil, Moskau "Junge Garde", 1990.
Die Zeitung "Mathematik", ein Anhang zum Lehrmittel "Erster September". - M.: Verlag "Erster September", 2007.
Depman I. Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs, - M. Education, 1989 Reis. 2
Abb.4
Reis. 6. Antike Kompasse im goldenen Schnitt
Abbildung 5. Hesi-Ra-Panels.
Abb.7 Abb.8
Abb.9 Abb.10
Abb.11
Abb.12
Abb.13
Abb.14
Abb.15
(Abb.16)
Abb.17
Abb.18

Beschreibung der Präsentation auf einzelnen Folien:

1 Folie

Beschreibung der Folie:
Der Goldene Schnitt in der Malerei Erstellt von: Kharlamova Elizaveta Di-1B Dozentin Khakimova Odina Rasulovna Moskauer Bildungsministerium Carla Fabergé

2 Folie

Beschreibung der Folie:
Manchmal glauben professionelle Künstler, die aufgrund ihrer eigenen schwachen Grundausbildung das Zeichnen und Malen nach der Natur gelernt haben, dass die Kenntnis der Gesetze der Schönheit (insbesondere des Gesetzes des Goldenen Schnitts) die freie intuitive Kreativität beeinträchtigt. Dies ist eine große und tiefe Täuschung vieler Künstler, die keine wahren Schöpfer geworden sind. Die gesamte antike Kultur ging unter dem Zeichen des Goldenen Schnitts vorüber. Das Wissen um die Gesetze des Goldenen Schnitts oder der kontinuierlichen Teilung, wie es einige Forscher der Proportionslehre nennen, hilft dem Künstler, bewusst und frei zu gestalten. Mit den Gesetzen des Goldenen Schnitts können Sie die proportionale Struktur jedes Kunstwerks erforschen, auch wenn es auf der Grundlage kreativer Intuition erstellt wurde. Diese Seite der Sache ist von nicht geringer Bedeutung für das Studium des klassischen Erbes und für die Analyse der Kunstkritik an Werken aller Arten von Kunst.

3 Folie

Beschreibung der Folie:
Ein bisschen Geschichte In der antiken Literatur, die uns überliefert ist, wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids Elementen erwähnt. Und die Entdeckung der Proportionen gehört zu den Verdiensten der altöstlichen Mathematik, während die alte Tradition sie mit dem Namen eines herausragenden Mathematikers des 6. Jahrhunderts v. Chr. verbindet. e. Pythagoras und sein Schüler Nikomachos. Die Bekanntschaft mit dem Goldenen Schnitt spielte eine bedeutende Rolle in der Arbeit antiker Architekten und Bildhauer. Es wird interessant sein, die Regel zu kennen, die in antiken griechischen Statuen deutlich zu sehen ist: Wenn der menschliche Körper gemäß dem Goldenen Schnitt geteilt wird, ist es einfach, die Höhe von Nabel und Ellbogen zu finden, wenn die beiden Segmente erneut geteilt werden in entgegengesetzten Richtungen werden die Höhe des Knies und die untere Halshöhe gefunden.

4 Folie

Beschreibung der Folie:
Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (6. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten.

5 Folie

Beschreibung der Folie:
Leonardo da Vinci Es besteht kein Zweifel, dass Leonardo ein großer Künstler war, dies wurde bereits von seinen Zeitgenossen erkannt, aber seine Persönlichkeit und sein Wirken werden im Dunkeln bleiben, da er der Nachwelt keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen, sondern nur zahlreiche Handschriften hinterlassen hat Skizzen, Notizen, die "über alles auf der Welt" sagen. Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste Beispiel für Spiegelschrift, das es gibt. Der Begriff „Goldener Schnitt“ wurde von Leonardo da Vinci (1452-1519) (genialer Maler, Wissenschaftler und Ingenieur) eingeführt.

6 Folie

Beschreibung der Folie:
Mona Lisa (Gioconda) In diesem Meisterwerk bemerkten die Forscher, dass Leonardos tiefes Wissen über die Struktur des menschlichen Körpers ihm half, dieses mysteriöse Lächeln einzufangen. Sie betonten die Ausdruckskraft einzelner Bild- und Landschaftsteile, ein neuer Begleiter für das Porträt, die Natürlichkeit des Ausdrucks, die Einfachheit der Pose, die Schönheit der Hände. Der Künstler hat etwas Beispielloses getan: Das Bild zeigt Luft, es umhüllt die Figur mit einem transparenten Schleier. Es gibt viele Versionen über die Geschichte dieses Porträts. Hier ist einer von ihnen. Einmal erhielt Leonardo da Vinci vom Bankier Francesco de le Giocondo den Auftrag, ein Porträt einer jungen Frau zu malen, der Frau des Bankiers, Monna Lisa. Die Frau war nicht schön, aber sie war von der Einfachheit und Natürlichkeit ihres Aussehens angezogen. Leonardo stimmte zu, ein Porträt zu malen. Sein Modell war traurig und traurig, aber Leonardo erzählte ihr ein Märchen, nachdem sie davon gehört hatte, wurde sie lebendig und interessant.

7 Folie

Beschreibung der Folie:
Mona Lisa (La Gioconda) Die Komposition des Porträts „Gioconda“ basiert laut Luca Pacioli (einem mittelalterlichen Mönch) auf goldenen Dreiecken, die Teile eines sternförmigen Fünfecks sind.

8 Folie

Beschreibung der Folie:

9 Folie

Beschreibung der Folie:
Es gab eine Meinung, dass die Komposition wegen der Konstruktion auf den "goldenen Rechtecken" erfolgreich war.

10 Folie

Beschreibung der Folie:
Das Bild hat Punkte, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich auf sich ziehen, die sogenannten Sehzentren.

11 Folie

Beschreibung der Folie:
Der goldene Schnitt im Bild von I.I. Shishkin "Pine Grove" In diesem berühmten Gemälde von I. Shishkin sind die Motive des Goldenen Schnitts deutlich zu erkennen. Die hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge nach dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein von der Sonne beleuchteter Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal nach dem Goldenen Schnitt. Links von der Hauptkiefer stehen viele Kiefern – wenn Sie möchten, können Sie das Bild erfolgreich weiter nach dem Goldenen Schnitt teilen.

Diese Harmonie ist beeindruckend in ihrer Größenordnung ...

Hallo Freunde!

Haben Sie schon einmal etwas über Göttliche Harmonie oder den Goldenen Schnitt gehört? Haben Sie schon einmal darüber nachgedacht, warum uns etwas perfekt und schön erscheint, aber etwas abstößt?

Wenn nicht, dann sind Sie erfolgreich bei diesem Artikel gelandet, denn darin werden wir den Goldenen Schnitt besprechen, herausfinden, was er ist, wie er in der Natur und beim Menschen aussieht. Lassen Sie uns über ihre Prinzipien sprechen, herausfinden, was die Fibonacci-Reihe ist und vieles mehr, einschließlich des Konzepts eines goldenen Rechtecks und einer goldenen Spirale.

Ja, es gibt viele Bilder, Formeln in dem Artikel, schließlich ist der Goldene Schnitt auch Mathematik. Aber alles ist in einer ziemlich einfachen Sprache klar beschrieben. Und am Ende des Artikels erfahren Sie auch, warum alle Katzen so sehr lieben =)

Was ist der Goldene Schnitt?

Wenn auf einfache Weise, dann ist der Goldene Schnitt eine bestimmte Proportionsregel, die Harmonie schafft?. Das heißt, wenn wir die Regeln dieser Proportionen nicht verletzen, erhalten wir eine sehr harmonische Komposition.

Die umfassendste Definition des Goldenen Schnitts besagt, dass der kleinere Teil mit dem größeren zusammenhängt, wie der größere mit dem Ganzen.

Aber ansonsten ist der Goldene Schnitt Mathematik: Er hat eine bestimmte Formel und eine bestimmte Zahl. Viele Mathematiker betrachten es im Allgemeinen als eine Formel göttlicher Harmonie und nennen es „asymmetrische Symmetrie“.

Der Goldene Schnitt hat unsere Zeitgenossen seit den Zeiten des antiken Griechenlands erreicht, es gibt jedoch die Meinung, dass die Griechen selbst den Goldenen Schnitt bereits von den Ägyptern ausspioniert haben. Denn viele Kunstwerke des alten Ägypten sind eindeutig nach den Kanonen dieser Proportion gebaut.

Es wird angenommen, dass Pythagoras der Erste war, der das Konzept des Goldenen Schnitts eingeführt hat. Die Werke von Euklid sind bis heute erhalten (er baute regelmäßige Fünfecke mit dem Goldenen Schnitt, weshalb ein solches Fünfeck „golden“ genannt wird), und die Zahl des Goldenen Schnitts ist nach dem antiken griechischen Architekten Phidias benannt. Das heißt, dies ist unsere Zahl "phi" (bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben φ) und sie ist gleich 1,6180339887498948482 ... Natürlich wird dieser Wert gerundet: φ \u003d 1,618 oder φ \u003d 1,62 und in Prozent , der Goldene Schnitt sieht aus wie 62 % und 38 %.

Was ist die Einzigartigkeit dieses Anteils (und glauben Sie mir, es existiert)? Versuchen wir zunächst, das Beispiel eines Segments zu verstehen. Wir nehmen also ein Segment und teilen es so in ungleiche Teile, dass sein kleinerer Teil mit dem größeren zusammenhängt, wie der größere mit dem Ganzen. Ich verstehe, es ist noch nicht ganz klar, was was ist, ich werde versuchen, es am Beispiel von Segmenten klarer zu veranschaulichen:

Wir nehmen also ein Segment und teilen es in zwei andere, sodass sich das kleinere Segment a auf das größere Segment b bezieht, genauso wie sich das Segment b auf das Ganze bezieht, also auf die gesamte Linie (a + b). Mathematisch sieht das so aus:

Diese Regel funktioniert auf unbestimmte Zeit, Sie können die Segmente beliebig lange aufteilen. Und sehen Sie, wie einfach es ist. Hauptsache einmal verstanden und fertig.

Aber jetzt schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an, das sehr oft vorkommt, da der Goldene Schnitt auch als goldenes Rechteck dargestellt wird (dessen Seitenverhältnis φ \u003d 1,62 ist). Dies ist ein sehr interessantes Rechteck: Wenn wir ein Quadrat davon „abschneiden“, erhalten wir wieder ein goldenes Rechteck. Und so unendlich oft. Sehen:

Aber Mathematik wäre nicht Mathematik, wenn es keine Formeln in ihr gäbe. So, Freunde, jetzt wird es etwas "schmerzhaft". Ich habe die Lösung des Goldenen Schnitts unter dem Spoiler versteckt, es gibt viele Formeln, aber ich möchte den Artikel nicht ohne sie verlassen.

Fibonacci-Reihe und Goldener Schnitt

Wir erschaffen und beobachten weiterhin die Magie der Mathematik und des Goldenen Schnitts. Im Mittelalter gab es einen solchen Freund - Fibonacci (oder Fibonacci, sie schreiben überall anders). Er liebte Mathe und Probleme, er hatte auch ein interessantes Problem mit der Fortpflanzung von Kaninchen =) Aber darum geht es nicht. Er entdeckte eine Zahlenfolge, die Zahlen darin heißen „Fibonacci-Zahlen“.

Die Sequenz selbst sieht so aus:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... und so weiter bis ins Unendliche.

In Worten, die Fibonacci-Folge ist eine solche Folge von Zahlen, bei der jede nachfolgende Zahl gleich der Summe der beiden vorherigen ist.

Und was ist mit dem Goldenen Schnitt? Jetzt werden Sie sehen.

Fibonacci-Spirale

Um die ganze Verbindung zwischen der Fibonacci-Zahlenreihe und dem Goldenen Schnitt zu sehen und zu fühlen, müssen Sie sich die Formeln noch einmal ansehen.

Mit anderen Worten, ab dem 9. Glied der Fibonacci-Folge beginnen wir, die Werte des Goldenen Schnitts zu erhalten. Und wenn wir uns dieses ganze Bild vorstellen, werden wir sehen, wie die Fibonacci-Folge Rechtecke erzeugt, die dem goldenen Rechteck immer näher kommen. Hier ist eine solche Verbindung.

Kommen wir nun zur Fibonacci-Spirale, sie wird auch „Goldene Spirale“ genannt.

Die goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale, deren Wachstumsfaktor φ4 ist, wobei φ der goldene Schnitt ist.

Im Allgemeinen ist der Goldene Schnitt aus mathematischer Sicht ein ideales Verhältnis. Aber da fangen ihre Wunder gerade erst an. Fast die ganze Welt unterliegt den Prinzipien des Goldenen Schnitts, diese Proportion wurde von der Natur selbst geschaffen. Sogar Esoteriker und solche sehen darin eine zahlenmäßige Macht. Aber wir werden in diesem Artikel definitiv nicht darüber sprechen. Um also nichts zu verpassen, können Sie Site-Updates abonnieren.

Der Goldene Schnitt in Natur, Mensch, Kunst

Bevor wir beginnen, möchte ich einige Ungenauigkeiten klären. Erstens ist die Definition des Goldenen Schnitts in diesem Zusammenhang nicht ganz korrekt. Tatsache ist, dass der eigentliche Begriff „Schnitt“ ein geometrischer Begriff ist, der immer eine Ebene bezeichnet, nicht aber eine Folge von Fibonacci-Zahlen.

Und zweitens haben sich die Zahlenreihen und das Verhältnis zueinander natürlich zu einer Art Schablone entwickelt, die auf alles angewendet werden kann, was verdächtig erscheint, und sich sehr freuen, wenn es Zufälle gibt, aber der gesunde Menschenverstand sollte es trotzdem nicht verloren sein.

Doch „in unserem Reich war alles durcheinander“ und das eine wurde zum Synonym für das andere. Im Allgemeinen geht die Bedeutung davon also nicht verloren. Und jetzt zum Geschäft.

Sie werden überrascht sein, aber der goldene Schnitt, oder besser gesagt die Proportionen, die ihm möglichst nahe kommen, ist fast überall zu sehen, sogar im Spiegel. Glauben Sie nicht? Beginnen wir damit.

Wissen Sie, als ich zeichnen lernte, erklärten sie uns, wie einfach es ist, das Gesicht, den Körper und so weiter einer Person zu gestalten. Alles muss relativ zu etwas anderem berechnet werden.

Alles, absolut alles ist proportional: Knochen, unsere Finger, Handflächen, Abstände im Gesicht, der Abstand ausgestreckter Arme zum Körper und so weiter. Aber auch das ist noch nicht alles, der innere Aufbau unseres Körpers, auch er, wird gleichgesetzt oder fast gleichgesetzt mit der Formel des Goldenen Schnitts. Hier sind die Abstände und Proportionen:
Ist das nicht erstaunlich!? Harmonie in ihrer reinsten Form, innen wie außen. Und deshalb erscheinen uns manche Menschen auf einer unbewussten Ebene nicht schön, selbst wenn sie einen kräftigen Körper, samtige Haut, schöne Haare, schöne Augen und so weiter und so fort haben. Aber wie auch immer, die geringste Verletzung der Proportionen des Körpers, und das Aussehen „schneidet die Augen schon leicht“.

Kurz gesagt, je schöner uns ein Mensch erscheint, desto näher kommen seine Proportionen dem Ideal. Und das kann übrigens nicht nur dem menschlichen Körper zugeschrieben werden.

Der Goldene Schnitt in der Natur und seine Phänomene

Ein klassisches Beispiel für den Goldenen Schnitt in der Natur ist die Schale der Molluske Nautilus pompilius und der Ammonit. Aber das ist noch nicht alles, es gibt noch viele weitere Beispiele:
Freunde, es gibt so viele Beispiele, dass ich das Video einfach hier lasse (es ist etwas niedriger), um den Artikel nicht mit Text zu überladen. Denn wenn Sie dieses Thema ausgraben, können Sie in einen solchen Dschungel eintauchen: Schon die alten Griechen haben bewiesen, dass das Universum und im Allgemeinen der gesamte Weltraum nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts geplant wurde.

Sie werden überrascht sein, aber diese Regeln finden sich sogar im Ton wieder. Sehen:
Nach diesem Prinzip ist es möglich, die optimal-behagliche, minimale und maximale Anzahl von Temperatur, Druck, Feuchtigkeit zu bestimmen. Ich habe es nicht überprüft, und ich weiß nicht, wie wahr diese Theorie ist, aber sie klingt beeindruckend.

Absolut in allem Lebendigen und Nichtlebenden kann man die höchste Schönheit und Harmonie ablesen.

Die Hauptsache ist, sich nicht davon hinreißen zu lassen, denn wenn wir etwas in etwas sehen wollen, werden wir es sehen, auch wenn es nicht da ist. Ich habe zum Beispiel auf das Design der PS4 geachtet und dort den goldenen Schnitt gesehen =) Allerdings ist diese Konsole so cool, dass es mich nicht wundern würde, wenn der Designer da wirklich schlau wäre.

Der Goldene Schnitt in der Kunst

Es ist auch ein sehr großes und umfangreiches Thema, das gesondert betrachtet werden sollte. Hier möchte ich nur einige grundlegende Punkte hervorheben. Das Bemerkenswerteste ist, dass viele Kunstwerke und architektonische Meisterwerke der Antike (und nicht nur) nach den Prinzipien des Goldenen Schnitts hergestellt werden.
Goldene Katzen von Fibonacci

Und schließlich, über Katzen! Haben Sie sich jemals gefragt, warum alle Katzen so sehr lieben? Sie haben das Internet übernommen! Katzen sind überall und es ist wunderbar =)

Und die Sache ist, dass Katzen perfekt sind! Glauben Sie nicht? Jetzt werde ich es Ihnen mathematisch beweisen!

Sehen? Das Geheimnis ist gelüftet! Kätzchen sind perfekt in Bezug auf Mathematik, Natur und das Universum =)

*Ich scherze natürlich. Nein, Katzen sind wirklich ideal) Aber niemand hat sie mathematisch gemessen, denke ich.

Darauf im Allgemeinen alles, Freunde! Wir sehen uns in den nächsten Artikeln. Viel Erfolg!

P.S. Bilder von medium.com.

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Seine Identität ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, soll es wagen, meine Werke zu lesen.“

Er erlangte Berühmtheit als unübertroffener Künstler, großer Wissenschaftler, Genie, das viele Erfindungen vorwegnahm, die erst im 20. Jahrhundert umgesetzt wurden.

Zweifellos war Leonardo da Vinci ein großer Künstler, seine Zeitgenossen erkannten dies bereits, aber seine Persönlichkeit und sein Wirken werden im Dunkeln bleiben, da er der Nachwelt keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen, sondern nur zahlreiche handschriftliche Skizzen, Notizen hinterlassen hat die sagen "sowohl alle auf der Welt."

Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste Beispiel für Spiegelschrift, das es gibt.

Das Porträt von Monna Lisa (La Gioconda) zieht seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit von Forschern auf sich, die entdeckten, dass die Komposition der Zeichnung auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen Sternenfünfecks sind. Es gibt viele Versionen über die Geschichte dieses Porträts. Hier ist einer von ihnen.

Einmal erhielt Leonardo da Vinci vom Bankier Francesco de le Giocondo den Auftrag, ein Porträt einer jungen Frau zu malen, der Frau des Bankiers, Monna Lisa. Die Frau war nicht schön, aber sie war von der Einfachheit und Natürlichkeit ihres Aussehens angezogen. Leonardo stimmte zu, ein Porträt zu malen. Sein Modell war traurig und traurig, aber Leonardo erzählte ihr ein Märchen, nachdem sie davon gehört hatte, wurde sie lebendig und interessant.

Es war einmal ein armer Mann, er hatte vier Söhne: drei schlaue, und einer davon hin und her. Und dann kam der Tod für den Vater. Bevor er sich von seinem Leben trennte, rief er seine Kinder zu sich und sagte: „Meine Söhne, bald werde ich sterben. Sobald du mich begraben hast, schließ die Hütte ab und geh ans Ende der Welt, um dein eigenes Glück zu machen. Lasst jeden von euch etwas lernen, damit ihr euch selbst ernähren könnt.“ Der Vater starb, und die Söhne zerstreuten sich auf der ganzen Welt und stimmten zu, drei Jahre später auf die Lichtung ihres heimischen Hains zurückzukehren. Der erste Bruder kam, der hat Zimmermann gelernt, einen Baum gefällt und behauen, eine Frau daraus gemacht, ein bisschen gelaufen und gewartet. Der zweite Bruder kehrte zurück, sah eine hölzerne Frau und zog sie, da er Schneider war, in einer Minute an: wie ein geschickter Handwerker nähte er wunderschöne Seidenkleider für sie. Der dritte Sohn schmückte die Frau mit Gold und Edelsteinen – schließlich war er Juwelier. Endlich kam der vierte Bruder. Er konnte nicht zimmern und nähen, er wusste nur zuzuhören, was die Erde, Bäume, Kräuter, Tiere und Vögel sagten, er kannte den Lauf der Himmelskörper und konnte auch wunderbare Lieder singen. Er sang ein Lied, das die Brüder, die sich hinter den Büschen versteckten, zum Weinen brachte. Mit diesem Lied belebte er die Frau, sie lächelte und seufzte. Die Brüder eilten zu ihr und jeder rief dasselbe: "Du musst meine Frau sein." Aber die Frau antwortete: „Du hast mich erschaffen – sei mein Vater. Du hast mich angezogen und geschmückt - sei meine Brüder.

Und dich, der du mir meine Seele eingehaucht und mich gelehrt hast, das Leben zu genießen, ich brauche dich allein fürs Leben.

Als Leonardo die Geschichte beendet hatte, sah er Monna Lisa an, ihr Gesicht erstrahlte im Licht, ihre Augen leuchteten. Dann, als wäre sie aus einem Traum erwacht, seufzte sie, fuhr sich mit der Hand übers Gesicht und ging wortlos zu ihrem Platz, faltete die Hände und nahm ihre gewohnte Haltung ein. Aber die Tat war vollbracht – der Künstler erweckte die gleichgültige Statue; das Lächeln der Glückseligkeit, das langsam von ihrem Gesicht verschwand, blieb in ihren Mundwinkeln und zitterte und gab ihrem Gesicht einen erstaunlichen, mysteriösen und leicht schlauen Ausdruck, wie der einer Person, die ein Geheimnis erfahren hat und es nicht kann, wenn sie es sorgfältig bewahrt seinen Triumph zurückhalten. Leonardo arbeitete schweigend, aus Angst, diesen Moment zu verpassen, diesen Sonnenstrahl, der sein langweiliges Modell beleuchtete ...

Es ist schwer zu bemerken, was in diesem Meisterwerk der Kunst bemerkt wurde, aber alle sprachen von Leonardos tiefem Wissen über die Struktur des menschlichen Körpers, dank dessen es ihm gelang, dieses sozusagen mysteriöse Lächeln einzufangen. Sie sprachen über die Ausdruckskraft einzelner Bildpartien und über die Landschaft, eine beispiellose Begleiterin des Porträts. Sie sprachen über die Natürlichkeit des Ausdrucks, die Einfachheit der Haltung, die Schönheit der Hände. Dem Künstler ist etwas noch nie Dagewesenes gelungen: Das Bild zeigt Luft, es umhüllt die Figur mit einem transparenten Schleier. Trotz des Erfolgs war Leonardo düster, die Situation in Florenz schien dem Künstler schmerzhaft, er machte sich bereit zu gehen. Erinnerungen an Flutungsbefehle halfen ihm nicht.

Der goldene Schnitt im Gemälde von I. I. Shishkin "Pine Grove"

In diesem berühmten Gemälde von I. I. Shishkin sind die Motive des Goldenen Schnitts deutlich sichtbar. Die hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge nach dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein von der Sonne beleuchteter Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal nach dem Goldenen Schnitt. Links von der Hauptkiefer gibt es viele Kiefern - wenn Sie möchten, können Sie das Bild erfolgreich nach dem Goldenen Schnitt und weiter teilen.

Die Anwesenheit von hellen Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es in Bezug auf den goldenen Schnitt teilen, verleiht ihm gemäß der Intention des Künstlers den Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe. Wenn die Absicht des Künstlers anders ist, wenn er beispielsweise ein Bild mit einer sich schnell entwickelnden Aktion schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einem Vorherrschen von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

Der goldene Schnitt im Gemälde von Leonardo da Vinci „La Gioconda“

Das Porträt von Mona Lisa zieht durch die Tatsache an, dass die Komposition der Zeichnung auf "goldenen Dreiecken" (genauer gesagt auf Dreiecken, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind) aufgebaut ist.

Goldene Spirale in Raffaels „Massaker an den Unschuldigen“

Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt ist das Gefühl von Dynamik, Aufregung, vielleicht am ausgeprägtesten in einer anderen einfachen geometrischen Figur - einer Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich nur durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Rafael brachte seine Idee nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von einem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze die Gravur Massacre of the Innocents schuf.

Auf Raffaels vorbereitender Skizze sind rote Linien gezeichnet, die vom semantischen Zentrum der Komposition – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen – entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es an sich drückt, des Kriegers mit erhobenem Schwert verlaufen und dann entlang der Figuren der gleichen Gruppe auf der rechten Seite skizzieren. Wenn Sie diese Kurvenstücke auf natürliche Weise mit einer gestrichelten Linie verbinden, erhalten Sie mit sehr hoher Genauigkeit ... eine goldene Spirale! Dies kann überprüft werden, indem das Verhältnis der Längen der von der Spirale geschnittenen Segmente zu den geraden Linien gemessen wird, die durch den Beginn der Kurve verlaufen.

Wir wissen nicht, ob Raffael die goldene Spirale bei der Entstehung der Komposition „Massacre of the Innocents“ tatsächlich gemalt oder nur „gefühlt“ hat. Wir können jedoch mit Zuversicht sagen, dass der Graveur Raimondi diese Spirale gesehen hat. Dies wird durch die neuen Elemente der Komposition belegt, die er hinzugefügt hat, indem er die Drehung der Spirale an den Stellen betont, an denen sie nur durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Diese Elemente sind in Raimondis letztem Stich zu sehen: Der Bogen der Brücke, der sich vom Kopf der Frau erstreckt, befindet sich auf der linken Seite der Komposition und der liegende Körper des Kindes in seiner Mitte. Raphael vollendete die Originalkomposition zu Beginn seiner Schaffenskraft, als er seine vollkommensten Kreationen schuf. Das Oberhaupt der Schule der Romantik, der französische Künstler Eugene Delacroix (1798 - 1863) schrieb über ihn: „In der Kombination aller Wunder der Anmut und Einfachheit, des Wissens und des Instinkts in der Komposition erreichte Raffael eine solche Perfektion, in der niemand andere könnten sich mit ihm vergleichen In den einfachsten wie in den majestätischsten Kompositionen überall bringt sein Geist zusammen mit Leben und Bewegung perfekte Ordnung in eine bezaubernde Harmonie. In der Komposition "Massacre of the Innocents" kommen diese Eigenschaften des großen Meisters sehr deutlich zum Ausdruck. Es kombiniert perfekt Dynamik und Harmonie. Diese Kombination wird durch die Wahl der goldenen Spirale als kompositorische Grundlage von Raffaels Zeichnung erleichtert: Dynamik erhält sie durch den Wirbelcharakter der Spirale, Harmonie durch die Wahl des goldenen Schnitts als Proportion, die die Entfaltung bestimmt der Spirale.

„Ein schönes Gebäude muss wie ein gut gebauter Mensch gebaut sein“ (Pavel Florensky)

Ist es möglich, „Harmonie mit Algebra zu überprüfen“? „Ja“, dachte Leonardo und zeigte, wie es geht. Der „goldene Schnitt“ ist nicht die Mitte, sondern eine Proportion – ein einfaches mathematisches Verhältnis, das das „Gesetz des Sterns und die Formel einer Blume“ enthält, ein Muster auf der Chitindecke von Tieren, die Länge von Ästen, die Proportionen des menschlichen Körpers. Sie sehen eine harmonische Komposition, einen wohlproportionierten Körperbau oder ein optisch ansprechendes Gebäude – messen Sie nach und Sie kommen auf die gleiche Formel. Während der Renaissance wurden antike Statuen gemessen, um das „Gesetz der Harmonie“ zu überprüfen, und vor anderthalb Jahrhunderten wurden die Proportionen des „goldenen Schnitts“ überprüft, indem die Länge der Beine und des Oberkörpers der Wachsoldaten in Beziehung gesetzt wurden – alles ist absolut zutreffend.

Der Künstler Alexander Pankin erforscht die Gesetze der Schönheit... auf den berühmten Plätzen von Kasimir Malewitsch.

- In den frühen 80er Jahren baten sie bei einem Vortrag über Malewitsch, eine Folie von „Black Square“ zu zeigen. Nachdem das Bild auf dem Bildschirm erscheint, sagt der Dozent streng: „Turn it over, please.“ Wir lachten: Für einen einfachen Menschen ist es schwer zu verstehen, warum man so etwas zeichnet. Das ist schön?

– Als ich Malewitschs Gemälde mit Zirkel und Lineal untersuchte, kam ich zu dem Schluss, dass sie überraschend harmonisch sind. Hier gibt es kein einziges zufälliges Element. Nimmt man ein einzelnes Segment, beispielsweise von der Größe einer Leinwand oder der Seite eines Quadrats, kann man das ganze Bild nach einer Formel aufbauen. Es gibt Quadrate, deren Elemente alle im Verhältnis des „Goldenen Schnitts“ korreliert sind, und das berühmte „Schwarze Quadrat“ wird im Verhältnis der Quadratwurzel aus zwei gezeichnet.

- Zeichnest du diese Proportionen in den Rand, um der Schulaufgabe in Geometrie vollständig zu ähneln?

– Was ich mache, kann man „objektive Kunst“ nennen. Was ist das auf den ersten Blick für Kreativität, wenn es nicht darum geht, der eigenen Individualität Ausdruck zu verleihen? Es gibt sogar einen solchen Ausdruck - "Der Künstler ist erkennbar". Aber ich entdeckte ein überraschendes Muster: Je weniger der Wunsch, sich auszudrücken, desto mehr Kreativität. Wo die Rahmen zu breit sind, wo alles möglich ist, kommen wir allmählich an den Punkt, an dem die Leute anfangen, die Leinwände zu verderben (sagen wir, Brener näherte sich einem Gemälde von Malewitsch mit einer Farbdose), einige Ikonen werden geschnitten und sagen: „Aber Ich sehe das so.“ Canon ist wichtig. Es ist kein Zufall, dass in der Ikonenmalerei so streng darauf geachtet wird. Für die Kreativität ist es besser, Türen nicht weit zu öffnen, sondern durch eine Lücke zu kriechen. Mich interessiert die Form, wie sie sich von selbst bildet und entwickelt.

- Das ist ein Computeralgorithmus, was hat die Malerei damit zu tun?

- 1918 sagte Malewitsch, die Malerei sei vorbei, - es blieb nur die Geometrie. In diesem Jahr malte er ein weißes Quadrat auf weißem Grund. Doch dann geschah Malewitschs „Rückkehr zur Erde“, seine Malerei wurde objektiviert. Die Wissenschaft hat die Kunst nicht absorbiert, aber in jenen historischen Perioden, in denen Geometrie und Kunst zusammenkamen, gab dies der Entwicklung beider Impulse. So war es in der Renaissance, als Leonardo die Proportionen des „Goldenen Schnitts“ erforschte, und zu Beginn des 20. Jahrhunderts, als Paul Cezanne sagte: „Behandle die Natur durch einen Zylinder, eine Kugel, einen Kegel.“ Malten die Impressionisten etwas Persönliches, Wandelbares, interessierten sich die Kubisten dagegen für das formgebende Element - den Rahmen. Jetzt gibt es Konferenzen „Mathematik und Kunst“ und Seminare, wo sich Wissenschaftler und Künstler treffen, echte Entdeckungen passieren. Seit Leonardo da Vinci ist die sogenannte Fibonacci-Zahlenreihe bekannt: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... Dies ist demnach eine „goldene“ Zahlenfolge Nach diesem Gesetz werden Blütenblätter und Samen in einer Sonnenblume angeordnet. Ich habe diese Serie in der Ebene in Form von Dreiecken dargestellt. Es stellte sich heraus, dass es eine erstaunliche Sache war. Die Terme der Fibonacci-Reihe wachsen sehr schnell: Das Dreieck wird zu einem Pfeil, zwei Seiten gehen ins Unendliche und eines der Beine bleibt immer gleich fünf! Davor habe ich nicht verstanden, was „endlich unendlich“ ist! Anhand dieses Bildes bewies Professor Alexander Zenkin mathematisch, dass ein solches Dreieckssystem der Kern der Fibonacci-Reihe ist. Ein neues mathematisches Objekt wurde entdeckt!

- Pankins Dreiecke?

- Bei einem Seminar gab es Vorschläge, sie so zu benennen, weil aus irgendwelchen Gründen diese mathematische Regelmäßigkeit vorher niemandem aufgefallen war.

– Vielleicht studieren Sie Malewitschs Harmonie nicht, weil Sie in seinem Werk eine besondere Bedeutung sehen, sondern weil andere Gemälde schwieriger in die Formel passen?

- Warum! Neuerdings möchte ich auch den „Fremden“ Kramskoy erkunden. Ich habe geschaut: Auch da ist der „Goldene Schnitt“ im Mittelpunkt. Dieselben Regeln und Muster, die ich in Malewitschs Gemälden gefunden habe, können auf andere Gemälde angewendet werden, es werden sehr interessante Dinge herauskommen. Malewitschs Bilder sind der Grundstein der Formgebung, an ihm kommt man nicht vorbei. Das „Schwarze Quadrat“ ist ein Bezugspunkt, ein kosmischer Trichter, in dem die Kunst verändert ein- und austritt. Neue Räume entstehen. Für die Wanderers oder für Naturforscher wie Shilov ist ein Bild ein Fenster, hinter dem sich dreidimensionale Objekte in der üblichen direkten Perspektive befinden. Bei Cezanne liegen Räume auf der Leinwand. In den Symbolen gibt es gleichzeitig zwei Blickwinkel: Sie schauen von Ihrem Platz aus und gleichzeitig scheinen Sie im Inneren des Geschehens zu sein. Der Raum wird objektiviert, und nicht umsonst brauchen Ikonen keine Rahmen. Es scheint mir, dass der Bildraum in Zukunft nicht hinter der Leinwand, sondern davor liegen wird ...

- Kürzlich habe ich im Laden ein Plakat mit dem "Schwarzen Quadrat" gesehen. Ich war begeistert und habe es gekauft, ich wollte es zu Hause aufhängen, und dann habe ich es mir anders überlegt. Es ist unbequem zu schlafen, wenn das „Schwarze Quadrat“ über dem Bett hängt. Möchten Sie ein Malewitsch-Quadrat über Ihr Bett hängen?

– Um ehrlich zu sein, meine Bilder hängen über meinem Bett, sie hängen überall bei mir. Und ich möchte ... wahrscheinlich Ivanova - „Die Erscheinung Christi vor den Menschen“. Eine erstaunliche Komposition - die Figur Christi in der Mitte und davon, als ob die Strahlen divergieren würden. Irgendwie ist mir das vorher nicht aufgefallen...