Абсолютная и относительная погрешность вычислений. Округление чисел

При выполнении вычислений часто возникает необходимость в округлении чисел, т.е. в замене их числами с меньшим количеством значащих цифр.

Существуют три способа округления чисел:

Округление с недостатком до k -й значащей цифры состоит в отбрасывании всех цифр, начиная с (k+1) -й.

Округление с избытком отличается от округления с недостатком тем, что последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Округление с наименьшей погрешностью отличается от округления с избытком тем, что увеличение на единицу последней сохраняемой цифры производится лишь в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр больше 4.

Исключение: если округление с наименьшей погрешностью сводится к отбрасыванию только одной цифры 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

Из вышеуказанных правил округления приближенных чисел следует, что погрешность, вызываемая округлением с наименьшей погрешностью, не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда, а при округлении с недостатком или с избытком погрешность может быть и больше половины единицы последнего сохраняемого разряда, но не более целой единицы этого разряда.

Рассмотрим это на следующих примерах.

1. Погрешность суммы. Пусть x а , у -- некоторое приближение величины b . Пусть х и у -- абсолютные погрешности соответствующих приближений х и у . Найдем границу абсолютной погрешности h a+b суммы х+у , являющейся приближением суммы а+b .

a = x + х,

b = y + y.

Сложим эти два равенства, получим

a + b = x + y + х + y.

Очевидно, что погрешность суммы приближений x и у равна сумме погрешностей слагаемых, т.е.

(x + y) = x + y

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых. Поэтому

(x + y) = x + y x + y

Отсюда следует, что абсолютная погрешность суммы приближений не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Следовательно, за границу абсолютной погрешности суммы можно принять сумму границ абсолютных погрешностей слагаемых.

Обозначив границу абсолютной погрешности величины а через h a , а величины b через h b будем иметь

h a+b = h a + h b

2. Погрешность разности. Пусть х и у -- погрешности приближений x и у соответственно величин a и b.

a = x + х,

b = y + y.

Вычтем из первого равенства второе, получим

a - b = (x - y) + (x - y)

Очевидно, что погрешность разности приближений равна разности погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т. е.

(x - y) = x - y) ,

(x - y) = x + (-y)

А тогда, рассуждая так же, как в случае сложения, будем иметь

(x - y) = x + (-y) x + y

Отсюда следует, что абсолютная погрешность разности не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

За границу абсолютной погрешности разности можно принять сумму границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Таким образом.

h a-b = h a + h b (9)

Из формулы (9) следует, что граница абсолютной погрешности разности не может быть меньше границы абсолютной погрешности каждого приближения. Отсюда вытекает правило вычитания приближений, применяемое иногда при вычислениях.

При вычитании чисел, являющихся приближениями некоторых величин, в результате следует оставить столько цифр после запятой, сколько их имеет приближение с наименьшим числом цифр после запятой.

3. Погрешность произведения. Рассмотрим произведение чисел х и у , являющихся приближениями величин a и b . Обозначим через x погрешность приближения х , а через у -- погрешность приближения у ,

a = x + х,

b = y + y.

Перемножив эти два равенства, получим

Абсолютная погрешность произведения ху равна

И поэтому

Разделив обе части полученного неравенства на ху , получим

Учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, будем иметь

Здесь левая часть неравенства представляет собой относительную погрешность произведения ху , -- относительную погрешность приближения х , а -- относительную погрешность приближения у . Следовательно, отбрасывая здесь малую величину, получим неравенство

Таким образом, относительная погрешность произведения приближений не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей. Отсюда следует, что сумма границ относительных погрешностей сомножителей является границей относительной погрешности произведения, т.е.

E ab = E a + E b (10)

Из формулы (10) следует, что граница относительной погрешности произведения не может быть меньше границы относительной погрешности наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в предыдущих действиях, не имеет смысла сохранять в сомножителях излишнее количество значащих цифр.

Иногда при вычислениях для сокращения объема работы полезно руководствоваться следующим правилом: При умножении приближений с различным числом значащих цифр в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближение с наименьшим числом значащих цифр.

4. Погрешность частного. Если x -- приближение величины а, погрешность которого x, а у -- приближение величины b с погрешностью y, то

Вычислим сначала абсолютную погрешность частного:

а затем относительную погрешность:

Принимая во внимание, что y мало по сравнению с y , абсолютную величину дроби можно считать равной единице. Тогда

из последней формулы вытекает, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Следовательно, можно считать, что граница относительной погрешности частного равна сумме границ относительных погрешностей делимого и делителя, т.е.

5. Погрешность степени и корня. 1) Пусть u = a n , где n -- натуральное число, и пусть а х. Тогда, если E a -- граница относительной погрешности приближения x величины a , то

и поэтому

Таким образом, граница относительной погрешности степени равна произведению границы относительной погрешности основания на показатель степени, т.е.

E u = n E a (11)

2) Пусть, где n -- натуральное число, и пусть ах .

По формуле (11)

и, следовательно,

погрешность вычитаемый вычисление

Таким образом, граница относительной погрешности корня n -й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

6. Обратная задача приближенных вычислений. В прямой задаче требуется найти приближенное значение функции u=f(х,у,…,n) по данным приближенным значениям аргументов

и границу погрешности h a , которая выражается через погрешности аргументов некоторой функции

h u = (h x , h y , …, h z ) (12)

На практике нередко приходится решать и обратную задачу, в которой требуется узнать, с какой точностью должны быть заданы значения аргументов х, у, …, z , чтобы вычислить соответствующие значения функции u = f(х, у, …, z) с наперед заданной точностью h u .

Таким образом, при решении обратной задачи искомыми являются границы погрешностей аргументов, связанные с заданной границей погрешности функции h u уравнением (12), и решение обратной задачи сводится к составлению и решению уравнения h u = (h x , h y , …, h z ) относительно h x , h y , …, h z . Такое уравнение или имеет бесконечное множество решений, или совсем не имеет решений. Задача считается решенной, если найдено хотя бы одно решение такого уравнения.

Для решения обратной задачи, которая часто бывает неопределенной, приходится вводить добавочные условия об отношениях искомых погрешностей, например считать их равными и тем самым сводить задачу к уравнению с одним неизвестным.

Инструкция

В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.

Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Источники:

• как найти погрешность измерений

Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.

Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.

Источники:

• как определить абсолютную погрешность

Измерения физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью . Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

Вам понадобится

• -измерительный прибор:
• -калькулятор.

Инструкция

Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования.

Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях.

Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

• - данные измерений;
• - калькулятор.

Инструкция

Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.

Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.

Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).

Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание

Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.

Полезный совет

В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.

Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Инструкция

Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.

Относительная погрешность отношение абсолютной погрешности к действительному значению величины: ε(x)=Δx/x0. Это безразмерная величина, она может записываться также в процентах.

Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.

Полезный совет

Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.

Источники:

• Методические указания к лабораторным работам по физике
• как найти относительную ошибку

Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр.

В месяц потребуется сахар. Иногда забор крови на анализ многократно в течение дня, иногда достаточно 1-2 раз в неделю. Самоконтроль особенно необходим и больным 1 типом диабета.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам

Глюкометр не считается высокоточным прибором. Он предназначен только для ориентировочного определения концентрации сахара в крови.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам составляет 20% при гликемии более 4,2 ммоль/л.

Например, если при самоконтроле уровень сахара 5 ммоль/л, то реальное значение концентрации находится в промежутке от 4 до 6 ммоль/л.

Допустимая погрешность у глюкометра в стандартных измеряется , а не в ммоль/л. Чем выше показатели, тем больше погрешность в абсолютных числах. Например, если достигает около 10 ммоль/л, то ошибка не превышает 2 ммоль/л, а если сахар - около 20 ммоль/л, то с результатом лабораторного измерения может быть до 4 ммоль/л.

В большинстве случаев глюкометр завышает показатели гликемии.

Стандарты допускают превышение заявленной погрешности измерения в 5% случаев. Это значит, что каждое двадцатое исследование может существенно искажать результаты.

Допустимая погрешность у глюкометров разных фирм

Глюкометры подлежат обязательной сертификации. В сопровождающих прибор документах обычно указаны цифры допустимой погрешности измерений. Если этого пункта нет в инструкции, то погрешность соответствует 20%.

Некоторые производители уделяют особое внимание точности измерений. Существуют приборы европейских фирм, которые имеют допустимую погрешность меньше 20%. Наилучший показатель на сегодняшний день составляет 10-15%.

Погрешность у глюкометра при самоконтроле

Допустимая погрешность измерения характеризует работу прибора. На точность исследования влияют и некоторые другие факторы. Неправильно подготовленная кожа, слишком малый или большой объем полученной капли крови, недопустимый температурный режим - все это может приводить к ошибкам.

Только в том случае, если все правила самоконтроля соблюдаются, можно рассчитывать на заявленную допустимую погрешность исследования.

Правила самоконтроля с помощью глюкометра можно узнать у лечащего врача.

Точность глюкометра можно проверить в сервисном центре. Гарантийные обязательства производителей предусматривают бесплатные консультации и устранение неполадок.

учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»

Оршанского района Республики Марий Эл

(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8)

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Найдем по графику значение у при х = 1,5

у=х 2

у ≈2,3

Найдем значение у при х = 1,5 по формуле

у =1,5 2 = 2,25

Приближенное значение отличается от точного на 2,3 – 2,25 = 0,05

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Найдем по графику значение у при х = 1,8

у=х 2

у ≈3,2

Найдем значение у при х = 1,8 по формуле

у =1,8 2 = 3,24

Приближенное значение отличается от точного на 3,24 – 3,2 = 0,04

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

х

1,5

Точное значение у

(по формуле)

1,8

2,25

Приближенное значение у (по графику)

3,24

2,3

3,2

у=х 2

Определение. Абсолютной погрешностью

у = 2,3 А.П. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05

у = 3,2 А.П. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Пример 1 пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.

Решение. 1 6 ,38 ≈ 16

16,38 – точное значение;

16 – приближенное значение.

А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Пример 2 верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.

Решение. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – точное значение;

1070 – приближенное значение.

А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Пример 3 . Старинная русская мера длины сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до десятых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.

Решение. 2, 1 3 ≈ 2,1

2,13 – точное значение;

2,1 – приближенное значение.

А.П. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пример 4 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Всегда ли можно найти абсолютную погрешность?

АВ ≈ 5,3 см

Найдем длину отрезка АВ

Точного значения длины отрезка АВ мы определить не можем, поэтому и абсолютную погрешность приближенного значения найти невозможно.

В подобных случаях в качестве погрешности указывают такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.

В нашем примере в качестве такого числа можно взять число 0,1.

ПОЧЕМУ? Цена деления линейки равна 0,1 см и поэтому абсолютная погрешность приближенного значения 5,3 не больше 0,1.

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в санти-метрах) с точностью до 0,1

АВ ≈ 5,3 см

t ≈ 28 0 с точностью до 1

t ≈ 14 0 с точностью до 2

Определите точность приближенных значений величин, полученных при измерении приборами, изображенными на рисунках 1- 4

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1

АВ ≈ 5,3 см

Если х ≈ а и абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит некоторого числа h , то число а называют приближенным значением х с точностью до h

х ≈ а с точностью до h

х = а ± h

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ

АВ ≈ 5,3 см

с точностью до 0,1

t ≈ 28 0 с точностью до 1

с точностью до 2

Определение . Относительной погрешностью (точностью) приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности (точности) к модулю приближенного значения

Для оценки качества измерения можно использовать определения относительной погрешности и относительной точности

l = 100,0 ± 0,1

b = 0,4 ± 0,1

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Определение .

Пример 5 . Старинная русская мера массы пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите относительную погрешность приближенного значения.

Решение. 1 6 ,38 ≈ 16

16,38 – точное значение;

16 – приближенное значение.

А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Определение . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения

Пример 6 . Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите относительную погрешность приближенного значения.

Решение. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – точное значение;

1070 – приближенное значение.

А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пример 7 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения.

Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.

А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:

m≈0,8 (с точностью до 0,1);

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.

Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.

Определение.

Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность договорились выражать в процентах.

Пример 1.

Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:

14,7≈15.

Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.

Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.

По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

Подведем итог.

Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .

Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .

Пример 2.

Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.

Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )

Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.

Пример 3.

Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.