Ball. Abschnitt des Ball. (Ticket in Mathematik). Große Enzyklopädie von Öl und Gas
Ein Ball ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die von einem bestimmten Punkt nicht mehr als einen bestimmten Abstand entfernt sind. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt des Balls bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius des Balls bezeichnet. Die Grenze einer Kugel wird als Kugeloberfläche oder Kugel bezeichnet. Die Punkte der Kugel sind alle Punkte der Kugel, die einen Abstand haben, der gleich dem Radius vom Mittelpunkt ist. Jedes Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, wird auch als Radius bezeichnet. Der durch den Kugelmittelpunkt verlaufende Abschnitt, der zwei Punkte der Kugeloberfläche verbindet, wird als Durchmesser bezeichnet. Die Enden mit beliebigem Durchmesser werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet.
Eine Kugel ist ein Rotationskörper, genau wie ein Kegel und ein Zylinder. Eine Kugel erhält man, indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser als Achse dreht.
Die Oberfläche einer Kugel kann mit den Formeln ermittelt werden:
wobei r der Radius der Kugel ist, d der Durchmesser der Kugel ist.
Das Volumen einer Kugel ergibt sich aus der Formel:
V = 4 / 3 pr 3 ,
wobei r der Radius der Kugel ist.
Satz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.
Wird nach diesem Satz eine Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R von einer Ebene α geschnitten, so ergibt sich im Schnitt ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt K. Der Radius des Schnitts der Kugel durch die Ebene kann ermittelt werden nach der Formel
Aus der Formel ist ersichtlich, dass Ebenen mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt die Kugel in gleichen Kreisen schneiden. Der Radius des Schnitts ist umso größer, je näher die Sekantenebene am Kugelmittelpunkt liegt, dh je kleiner der Abstand OK ist. Der größte Radius hat einen Abschnitt mit einer Ebene, die durch die Mitte der Kugel geht. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Radius der Kugel.
Die Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird Diametralebene genannt. Der Schnitt der Kugel durch die diametrale Ebene wird Großkreis genannt, und der Schnitt der Kugel wird Großkreis genannt, und der Schnitt der Kugel wird Großkreis genannt.
Satz. Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene. Der Mittelpunkt der Kugel ist ihr Symmetriezentrum.
Die Ebene, die durch den Punkt A der sphärischen Oberfläche verläuft und senkrecht zu dem zum Punkt A gezogenen Radius steht, wird Tangentialebene genannt. Punkt A wird Berührungspunkt genannt.
Satz. Die Tangentialebene hat nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel - den Kontaktpunkt.
Eine gerade Linie, die durch Punkt A der Kugeloberfläche senkrecht zu dem zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird Tangente genannt.
Satz. Durch jeden Punkt der Kugeloberfläche gehen unendlich viele Tangenten, und alle liegen in der Tangentialebene der Kugel.
Ein Kugelsegment ist ein Teil einer Kugel, der durch eine Ebene von ihr abgeschnitten wird. Der Kreis ABC ist die Basis des Kugelabschnitts. Die Strecke MN der vom Mittelpunkt N des Kreises ABC zum Schnittpunkt mit der Kugeloberfläche gezogenen Senkrechten ist die Höhe der Kugelstrecke. Punkt M ist der Scheitelpunkt des Kugelsegments.
Die Oberfläche eines Kugelsegments kann mit der Formel berechnet werden:
Das Volumen eines Kugelsegments kann durch die Formel gefunden werden:
V \u003d πh 2 (R - 1/3h),
wobei R der Radius des Großkreises ist, h die Höhe des Kugelsegments.
Ein Kugelsektor wird wie folgt aus einem Kugelsegment und einem Kegel erhalten. Wenn das Kugelsegment kleiner als eine Halbkugel ist, wird das Kugelsegment durch einen Kegel ergänzt, dessen Spitze im Mittelpunkt der Kugel liegt und dessen Basis die Basis des Segments ist. Wenn das Segment größer als eine Halbkugel ist, wird der angezeigte Kegel davon entfernt.
Ein Kugelsektor ist ein Teil einer Kugel, die von der gekrümmten Oberfläche eines Kugelsegments (AMCB in unserer Abbildung) und einer konischen Oberfläche (OABC in der Abbildung) begrenzt wird, deren Basis die Basis des Segments (ABC) ist, und die Spitze ist der Mittelpunkt der Kugel O.
Das Volumen des Kugelsektors ergibt sich aus der Formel:
V = 2/3 πR 2 H.
Eine sphärische Schicht ist ein Teil einer Kugel, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen ist (Ebenen ABC und DEF in der Abbildung), die eine sphärische Oberfläche schneiden. Die gekrümmte Oberfläche einer Kugelschicht wird als Kugelgürtel (Zone) bezeichnet. Die Kreise ABC und DEF sind die Basen des Kugelgürtels. Der Abstand NK zwischen den Basen des Kugelbandes ist seine Höhe.
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Den Schnitt einer Kugel durch eine Ebene, die durch den Mittelpunkt geht, nennt man Großkreis. Der Radius des Großkreises ist gleich dem Radius der Kugel.
Der Querschnitt einer Kugel durch eine Ebene ist immer ein Kreis. Auf Abb. 153 zeigt eine Kugel, die von einer horizontalen Ebene R und einer nach vorne vorstehenden Ebene Q geschnitten wird, die durch die Spuren Rv und Qv gegeben sind. Sie wird auf die H-Ebene ebenfalls in Form eines Kreises projiziert, der einen gemeinsamen Mittelpunkt mit einem Umriss der horizontalen Projektion der Kugel hat. Zur Bestimmung der Extrempunkte t und t groß og. Zwischenpunkte einer Ellipse, zum Beispiel /i und /2, können durch das Verfahren erhalten werden, das beim Lösen eines ähnlichen Problems beim Konstruieren von Punkten, die auf der Oberfläche einer Kugel liegen, beschrieben wurde.
Der Schnitt der Kugel durch eine beliebige vertikale Ebene, die durch den Mittelpunkt verläuft, ergibt einen Großkreis, der Meridian genannt wird.
Der Schnitt einer Kugel durch eine Ebene, die weniger als der Radius vom Kugelmittelpunkt entfernt ist, ist ein Kreis.
Der Querschnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Eine Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, schneidet sie in einem Kreis, dessen Durchmesser gleich dem Durchmesser der Kugel ist. Um ein Bild eines abgeschnittenen Balls zu konstruieren, werden Projektionen der Ellipsenachsen sowie die auf den Umrissgeneratoren des Balls liegenden Punkte der Ellipse erstellt.
Ein Schnitt einer Kugel durch eine Ebene senkrecht zu ihrem Radius halbiert den Radius.
Der Querschnitt der Kugel, der durch die Achse des Kegels geht, ist ein großer Kreis der Kugel, in den DLV5 eingeschrieben ist (Abb. 185), wobei [LV] der Durchmesser der Basis des Kegels ist.
Der Schnitt der Kugel durch eine Ebene, die durch die Basis der Pyramide geht, ist ein Kreis, in den das DLVS eingeschrieben ist. Seit C 90 liegt der Mittelpunkt dieses Kreises O in der Mitte der Hypotenuse.
Den Schnitt einer Kugel durch eine Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht, nennt man Großkreis. Eine Tangentialebene an eine Kugel (Ball) ist eine Ebene, die einen einzigen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat. Dieser Punkt wird als Kontaktpunkt zwischen der Kugel und der Ebene bezeichnet. Damit eine Ebene eine Kugel tangiert, ist es notwendig und ausreichend, dass diese Ebene senkrecht zum Radius der Kugel steht und durch ihr Ende verläuft.
Daher ist der Abschnitt der Kugel, der durch ihren Mittelpunkt geht und die Basis der Pyramide berührt, ein Kreis, der in das Dreieck SEF eingeschrieben ist, wobei SE und SF die Apotheme der Seitenflächen sind und EF die Höhe der Raute ist.
Stellen Sie sich einen Abschnitt einer Kugel vor, der durch die Achse eines Kegelstumpfes verläuft. Im Schnitt erhalten wir einen Kreis, in den das Trapez ABCD eingeschrieben ist.
Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene, die durch ihren Mittelpunkt geht, ergibt einen Großkreis.
О Der Querschnitt der Kugel durch die Kegelachse ist ein großer Kugelkreis, in den D ABS eingeschrieben ist (Abb. 339), wobei [AB] der Durchmesser der Kegelbasis ist.
Einführung
Ein Ball ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die von einem bestimmten Punkt nicht mehr als einen bestimmten Abstand entfernt sind. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt des Balls bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius des Balls bezeichnet.
Die Grenze einer Kugel wird als sphärische Oberfläche oder Kugel bezeichnet. Die Punkte der Kugel sind also alle Punkte der Kugel, die vom Mittelpunkt gleich dem Radius entfernt sind. Jedes Liniensegment, das den Mittelpunkt einer Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, auch Radius genannt.
Das Segment, das zwei Punkte der Kugeloberfläche verbindet, die durch den Mittelpunkt der Kugel gehen, wird als Durchmesser bezeichnet. Die Enden mit beliebigem Durchmesser werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet.
Eine Kugel ist wie ein Zylinder und ein Kegel ein Rotationskörper. Sie wird erhalten, indem ein Halbkreis als Achse um seinen Durchmesser gedreht wird.
Schnitt einer Kugel durch eine Ebene
Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.
Beweis: Lassen Sie - Schnittebene und O - den Mittelpunkt der Kugel (Abb. 1). Lassen Sie uns die Senkrechte vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene fallen lassen und mit O "die Basis dieser Senkrechten bezeichnen.
Sei X ein beliebiger Punkt der zur Ebene gehörenden Kugel. Nach dem Satz des Pythagoras ist OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Da OX nicht größer ist als der Radius R der Kugel, dann ist O „X?, dh jeder Punkt des Schnitts der Kugel durch eine Ebene ist vom Punkt O“ nicht größer entfernt, gehört also zu einem Kreis mit Mittelpunkt O "und Radius. Umgekehrt: Jeder Punkt X dieses Kreises gehört zur Kugel, was bedeutet, dass der Schnitt der Kugel durch die Ebene ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist". Der Satz ist bewiesen.
Die Fläche, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird Diametralebene genannt. Der Querschnitt einer Kugel mit einer diametralen Ebene wird als Großkreis bezeichnet, und der Querschnitt einer Kugel wird als Großkreis bezeichnet.
Definition.
Kugel (Kugeloberfläche) ist die Sammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die von einem einzigen Punkt gleich weit entfernt sind, genannt das Zentrum der Kugel(ÜBER).Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die entsteht, indem ein Kreis um 180° um ihren Durchmesser oder ein Halbkreis um 360° um ihren Durchmesser gedreht wird.
Definition.
Ball ist die Sammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand zu einem als Punkt bezeichneten bestimmten Abstand eine bestimmte Entfernung nicht überschreitet Kugelzentrum(O) (Menge aller Punkte des dreidimensionalen Raums, die durch eine Kugel begrenzt sind).Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die durch Drehung eines Kreises um 180° um ihren Durchmesser oder eines Halbkreises um 360° um ihren Durchmesser entsteht.
Definition. Kugelradius(R) ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel (Ball) Ö zu einem beliebigen Punkt der Kugel (Oberfläche der Kugel).
Definition. Durchmesser der Kugel (Kugel).(D) ist ein Segment, das zwei Punkte der Kugel (die Oberfläche der Kugel) verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft.
Formel. Ballvolumen:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Formel. Oberfläche einer Kugel Durchgangsradius oder Durchmesser:
S = 4π R 2 = π D 2
Kugelgleichung
1. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems:
x2 + y2 + z2 = R2
2. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt an einem Punkt mit Koordinaten (x 0 , y 0 , z 0) im kartesischen Koordinatensystem:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Definition. diametral gegenüberliegende Punkte sind zwei beliebige Punkte auf der Oberfläche einer Kugel (Kugel), die durch einen Durchmesser verbunden sind.
Grundlegende Eigenschaften einer Kugel und einer Kugel
1. Alle Punkte der Kugel sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.
2. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.
3. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.
4. Die Kugel hat das größte Volumen unter allen Raumfiguren mit gleichem Flächeninhalt.
5. Durch zwei beliebige diametral gegenüberliegende Punkte können Sie viele große Kreise für eine Kugel oder Kreise für eine Kugel zeichnen.
6. Durch zwei beliebige Punkte, mit Ausnahme von diametral gegenüberliegenden Punkten, ist es möglich, nur einen großen Kreis für eine Kugel oder einen großen Kreis für eine Kugel zu zeichnen.
7. Zwei beliebige Großkreise einer Kugel schneiden sich entlang einer geraden Linie, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, und die Kreise schneiden sich an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten.
8. Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Kugeln kleiner ist als die Summe ihrer Radien und größer als der Modul der Differenz zwischen ihren Radien, dann solche Kugeln schneiden, und in der Schnittebene wird ein Kreis gebildet.
Die Sekante, Sehne, Sekantenebene der Kugel und ihre Eigenschaften
Definition. Die Sekante der Sphären ist eine Gerade, die die Kugel an zwei Punkten schneidet. Die Schnittpunkte werden genannt Punktionsstellen Oberfläche oder Ein- und Austrittspunkte auf der Oberfläche.
Definition. Sehne einer Kugel (Ball) ist ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel (der Oberfläche einer Kugel) verbindet.
Definition. Schnittebene ist die Ebene, die die Kugel schneidet.
Definition. Diametralebene- Dies ist eine Sekantenebene, die durch den Mittelpunkt einer Kugel oder Kugel verläuft, deren Schnitt jeweils gebildet wird schöner Kreis Und großer Kreis. Der Großkreis und der Großkreis haben einen Mittelpunkt, der mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfällt.
Jede Sehne, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (Ball) verläuft, ist ein Durchmesser.
Ein Akkord ist ein Segment einer Sekantenlinie.
Der Abstand d vom Kugelmittelpunkt zur Sekante ist immer kleiner als der Kugelradius:
D< R
Der Abstand m zwischen Schnittebene und Kugelmittelpunkt ist immer kleiner als der Radius R:
m< R
Der Schnitt der Schnittebene auf der Kugel wird immer sein kleiner Kreis, und am Ball wird der Abschnitt sein kleiner Kreis. Ein kleiner Kreis und ein kleiner Kreis haben ihre Mittelpunkte, die nicht mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfallen. Der Radius r eines solchen Kreises kann durch die Formel gefunden werden:
r \u003d √ R 2 - m2,
Wobei R der Radius der Kugel (Kugel) ist, m ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Schnittebene.
Definition. Halbkugel (Halbkugel)- Dies ist die Hälfte der Kugel (Kugel), die entsteht, wenn sie von einer diametralen Ebene geschnitten wird.
Tangente, Tangentialebene an die Kugel und ihre Eigenschaften
Definition. Tangente an die Kugel ist eine Gerade, die die Kugel nur an einem Punkt berührt.
Definition. Tangentialebene zur Kugel ist eine Ebene, die die Kugel nur an einem Punkt berührt.
Die Tangente (Ebene) steht immer senkrecht auf dem Radius der zum Berührungspunkt gezogenen Kugel
Der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Tangente (Ebene) ist gleich dem Kugelradius.
Definition. Kugelsegment- Dies ist der Teil der Kugel, der durch eine Schnittebene von der Kugel abgeschnitten wird. Das Rückgrat des Segments Nennen Sie den Kreis, der sich an der Stelle des Abschnitts gebildet hat. Segmenthöhe h ist die Länge der von der Mitte der Tübbingbasis zur Tübbingoberfläche gezogenen Senkrechten.
Formel. Äußerer Oberflächenbereich eines Kugelsegments mit Höhe h bezogen auf den Kugelradius R:
S = 2π Rh
| Parametername | Bedeutung |
| Betreff des Artikels: | Kugelabschnitt |
| Rubrik (thematische Kategorie) | Bildung |
Privates Positionsflugzeug
Die Kugel wird von einer frontal hervortretenden Ebene durchzogen (Abb. 9.19.)
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Um horizontale Projektionen von Punkten zu konstruieren, verwenden wir die Kugelparallelen, die durch die ausgewählten Punkte verlaufen. Achten Sie darauf, die auf dem Äquator liegenden Punkte 3 und 4 auszuwählen, da es sich um Übergangspunkte von der sichtbaren zur unsichtbaren Seite der Oberfläche handelt (Abb. 9.19.).
ENTHÜLLT
Beim Studium der Konstruktion von Entfaltungen wird die Oberfläche als flexibler, nicht dehnbarer Film betrachtet. Einige Oberflächen können, wenn sie gebogen sind, mit einer Ebene kombiniert werden, ohne zu brechen und zu kleben. Solche Oberflächen werden als abwickelbar bezeichnet, und die resultierende flache Figur wird als Abwicklung bezeichnet. Flächen, die nicht mit einer Ebene kombiniert werden können, sind nicht abwickelbar.
Die Konstruktion von Reibahlen ist von großem praktischem Nutzen, da sie die Herstellung verschiedener Produkte aus Blechmaterial durch Biegen ermöglicht.
Grundlegende Eigenschaften von Oberflächenentwicklungen
Jedem Punkt (Figur) auf der Fläche entspricht ein Punkt (Figur) auf der Abwicklung und umgekehrt.
Darauf aufbauend lassen sich folgende Eigenschaften formulieren:
1. Die Längen der beiden korrespondierenden Linien der Fläche und ihrer Abwicklung sind einander gleich. Folge: Eine geschlossene Linie auf der Oberfläche und die ihr entsprechende Linie auf der Bebauung begrenzen die gleiche Fläche.
2. Der Winkel zwischen den Linien auf der Oberfläche ist gleich dem Winkel zwischen den entsprechenden Linien auf dem Scan.
3. Geraden auf der Oberfläche entsprechen geraden Linien auf der Abwicklung.
4. Parallele Linien auf der Oberfläche entsprechen auch parallelen Linien auf dem Scan
Oberflächenentfaltung von Polyedern
Unter der Entwicklung einer Polyederfläche versteht man eine flache Figur, die sich aus den Flächen dieser Fläche zusammensetzt, kombiniert mit einer Ebene.
Es gibt drei Möglichkeiten, eine Abwicklung polyedrischer Flächen zu konstruieren:
1) Methode der Dreiecke (Triangulation);
2) Normalschnittverfahren;
3) Walzverfahren.
Abschnitt der Sphäre - Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie "Ausschnitt der Kugel" 2017, 2018.